高等数学课后习题详解.pdf

习题三1 .填空( 1 )设“X )= ( X _ 尤o) • e( x )， o( x )在点X 连续 f(x0) =.答案：以” )( 2 )设“x ) = x - l x l ,则 /'( 0)=答案：0( 3)设了( %)在点a 可 导 ,则 乜 %+ x ) - /( « )] =.答案：2广⑷3xy = ---( 4 )曲线 1 + x在点( 2 2 )处 的 切 线 方 程 为 ,法线方程为答案：x - 3y + 4 = 0 3x + y - 8 = 0( 5 )设 /( 幻 =》 -1 ) 一2 >“ 一〃)， 则 /(0)=答 案 : ( T)"!( 6 )曲 线 产=6 y - y 3在点( _ 2 , 2 )处切线的斜率4 =2答案：3仇 仇 _( 7 )设Z = Q x + y ), 则 次 =/ 安』 = [( 2 x + y )J n( 2 x + y ) + 2 x ]( 2 x + y )*T合茉：GX^ = x(2x + y)x~ 'OXd( 8 )设名=z ( x , y )由方程e： —x y z = 0所确定， 则 疝 = ,-&- ~- -bz答案：d x e'- x y女( 9 )设z = # ( x y ， e'),贝|应=.及 _小 .答案:合 ="媚 + 优 月 ’黑 出 ’X + Vz = arctg------( 1 0)设 x - y , 贝ij 1 % =.,y , x ,废 = 一 一~~- dx + - ------ dy答案： x + y - + y 2讲认 讲 " —___ — ----- -( 1 1 )设〃 =, 则a2 a2答案:d^U 2 2 x v z- - = yzze1exyzdx2— = x2z2exyzxyz1 .选择题（ 1 ）下列各极限均存在, 则（） 式成立.a .l i m Ax。

)-/( X A x )&TO AX= /'Uo)l i m」(X o)- - ( X o - 四bA x-0 AX= /'( x0)l i m /Go - 入 ) -/( x o)Ar->0 A%= / (X0)=/'( /)c- A x答案：bf(x} = !x e' x〉0⑵ 设 旨x 4 ° ,则 〃x )在了 = 0处()a连续c可微答案：a , db可导d连续, 不可导( 3)设〃x )= si nx ,则 /'"( x )] =( )a si n si n xb cossi nxc si ncosx d coscosx答 案b（ 4 ）设/ （ x ） = | 尤 -1 | ,则函数/ （ x ）在 ％=1处（）a 连续 b 不可导c可导 d 不连续答案：a , b（ 5 ）设/ （ *） =」 l i m /'( 2 —A x ) — /'( 2 )e * , 则o A x)I _ _ _ _ 1 _a 1 6a b 1 6&3 __3 _c 1 6a d 1 6&答案：c( 6 ) 设/ “)可导， 且 y = / “")， 则办= ()a dy = f、 (ex)dx b dy = f'(ex)dexc_dy = [f(ex)],-dex d dy = f \ ex)exdx答案：b, d( 7 ) 设 f ( x , y ) 在 点 ( a , b )处偏导数存在，则有] .f(a+x,b)- f(a-x,b)l i m - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -• >T° X = ( )a. 0 b 1 ； Q a , b ） c f； . （ a,b） d 2 f； （ a,b）答案：d（ 8 ）函数z = / a ， y ） 在点“。

， ） 0） 处有偏导数是它在该点存在全微分的（）a .必要条件 b.充分条件c.充分不必要条件 d .既非充分条件又非必要条件答案：a（ 9 ）设 / a， y ） 在区域D内具有二阶偏导数，则下述结论正确的是（）dxdy d^S x.b. / （ x ， y ） 在 D内连续c. / a， y ） 在D内可微答案：dd . a , b, c, 结论都不对（ 1 0）设 z =z （ x , y ） 是由方程所确定.则a . - Z答案：bb. Zd. X及 龙X— + y —今 功)（ i i ）函数〃 x ， y ） = 盯 （ /+ V— 1 ） 的极值点是（）2 i _ 1a . （ 1 , 0） b. （ 0, 1 ） ， （ 2 '2 ） d （ 2 , 2 ）答案：a .b3 .设/ （ X ）在X 可导， 求l i m '8 ° 一 2〃 ） —/ * ）（ 1 ） 20 hl i m "x ° + 一俄）（ 2 ）'f ° h（ _ 2 ） i i m- Q 2%） 一二婚解：（ 1 ）原式= -2h （ — 2 ） / （ % ）。

