基本不等式完整版(非常全面)94240.doc

实用标准文案基本不等式专题一、知识点总结1、基本不等式原始形式（ 1）若 a, bR ，则 a 2b22ab（ 2）若 a, bR ，则 aba 2b 222、基本不等式一般形式（均值不等式）若 a,b R* ，则 a b 2 ab3、基本不等式的两个重要变形（ 1）若 a, bR* ，则 a bab22（ 2）若 a, bR*a b，则 ab2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当 a b 时取“=”4、求最值的条件： “一正，二定，三相等”5、常用结论（ 1）若 x0 ，则 x12 ( 当且仅当 x1时取“ =”）x1（ 2）若 x 0 ，则 x2 ( 当且仅当 x1时取“=”）x（ 3）若 ab0 ，则 ab2( 当且仅当 ab 时取“=”）ba（ 4）若 a, bR ，则 ab ( a b )2a 2b 222（ 5）若 a, b*1ababa 2b2R ，则1122ab特别说明：以上不等式中，当且仅当ab 时取“ =”6、柯西不等式（ 1）若 abc,,,d R，则 ( a2b2 )(c2d 2 )(acbd) 2（ 2）若 a1 ,a2 , a3 ,b1, b2 ,b3R ，则有：(a12a2 2a32 )(1b12b22b3 2 ) (a1b1a2b2a3b3 )2（ 3）设 a1 , a2 , , an与b1 ,b2 , ,bn 是两组实数，则有(a12 a22 an 2 ) ( b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 an bn )2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 a,b 均为正数，证明不等式 : ab ≥211ab2 、 已 知 a, b, c 为 两 两 不 相 等 的 实 数 ， 求 证 ：a 2 b 2 c 2 ab bc ca2 2 2 13、已知 a b c 1，求证： a b c4、已 知 a, b, cR ， 且 a b c1，求证：(1 a)(1 b)(1 c)8a b c5、已 知 a, b, c R ， 且 a b c 1 ， 求 证 ：1 1 1 1 1 1 8a b c文档实用标准文案6、（ 2013 年新课 标Ⅱ卷数学 （理） 选 修 4— 5：不等式选 讲设 a,b, c 均为正数 , 且 a bc1,证明:1Ⅱ )a2b2c2( Ⅰ ) ab bc ca; (bc1.3a7、（ 2013 年江苏卷（数学） 选 修 4— 5：不等式选 讲已知 a b 0 ，求证 : 2a3 b3 2ab2 a 2b题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（ 1） y 3x21（ 2） y x(4 x)2x2（ 3） y x1 ( x 0)（ 4） y x1 (x 0)xx题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知 x2 ，求函数4的最小值；y 2x 42x44变式 1：已知 x 2 ，求函数 y 2x 的最小值； 2x 44变式 2：已知 x 2 ，求函数 y 2x 的最大值； 2x 4文档实用标准文案练习： 1、已知 x51的最小值；2、若 0x 2 ，求 yx(6 3x) 的最大值；，求函数 y 4 x 24x452、已知 x5y 4 x 21的最大值；变式 ：若 0 x4 ，求 yx(8 2x) 的最大值；，求函数4 x 54题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）3、求函数 y2x 1 5 2x (1x5) 的最大值；1、当时，求 y x(82x) 的最大值；22（提示：平方，利用基本不等式）变式 1：当 时，求 y 4x(8 2x) 的最大值；变式：求函数 y4x 3 11 4 x( 3x11) 的最大值；44变式 2：设 0 x34x(3 2x) 的最大值。

求函数 y2文档实用标准文案题型五：巧用“ 1”的代换求最值问题：已知 x, y0，且 19y 的最小值；变式1、已知 a, b 0, a 2b 1，求 t11 的最小值；4x4 ，求 xyab法一：变式 5：法二：0 且 2 xy1，求 11（ 1）若 x, y的最小值；xy（ 2）若 a,b, x, y R且 ab1，求 xy 的最小值；xy变式 1：已知 a,b 0, a 2b 2，求 t 1 1 的最小值；a b变式 6：已知正项等比数列 an满足： a7a6 2a5 ，若变式 2：已知 x, y 0, 281 ，求 xy 的最小值；4a114xy存在两项 am, an ，使得 aman，求的最小值；mn变式 3：已知 x, y 0 ，且 1 1 9 ，求 x y 的最小值x y文档实用标准文案题型六：分离换元法求最值（了解） 题型七：基本不等式的综合应用1、求函数x 27x 101、已知 log2 a log 2 b1，求 3a9b 的最小值yx 1( x1) 的值域；变式： 求函数 yx28 ( x 1) 的值域；2、（ 2009 天津）已知 a, b0，求11x1a2 ab 的最小值；bx2变式 1：（2010 四川）如果 a b0 ，求关于 a,b 的表达2、求函数 y5的最大值；（提示：换元法）2x式 a2 11的最小值；aba( ab)x1的最大值；变式： 求函数 y变式 2：（2012 湖北武汉诊断）已知，当a 0, a 1时，4 x9函数 yloga ( x 1) 1的图像恒过定点A，若点 A在直线 mxy n 0 上，求 4m2n 的最小值；文档实用标准文案3、已知 x, y 0 ， x 2 y 2xy 8 ，求 x 2 y 最小值；变式 1：已知 a,b 0 ，满足 ab a b 3 ，求 ab 范围；变式 2：（ 2010 山东） 已知 x, y0 ，111 ，2x2 y3求 xy 最大值；（提示：通分或三角换元）变式 3：（ 2011 浙江） 已知 x, y 0 ， x2 y2 xy 1，求 xy 最大值；4 、（ 2013 年 山 东 （ 理 ）） 设 正 实 数 x, y, z 满 足x23xy4 y2z 0 , 则 当 xy取得最大值z时 ,212的最大值为（）xyzA． 0B ． 1C ． 9D ． 34（提示：代入换元 , 利用基本不等。