第3章有限变形讲解.docx

第3章 有限变形§3.1 有限变形这时说的变形，除连续性条件外，没有其余任何条件小变形：小位移，小转动，小应变，1①二一(u - U )ij 2 i, j j ,i1£ — (u + u )ij 2 i , j j ,i有限变形：大位移，大转动，大应变对于一个微小六面体：小变形下变为一个平行六面体有限变形下仍变为一个平行六面体 这一条件不变变形几何学方面来研究变形四个问题：1) 记录2) 什么办法来描述3) 怎么度量4) 有没有办法将变形分解§3.2 物体的构形和坐标系II现时构形物体：连续介质，变形前用 K 代表，变形后物体用 K 代表K0 :物体，物质点的集合，被始构形(material configuration)； K :变形后的物体,现时构形(spatial configuration),tP :物质点p :空间点，物质点在空间所占的位置初始坐标系 0 — X]X ]] x []]现时坐标系 o—xxx123构形：每一瞬时与物质点对应的空间点的集合t = 0瞬时，初始构形 K0K :初始构形，X点的坐标（X ） 0KK :现时构形，（瞬时t的构形），x点的坐标（x ） tk全部采用直角坐标系§3.3 描写物体运动和变形的方法1． Lagrange 描述法用物质坐标 X 作自变量（描述物体的运动和变形）kx = x（X, t） x = x （X , t）k k K研究物质点在不同时刻所对应的空间点（着眼点：跟踪物质点运动状况）2． Euler 描述法用空间坐标 x 作自变量（描述物体的运动和变形）kX = X（x, t） X = X （x , t）K K k研究空间点 x 处对不同时刻流径这一空间的物质点（着眼点：跟踪在一个空间点上，不同时 刻对应的物质点）（前者跟踪同一个人，不同晚上睡不同的床位，后者跟踪同一张床，不同晚上由不同的人位移点： uu = d + x — X （其中d不随时间而变，X也与t无关）速度和加速度：分两种表述方法1 ） Lagrange 法dX （X , t）v 二 u 二 K—- dtd 2 x （X , t）a 二 v 二 u 二 k—• • dt 22 ） Euler 法：（研究流体的流动等）v = v （x , t） 流场kd / 、 dv (x , t) dv dxa = v (x , t) = k + kdt k Qt dx dtkQv(x ,t) Qv= k + v Qt k Qxk物质导数=局部导数+迁移导数§3.4 变形梯度有限变形：记录（构形），描述C，度量（本节研究）变形前dx （方向、长度）2变形后dx （方向、长度）物体的有限变形的研究，离不开一点的领域，或取一个线元。

变形前线元：PQ = dX = dX - E K K变形后线元：pq = dx = dx - eKkdX t dx经历了一个长度的变化和方向的变化（它们的量都可能是很大的）1) Lagrange 法：物质坐标 X ——自变量 Kx = x ( X ,t)kkp 点：q 点：x + dx = x (X + dX , t)k求dx :dxkQx=x (X + dX , t) - x (X , t) = ― - dXk K K k K QX KKdxkQx k-QXKQxdX 表示dx和dX的关系（可见石产的重要性）K QXKQx―称为物质变形梯度张量F （称为“物质”的理由是物质坐标下的）QXK即 FkKQx 简写 k =QXKxk,Kdx = FdXdx = FkdXkK K变形前后线元之间的关系（包含了长度和方向） （*）个二阶张量Ox' Ox' k = k . ax，KOx xkOxmOxmaq xkl laxmax maxM=qkiax Max，Kaxiaxm=q 6 = qkl lm kmaX类似c MOxK=Qkm即 F'二 q - F - QF为二阶张量，关系到两个坐标系,称为两点张量。

OxF = i e ® EOx k KKF 对应于一个线性变换，（从（*）式看），包含了方向和长度的变换 由此可见， F 包含了全部的有限变形信息F = = Gradx （所以称为变形“梯度”oX二 F e ® EkK k KOx=—e ®E （各种不同的写法） Ox k KK2）Euler 法：用空间坐标 x ——自变量， t 作参变量k与 p 对应的物质点）： x = x （x , t）K K k（与q对应的物质点）：X + dx = X （x + dx ,t）K K K k kdXKOx= K - dx （知道现元，倒回去查原来的线元） Ox kk对应于一个由 dx 的线性变换k空间变形梯度张量：F-1 （•.•以空间坐标为自变量）F 一 i =°X = gradX = axaxk E ® e = X E ® e ax K k K ,k K kk其实，F与F-1互逆，所以以F-1定义§3.5变形张量回顾变形梯度张量：F,dx二FdX包含了全部信息变形张量只研究其长度改变的信息(不包含方向改变)1) Lagrange 描述法： X 作为自变量K变形前dX的长度dL: (dL)2二dX - dXKK变形后dx 的长度dl: (dl)2 二dx -dx =6 dx -dxk k kl k l 上述dX 应该是已知的，dx可求出的。