£ + 0 ― / “ + 叫 一 小 一例）（ 2 ）原式= 2 ° （ 尸） / ? =（ 二 + 夕） / （ 玉 ） ）4 .求曲线y = «在点（ 4 2 ）处的切线方程和法线方程.v| _ 1 _ 1 1y ——广 — — —解： 「4 2 Vx 4 ,所以在点（ 4 , 2 ）处切线斜率为4 ,法线斜率为4y = — x + 1 y = - 4 + 1 8所求切线方程和法线方程分别为- 4y = - x35 .求 出 曲 线 .3 上与直线x - 4 y = 5平行的切线方程.— y — — x解：直线x - 4 y = 5的斜率为4 ,曲线 3上过（ x ， y ）点的切线斜率由y' 4得片弓， 所以直线方程为3/加= [.1 nx - sm ―, x0f（X） = < X6 .证明函数 [un, x r— = un 在x = O处连续， 但在x = O处不可导.l i m解：/ （ x ） =0=/（ 0） ,所以“X ）在 》=0处连续， 而. 1八x - si n一_0 [X . 1/fo+， = l i m - - - - - - - - - l i m si n fX TO X = X TO 元不存在，所以J 在尤=0处不可导.7. 出下列函数的导数⑴ y = -2 x2 - y[x 4 - 3 y[x^ + exy = e2 + — + x2 A na( 2 ) %⑶ y = k l n x + e* *cosx( 4 )y = ex(x2 -2 x^-1 )x - l nx⑸1y 二( 6 ) x + cosx( 7 )1 + x2si nx53解：⑴yr = (-2 x2 + 3/3 + exy = -5x2 + 2 x 3 + e'⑵y =( e“ H—— + x - Ind ) =—— - + 2 x l nax x⑶ =( % I" x )' + ( ， cos xS= In x + 1 + ev ( c os x - si n x)⑷ y ' = e， ( x 2 _ 2 x + l ) + e， ( 2 x - 2 ) = ex( x2- l )y ,= (z -x----l-n-x- )v = --x- -+- l-n--x-⑸ x + Inx ( x + l n x)2f( x + cosx )' si nx - 1y = ------------ = -----------( 6 ) * ( x + cos x )2 ( x + cos x )2, ( x t a n x )'( l + x2)- ( l + x2 \x t a n x ( 1 - x2 )f g x + x ( l 4 - x2)sec2 xv = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -( 7 ) . (" ) 2 (" ) 2, si n x(l + cos x ) - ( 1 + cos x\ si n x iy = -------------------------------- ________⑻ ( 1 + cos x )2 1 + COS X8 .求出下列函数在指定点的导数值.t -sint ， 、 尸 、y = —：— f (-)⑴ 设 f + si nf , 求 2y = -cosX + Xtgx y'⑵ 设 2 ， 求' 一 4/3 ) =⑶设1-----------1 -----x + 2 x3干， 求 /'( 0 ) /( - 1)_ Q — sin t)r(t + sin + sin t)f(t - sin t) 1 _ Cos t解：(1) y' « + sinf)2 1 + sinr 所以呜 =8( 万+ 2产(2), = --sinx + rgx + xsec2x /I +y 2 ，所以，2 41 3-2x , i⑶ /'(x) (x + 2)2 (x2 + 1)2 ；所以‘⑼ 4/ (-1) = J9 .