数列多选题专项训练知识点及练习题及解析.pdf

一、数列多选题1设数列na满足1102a，1ln 2nnnaaa对任意的*nN恒成立，则下列说法正确的是（）A2112aBna是递增数列C2020312aD2020314a答案： ABD 【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由，设，则，所以当时，即在上为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，即，即，所以 ，解析： ABD【分析】构造函数ln 2fxxx，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】由1ln 2nnnaaa，1102a设ln 2fxxx，则11122xfxxx，所以当01x时，0fx，即fx在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2为单调递增函数，即102ffxf，即131lnln 2lnln1222efxe，所以112fx，即11(2)2nan，所以2112a，2020112a，故 A 正确； C 不正确；由fx在0,1上为单调递增函数，112na，所以na是递增数列，故B 正确；2112a,所以23132131113ln(2)lnln222234aaae因此20202020333144aaa，故 D 正确故选： ABD【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.2已知数列na中，11a，1111nnaann，*nN.若对于任意的1,2t，不等式22212natataan恒成立，则实数a可能为（）A 4 B 2 C0 D2答案： AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】，则，上述式子累加可得：，对于任意的恒成立解析： AB【分析】由题意可得11111nnaannnn，利用裂项相相消法求和求出122nann，只需222122tataa对于任意的1,2t恒成立，转化为210tata对于任意的1,2t恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111nnnaann，11111(1)1nnaannn nnn，则11111nnaannnn，12111221nnaannnn，2111122aa，上述式子累加可得：111naann，122nann，222122tataa对于任意的1,2t恒成立，整理得210tata对于任意的1,2t恒成立，对 A，当4a时，不等式2540tt，解集5,42，包含1,2，故 A 正确；对 B，当2a时，不等式2320tt，解集3,22，包含1,2，故 B 正确；对 C，当0a时，不等式210tt，解集1,02，不包含1,2，故 C错误；对 D，当2a时，不等式2120tt，解集12,2，不包含1,2 ，故 D 错误，故选： AB.【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.3已知数列na满足112a，111nnaa，则下列各数是na的项的有（）A2B23C32D3答案： BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3 的周期数列，从而可求解结论【详解】因为数列满足，；数列是周期为 3 的数列，且前 3 项为， 3；故选：【点睛】本题主要解析： BD【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3 的周期数列，从而可求解结论【详解】因为数列na满足112a，111nnaa，212131()2a；32131aa；4131112aaa；数列na是周期为3 的数列，且前3 项为12，23，3；故选：BD【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题4已知递减的等差数列na的前n项和为nS，57SS，则（）A60aB6S最大C130SD110S答案： ABD 【分析】转化条件为，进而可得，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解 . 【详解】因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，故A 正确；所以最大，故 B 正确；所以，故 C错误解析： ABD【分析】转化条件为670aa，进而可得60a，70a，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为57SS，所以750SS，即670aa，因为数列na递减，所以67aa，则60a，70a，故 A 正确；所以6S最大，故B 正确；所以113137131302aaSa，故 C错误；所以111116111102aaSa，故 D 正确 .故选： ABD.5朱世杰是元代著名数学家，他所著的算学启蒙是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作 .算学启蒙中涉及一些“ 堆垛 ” 问题，主要利用“ 堆垛 ” 研究数列以及数列的求和问题.现有 100 根相同的圆形铅笔，小明模仿“ 堆垛 ” 问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的 “ 垛” ，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1 根，则该 “ 等腰梯形垛 ” 应堆放的层数可以是（）A4 B5 C7 D8答案： BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析： BD【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a，公差即每一层比上一层多的根数为1d，设一共放2n n层，利用等差数列求和公式，分析即可得解.【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a，公差为1d，设一共放2n n层，则总得根数为：111110022nn ndn nSnana整理得120021ann，因为1aN，所以n为 200 的因数，20012nn且为偶数，验证可知5,8n满足题意 .故选： BD.