Kk则(dl)2 =6 (F dX )(F dX ) = 6 F F dX -dXkl kK K lL L kl kK lL K L=6 x x dX - dXkl k ,K l ,L K L(dl)2 = x x dX dXk ,K k ,L K L变形张量C (称为Green变形张量)C为正定的((dc)2 > 0)C = x x T C为对称张量KL k ,K k ,LC = F TFC = x x E ® Ek ,K k ,L K L已知变形梯度张量可求出变形张量通过C可直接算出长度的变化(优点)2) Euler 描述法： x 作为自变量k变形后的长度dl : (dl)2 = dx -dx (作为已知的)kk变形前的长度dL:(dL)2 = dX -dX =6 dX -dX =6 X X dx dx = X X dx dxK K KL K L KL K ,k L,l k l K ,k L,l k lCauchy变形张量BtB-i = X X e ® eK,k K ,l k lB-1 = (F-1)T (F-1)通过变形梯度张量可求出变形张量§3.6 变形梯度张量的极分解变形梯度张量F。

若)F是一个可逆张量，即F-1存在，则F可写为：F = R U 或 F = V • R右极分解 左极分解上述分解存在且唯一的，R是正常正交张量，表示转动，所以记为R，U和V是对称、 正定张量1．右极分解的证明若F = R • U成立，且R为正交张量，U为对称正定张量F T 二(R - U)T 二 UT - Rt 二 U - Rt则 FTF = (U -Rt)(R • U)二 U -U又FTF二C为正定的，对称轴，•••由F可找到U，且U为正定、对称的又 R = F • U-1Rt = U-1 • F tRtR = U-i • Ft • F • U-i 二 U-i • U • U •U -i 二 I••• r为正交张量2．右极分解的唯一性设 F = R • U = RJ U'U ' = RtF = Rt • R • UU‘2 = UU' = U' T • U' = (URtR')(R'T • R • U) = U2U' = U，由此可推得r = r3 .左右极分解中的R是相同的F = RU 又 F =V •R*F = vr* = (R* • R*t)V • R* = R*(R*t •V • r*)上式为一右极分解，因为右极分解是唯一的，则R* = R 同时由上式可得：U = R T • V • RU ：右伸长张量V ：左伸长张量U和V是相似张量。

则 V = RUR T§3.7 Lagrange 标架和 Euler 标架通过这两个标架的学习了解R,UV的几何意义 [F = R • UIF = V • Rdx = F •dX变形后线元；变形前线元F 相当于一个变换1．右极分解dx = F • dX = R • U • dX将dX先进行U变换，再进行R变换U正定对称二阶张量，•/对称张量，存在三个互相垂直的主方向，M (Q =1,2,3 ) a(T正定)对应有三个主值(非负)U 二 A M ®M 二 A M ®M +A M ®M +A M ®M(a) a a 11 122 2 3 3 3Lagrange 标架： M , M , M 作为基矢123第一步：U - dX 二 A M ® M - dX( a) a adX = dX M 也按 Lagrange 标架分解aaUdX 二 A M ® M dX - M(a) a a 卩 卩= A dX M( a) a a第二步：F - dX = R(U - dX)即 dx = A dX RM( a) a a又 dx = A d X m(a) a a则：m = R - M (变换后仍为矢量)aa正交张量：有体内积性质，即，有M为单位矢量，正交变换后的m仍为单位矢量,aa 但方向改变，且 M 仍为三个互为正交的。

am 三个相垂直的方向——Euler标架a 根据前面两步可知： U 右伸长张量， R 转动张量2.左极分解dx = FdX = V - R • dX第一步：R• dX = RdX • M (保内性质)aa=dX m (长度不变，但投影到Euler标架上)aa第二步：V • RdX = ?令 V = RURt = R •A M 0 M • Rt( a) a a= A m 0m(a) d aEuler标架是V的三个主方向，以m ,m ,m作为基矢123设V =九m 0 m(a) a a则九 =A(a ) (a)••• U和V主方向不同，主值相等・.U和V是相似张量)dx = F • dX = V • RdX =九 dX • m(a) a a 两个极分解是同样的结果，只是伸长与转动的顺序不同Lagrange 标架： U 主方向 MaEuler标架：V的主方向ma 既不固定在空间，也不固定在物体上，由变形来确定的标架e ,e ,e与E ,E ,E是分别固定在空间与物体上的1 2 3 I II III§3.。