下列函数的导数.( D y = sin2(2x-l)⑶ y = sin" x ・cos〃 x(5) . = Jl + e2,⑺ y = lnsin(2x + 1)2y - arccos—(9) x(11) y = x-arctg(\nx)( 2) ) = Jl + (lnx)21y = arete ——⑷ 2Ky = xz2 - si- n­1ce) x(8) y = ln[ln(lnjt)](10) y = VsinVx( 12) y = ln3[sin(x2 +x)]解・( i) yf = 2sin(2x-l)cos(2x-l) = sin(4x-2)■ L Ip yy， = (l + (ln x)2)2 =---- / -⑵ L J x-Vl + ln x⑶ yf = "sin"— xcosxcosnx + sinw x(cosnx),nsinn-1 xcos(/? + l)x(4)y '= —1 +J f±y = _ _ J1 2x 4X2+14x2⑸i2xy =4 ( i + ^ p( ^ y =- ^ =2 Vl + e2x(6)yr = (x2 )， sin —+ ^2 (sin —)z = 2x - sin - - cosxxxX1y⑺sin(2x+ 1)sin,(2x + 1) = 2cfg(2x + l)y1In'(In x )=1(8)- In(lnx)x ln x ln (ln x)/ = —(sin Vx) “ sinV 7y =cosVx(10)4y]x-sin\[x(11)y' -arctg(\n x) + x = arcfg (In x) +1 + ln 'x1 + (In x)2(12)y = 31n2[sin(x2 +x)]Inr [sin(x2 +x)]31n2[sin(x2 + x)]-ctg(x2 + x )・( 2 x+ l)10.用对数求导法求下列函数的导数(1)1 - X14-X2(2)y = (In犬 产(3)x (x2 + 1)(4),Vx2+1y - i g 3/—— 一 -v x + 2y = x・1(5)y = (sin x) 8sx + (cosx)sinxIn y = In x + 牙 ln(l - x ) - ln(l + x2 )1解：⑴两边同时取对数 2L 」两边同时对X求导得( 2 )两边同时取对数l ny = x l nl nxy ' = ( In x )” • ( - - - + In In x )两边同时对x求导得‘ InxIn y = - Fi n x + l n( x2 + 1 )- 2 l n( x2 -( 3)两边同时取对数 3L1 x - ( x2+ l ) .1 2 x 4x、两边同时对X求导得 3 V( ^2 - I)2 x X ?+ 1 X2 - 11 , 1y = - l g ( x + l )- - l g ( x + 2 )( 4 ) 2 3, 2 x~ + 6x — 1 .y = --------； - - - - Ig e两边同时对X求导得 3( x + 2 )( x + 1 )(5) 令 %=( si nx )叩 ,y 2 = ( cosx严两边同时取对数l nX = c。

sx l nsi nx ,In y2 =si nx l n cosx两边同时对x求导得>'= < += ( si n x )c< K r[ c o s x - ctgx-s i nx-l n s i n x] + (c o s x)s i nt [ c o s x • I n c o s x - s i n x • r g x]H .求由下列各参数方程所确定的函数y =)'(x)的导数= a - c o s31 dy_(1 ) ,求 不l x = el - cost —(2) H = e '-s i ni 求 d x f(x = arctgt d2 y(3 ) U = l n(l + f 2),求 五(x = i-t2 (fy d2 y_(4 )， 求 d x， d x2解：⑴d y = 3 b s i n，c o s /力dx = 3 a c o s2 /(- s i n t)dt(2) dy = er (s i n t + c o s力dx = e1 (c o s t - s i n t)dtdy. c o s r + s i nr----- । 