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.6设na是等差数列，nS是其前n项的和，且56SS，678SSS，则下列结论正确的是（）A0dB70aC95SSD6S与7S均为nS的最大值答案： BD 【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B正确；又由得，则有，故A错误；而 C选项，即，可得，解析： BD【分析】设等差数列na的公差为d，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列na的公差为d，依次分析选项：na是等差数列，若67SS，则7670SSa，故 B 正确；又由56SS得6560SSa，则有760daa，故 A 错误；而 C 选项，95SS，即67890aaaa，可得7820aa，又由70a且0d，则80a，必有780aa，显然 C选项是错误的.56SS，678SSS，6S与7S均为nS的最大值，故D 正确；故选： BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前n项和的性质，需熟记公式，属于基础题.7已知无穷等差数列na的前 n 项和为nS，67SS，且78SS，则（）A在数列na中，1a最大B在数列na中，3a或4a最大C310SSD当8n时，0na答案： AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确 . 【详解】因为，所以，因为，所以，所以等差数列公差，所以是递减数列，故最大，选项 A 解析： AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a，80a，即可求公差0d，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为67SS，所以7670SSa，因为78SS，所以8780SSa，所以等差数列na公差870daa，所以na是递减数列，故1a最大，选项A 正确；选项B不正确；10345678910770SSaaaaaaaa，所以310SS，故选项C不正确；当8n时，80naa，即0na，故选项D 正确；故选： AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和nS，属于基础题 .8已知数列na为等差数列，则下列说法正确的是（）A1nnaad（d 为常数）B数列na是等差数列C数列1na是等差数列D1na是na与2na的等差中项答案： ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项. 【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数解析： ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项 .【详解】A.因为数列na是等差数列，所以1nnaad，即1nnaad，所以 A 正确；B. 因为数列na是等差数列，所以1nnaad，那么11nnnnaaaad，所以数列na是等差数列，故B 正确；C.111111nnnnnnnnaadaaa aa a，不是常数，所以数列1na不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122nnnaaa，所以1na是na与2na的等差中项，故D 正确.故选： ABD【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.9在数列na中，若22*1(2,.nnaap nnNp为常数)，则称na为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A若na是等差数列，则na是等方差数列B(1) n是等方差数列C若na是等方差数列，则*,knakNk为常数)也是等方差数列D若na既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案： BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于 A，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；对于 B，数列中，是常数，是等方差数解析： BCD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于 A，若na是等差数列，如nan，则12222(1)21nnaannn不是常数，故na不是等方差数列，故A 错误；对于 B，数列1n中，2221 21(1) (1)0nnnnaa是常数，(1) n是等方差数列，故B正确；对于 C，数列na中的项列举出来是，1a，2a，ka，2ka，数列kna中的项列举出来是，ka，2ka，3ka，2222222212132221kkkkkkkkaaaaaaaap，将这 k 个式子累加得2222222212132221kkkkkkkkaaaaaaaakp，222kkaakp，221knk naakp，*(,knakNk 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于 D，na是等差数列，1nnaad，则设nadnmna是等方差数列，222112(2)nnnndnmaaaada dd nmd ddndm是常数，故220d，故0d，所以(2)0md d，2210nnaa是常数，故D 正确 .故选： BCD.【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.10 已知等差数列na的前 n 项和为 Sn（nN*），公差d0 ，S6=90，a7是 a3与 a9的等比中项，则下列选项正确的是（）Aa1=22 Bd=2C当 n=10 或 n=11 时， Sn取得最大值D当 Sn0 时， n 的最大值为21答案： BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由配方法，结合 n为正整数，可判断 C ；由Sn0解不等式可判断 D【详解】由公差，可得，即， 由a7是a 解析： BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由配方法，结合n 为正整数，可判断C；由 Sn0 解不等式可判断D【详解】由公差60,90dS，可得161590ad，即12530ad，由 a7是 a3与 a9的等比中项，可得2739aa a，即2111628adadad，化简得110ad，由解得120,2ad，故 A 错， B对；由22121441201221224nSnn nnnn*nN，可得10n或11时，。