7 = ---------------------dxc o s f -s i n，/(4 ) dy = (l-3 r)dtdy 1 3— = ---+ —t则 dx 2 t 21 2.下列函数的高阶导数dx - -2 tdtd 2 y _ __L」dx2 4 r3 4 r(1 )设〃无)= (x + 2)\ 求广〃(x)J， 〃 (2)(2)设y = x3 4 nx,求 产(3 )设) = 〃 ， ， 求y(" )⑷ 设y = "n x ,求 产解：⑴ _f (x) = 8(x + 2)7 / " (X) = 8-7(X + 2)6 /3(X) = 6 -7 -8 (X + 2)5/3(2) = 6 -7-8-45V (4 ) = 6⑵ >'= 3 d I nx + x? y" = 6 xl n x + 5 x jw = 6 1 nx + l l - x⑶ y' = 2e ?x y" = 4 e ?x... y⑺= 2" •/ 八，I I / = - yg = ？ ! (n>2)(4 ) y = l nx + l ， x … —„ , /z(f ) = Vot-^-gt21 3 .以初速度v。

上抛的物体,其上升高度力与时间， 之间的关系为 2求 ：(1 )上抛物体的速度仅‘ )；( 2 )上抛物体的加速度3 )经过多长时间， 它的速度为零.解 :(1 ) v(t)=hXt) = v0-gt(2) a = h" (t) = — g%(3 ) v Q) = % _ g f = 0/= g1 4 . 一个深为8米,上顶的直径为8>n的圆锥容器,以每分钟4加3的速度将水注入， 问当水深为5 m时,其表面上升的速度是多少？—r ——4 1— 70 '2 .h — 4t. 4—解：设f分钟后水深为h,则〃 8 ,根据题意，3 , 把/'= 8/1代入得r =等,v - 〃 '(7)1 625 ^21 5 .某人身高2米， 以3米/秒的速度向一高7米的街灯走去， 问此人身影长度的变化率是多少？解：设开始此人与灯街距离为$ 身影长度为力，4时间后身影长度为“ ，2 _ h'2 h 7 =7 5V h'-h 2则7 -〃+ S, ' 3 ， 身影长度的变化率- 2 一 3s = 9 s i n — + 2?1 6 .已知质点作直线运动,方程为 3 ,试求在第一秒末的加速度.(S以米为单位，f以秒为单位).5w = -^2s i n— 5f f(l ) = - -解：加速度为 3 ,所以第一秒末的加速度为 21 7 .求下列函数对自变量的偏导数⑴ z = a r c s i n(yV x) ⑵ Z = l ns i n(x - 2y)(3) z = ln(x + lny)z = yfx - sin —(4) %⑸ z = e "・( cosy + xsiny)(6) u = arctg(x-y)zy& = 2 6= y& ^ l- x y2 2-V x^l-xy2- = -2ctg(x-2y)Sydz _ 1⑶ dx x + \nydz _ 1dy y(x + ln y)生 = (一2 ) •4 -c o s2 + ：sin2 世―dx x- x 2Vx x dy Jx— = e* (sin y + cos y + x - sin y) " (- sin y + x cos y)⑸ dx(6)8u = z(x -y)z-'dx l + (x -y产8u =-z (x -y )z~'dy l + (x -y )2xdu _ (x- y)。

ln(x- y)dzl + (x -y )2z18.设 z = x + y _ jY + )J次， 求我 ⑷， 霜•A = 1 ——解： 为 J /y1/ + y2x2+ K ,4色=1 —2/ (3,4) = z所以 5G (3,4) = "y Ez = ln(x + — ) —19 .设 2x ,求法adz解：dx 2x3+ x y ,分 2x2 +） ， , 所以 比(1,0) = 1&dy(to ) = 2及 =2 / y 曳=120 .求卜列函数的二阶偏导数⑴ z =廿-4 x2y2 + y4及解：(1) & =4x3— 8xy\(2)z = l n(x2 +x y + y2)dzdy = — 8 /y +4y 3yz = arctg -(3) x察M Y 一 旷a2zdxdy- ^ = -16xydydxb N [ o 2 Q= 12y -8ySy2dz _ 2x + y--- - 2 o(2) dx x +xy + y ,dz _ 2y + xdy x + xy + y"d2z _ y2 - 2x2 - 2xy&2 (x2 +xy + y2)2d2z _ d2z _ (x2 + 4xy + y2)dxdy dydx (x2 +xy + y2')2d2z _ x2 - 2y2 —2xydy2 (x2 +xy + y2)2d2z _ 2xy d2z _ d2z _ y2 - x2⑶ dx2 (x2 + y2)2 dxdy dydx (x2 + y2)252z _ 2xydy2 (x2+y2)次 次 1/— I — x F y— =一2 1.证 明 函 数z = 皿A/X + ) 满 足a "21 1戊 _ 14x dz _ 2了 次 戊 1解：dx Jx + J y ,分 , x + J y ,所以 拉. 422 2 .证明2 = ' ( 小 + >2 )满足拉普拉斯方程2 2 42 .次=2x 次=2y 四=2y2 _解：过一万2 + > 2 , - x2 + y2 ； / ( / + >2) 2 ,丝 2d 一 为分2 — （》2 + > 2 ） 2 所以看2 + 4 2一23 .求下列函数的微分“ 儿⑴ y = eX ・siM x(2)y 二, .XIn sin —2(3)y = fan2(l + x2)(4)y = [ln(l-x)]2(5 ) y 2 +]” = x4arctan — = In ^x2 + y2(6) x解 .(i) y' = ^A(sin2 x + sin2x) dy = "(sin2 x + sin2x)dx, 1 x . 1 % ,y = — cot — ay = —cot—ax⑵’2 2 )2 2(3) / = 4x-Zg(l + x2)sec2(l + x2) dy = 4x・fg(l + x2)sec2(l + x2)dx,21n(l-x) . 21n(l - x ) .y =----------- ay =------------ax(4) x —I x — 12 » ， + X = 4x3y， =华 d)， =』dx(5)两边同时对X求导得 y 2y +1 2y +1,x+y , x+y ,y =—— -dy =---- - dx( 6)两边同时对了求导得 x一> 》一>24.下列函数的全微分_ + 工(1) ， ―x) x (2) Z = arcsin(xy)(3) z = ef-co srco sy (4 ) “ = x， z次 1 次 1 1 1解：(1)—今 = JO 一 一犷f) ，左冲 x= + —x ，所以 dz = y(l 一一x Y)dx + (x + -x)dy. /) > 包 / % 加 =dx + ] x =dy( 2) dx. = J l- x2y - , 4 =y]l-x2y~ ~x2y2 >jl-x2y2dz次⑶ & = ex+y sin y (cos x - sin x), dy = ex+y cos x(cos y - sin y)dz = e'+v [sin y(cos x - sin x)dx + cos x(cos y - sin y)dy]_d_u _ —°” __ _d_u_( 4) dx ~ y ^yz~' ② z-x^-iny Qz ~ yxyz -Inxdu = yzxyz~ldx + z , xy: - In ydy + yxyz - In xdz2 5 .利用微分求近似值1(1 ) M 7g l .02 (2) V 9 9 .9( 3)吆 4 6 " (4 ) e1 01解：利 用 近 似 公 式= / (X。

)+ / '(/ )(x 一 小)得⑴…L0 2尸皿1 +占1 -0 . 0 2 ;( 2)焉二忌+ Q) 1i 川)=0 / 0 0 0 5(3 ) t a n 4 6 ° =t a n 4 5 0 + t a n '4 5 °(x-x°)=] 0 3 4 9 ,(4 ) e L° i = e + e (x-X o)=2 . 7 4 5 5T = 2乎2 6 .已知单摆的运动周期 V g ,若摆长由2 0 c m增加到2 0 . 1 c m ,问此时周期大约变化多少？7 TA T = F (/ ) • A / = -y=A / = 0 . 0 0 2 2解： J g，2 7 . 设有一凸透镜,镜面是半径为R的球面（ 如图3 -9 ）,镜血的口径为2 6 ,若/ ? 比H小的多， 试证明透镜的厚度 2R . 图1 3 -9D = R - J - 2—力2 = ----------2 , , __解： H + / ， 因为〃比R小的多， 所以，斤_ " « / ? ,2 8 .利用全微分求下列近似值.(1 )s in 2 9 ° ^ 4 6 °⑵(1 0 -D2 0 3z = sin Xtgy,dz = ^- 1 d x + \ [解：⑴设 & I*)②l(3O^,45°)^^,,z ® z (3 0 ° ,4 5 ° ) + J z ® 0 . 5 0 2 3 4dZ = ^ I dx +玄 I⑵ 设z = x‘， &品⑵ 办L♦。

⑵办，z*z(10,2) + Jz» 108.90829.有一圆柱体,它的底半径由2cm增加到2. 05cm,其高H由10c〃 ? 减少至lj 9. 80九 ， 试求体积变化的近似值.解：AV » dV = 27irhdr + m-'hdh = 1.2 ncnr,30 .有•用水泥砌成的无盖长方体水池， 它的外形长5米， 宽4米， 高3米,又它的四壁及底的厚度均为20 cm ,试求所需水泥的近似值.翻 »dV = [2(5x3 + 3x4) + 4x5]x0.2 = 14.8〃 广/U I :31 .求下列复合函数的偏导数.,龙⑴ = u2v - uv2 ,u = xcosy,v = xsiny 求 次 ‘ 办戊 戊(2)设z = e"cosv,u = xy,v = ln(x — y),求a"di di⑶ 设z = / ( - - / , * ) ,求 今‘4■ ,( 4 )设z = (2x + y ) 2 ?求 戊 ’ "(5)/(X ) 、 戊 戊Z = xW(_，一) -设 )，X ,求 次4(1)根据链式法则得= 3x2 sin y cos y(coy - sin y)= -2x3 sin ycoy(sin y + cos y) + x3 (sin3 y + cos3 y)(2 )根据链式法则得—& = *xyc3os i皿nex v#)「 [ y cosi ln/( x - y、) - -孙- s-i-n-- l-n-(-——x - >—) i]dx x - y— = e x - " -叫 xcos ln(x-y)+ “ ] 即二仁)、dy x -y(3)根据链式法则得* = 2端 + y / " 2 焉 =-2切 '+ ye^f'2(4 )两边取对数 l n z = (2 x+y)l n (2 x+y)y- = 2 (2 x + y)2 x+v[ l n (2 x + y) + 1 ] ^ = (2 x+ y 严 斗 l n (2 x + y) +1 ]( 5 )根据链式法则得dz r /x y. x2 , •^ = v (77) -T/ l + # 23 2 .设zs in x + F (s in y - s in x)A 炭— c os y + — c os x = c os x • c os y， 证明a ”抄解:3 z二 =c osx + Fr • (-c os x), — = F' • c os y,今 效且 c os y +包 c os x = c os x. c os y所以今 办_ 2 __卜 f( D ) x ------- xy —3 3 .设 3 x 、， 其中/ 可 微 ， 证明 合 分dz.解： 为y' , dz 2y- T ^ + f - y ^ = —3厂 dy 3XX2所以立— 肛互+ y 2= odx dyd'u » u 32u 13 4 ,设N = l n r ,r = JV+ , 2+名2 ,证 明a2 时 及2 户d2u _ y2 + z2- %2解:~ (x2 + y2 + z2)2d~u _ x2 + z2 - y24 2 (%2 + y2 + Z2)2亚, x1 + y2 - z2 62M d~u d~u 1R (x2 + y2 +z 2 )2 ,所以时 戊2 r23 5. 设 "=x •(P(x + y) + y • ,(x + y),其中。

， 沙二阶偏导数连续,证明6 2 〃 〃 从— o - 2 -----1--- T -解：空= 2 ” + #〃 +)， 仁 富 = 河 " + 2 〃'+)"”夕〃加 日2“巾2”----------2 H----- - 0S x. d^ =(p' + x(p" + y i / / " + i1 / '所 以a2 df3 6 .下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数—= l n ( x y )生(1 )设y ， 求公.dy(2 )设e > =/ c os (x+y),求7dy(3 )设s i" + e、 - 盯2 = o， 求 公I n -J x2 + y2 = arctg — —(4 )设 x ,求 d x及 龙(5)设％ + 2 ' + 1 2/反=0 ,求 今 ， .x . z a E——i n — — , —( 6)设z 求 合@ .仇及⑺ 设x + y + z = e， + ， + z ,求 今 ’ 为.y - y ' x _ y +盯' 、 "封 一 /2 — - y 一 ~解：( 1)两边同时对x求 导y 孙 得 孙 +x， — a2 s i n ( x + y )⑵ 两边同时对x求导e> y = - a2 s i n ( x + y ) ( l+ y ' ) ey + a2s i n ( x + y )dy _ y2 -ex( 3 )两边同时对x求导c o s y y ' + e" - y ? - 2孙) ； ' =0得 dx c o s x - 2 x yy ' x - yx _ Ff +yl +ii 也 二 山( 4)两边同时对尤求导 X2 得 公 X —ydz _ y z - 7 ^ 7 dz _ xz-2 y/ ^( 5)两边同时对xy求偏导小 历- x y / 历-孙dz _ z dz _ 贮⑹ 两边同时对x ＞求 偏 导 小 x +z ② +z )dz . dz .- - =_ 1 - - - = - 1( 7)两边同忖对xy求偏导 小 dy之I 之I3 , 3 , 3 , X / \ — (1,2- 1 ) 9 - (1,2-1)37 .设x + y + z + x y z = 6,确定隐函数Z = z ( x , y ) ,求今| 沙3 1 3 । 3 । X解：对％ + y + z + % 户 =6两边同时对. ％求导，得3X2+3Z2ZX + yz + xyz.x =0 ,zx =_ 3 / — /3 z2 + xy_ -3 y2 - xz dz . _ J _同理 3z + x y , 所 以 & 5dz , 11诙 二 广 一 二—38 .设2 s i n ( x + 2 y - 3z ) = x + 2 y - 3z ,证明金解：对2 s i n ( x + 2 y - 3z ) = x + 2 y _ 3z两边同时对x求导，i f, 1 1 1 L 1Z —— 1- - - - - - - - - - - - - - - - - , z —— 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - -得 “ 3 _ 2 c o s ( x +2 y - 3z ) J 3 2 c o s ( x + 2 y - 3z ) _次 S z— + — = 1代入得法 身次 、 d z . _z -- - -F y * — = x39 . 设x + Z = y . / ( / - 其中/ 可 微 ， 证 明 今 '办 .yf - 2 x dz f 戊 dz解：dx l + f'-2 yz t dy 1 + 2 幽f ,所以 戊‘ 办* 40 .求函数Z =/ +产在点( 1, 2 )处沿从点( 12 )到点( 2 , 2 + 6 )的方向的方向导数.解：1 +2出* 41.求 函 数 " =型 在 点( 5, 1, 2 )处沿从点( 5, 1, 2 )到点( 9, 4, 14)的方向的方向导数._ 98解： 13* 42 . 设/ ( 尤， 笫2 ) = 尤 2 +2*+3Z2 + 孙 + 3》一2 〉一6工 求 “如〃0 , 0 , 0 ) 及gradf (1 ,1 ,1 )解：grad/ ( 0 , 0 , 0 ) = { 3, - 2 , - 6) grad = { 6, 3, 0 }。