工程力学2-2-c14a.ppt

工程力学A (下)北京理工大学理学院力学系 韩斌( 2–2 )( 2–2 )46+2/III1§14 组合变形 §14.1 组合变形的概念与分析方法 1. 组合变形的概念组合变形——杆件在外力作用下，同时产生两同时产生两 种或两种以上基本变形种或两种以上基本变形的情况例如：（a）坡屋顶上的横梁斜弯曲(双向弯曲)23例如：（b)厂房边柱压（拉）弯组合MMF FN N4例如：（c）传动轴（胶带轮直径为D）弯扭组合胶带轮紧边张力FT1>胶带轮松边张力FT2平衡时：FT1 +FT2 MtFT1 FT2MtD52.组合变形的分析方法 分析方法：弹性范围内，采用叠加原理：先分解分解成各种基本变形，分别计算分别计算相应的应力分量，然后将同一点的同一截面上同一点的同一截面上的相应应力分量叠加相应应力分量叠加 分解分算叠加 条件： （1）材料处于线弹性 （2）小变形——各基本变形之间无耦合 F1wF当挠度 w 较大时梁的横截面上有：M附加=Fw轴向拉压与弯曲耦合！ 6分解——将载荷分解为几组静力等效的载荷，每组 对应一种基本变形 分算——每种基本变形分别计算 叠加——将几种基本变形的结果（内力、应力、应 变、位移等）分别叠加。

3.组合变形的强度计算 首先找出结构中的危险截面危险截面和危险点危险点，并判断危险点危险点 的应力状态： (1)危险点为单 向应力状态(2)危险点为纯 剪应力状态(3)危险点为复杂 应力状态(二向、 三向应力状态)利用强 度理论78§14.2 强度理论强度理论——依据实验及材料破坏现象的分析，所提 出的强度失效假说，适用于任意应力状态任意应力状态 统一表达式：1.第一强度理论（最大拉应力理论）解释断裂失效，适用于脆性材料 某点的最大拉应力（即某点的第一主应力 ） 是破坏的原因，强度条件为：(14.1)其中 称为该强度理论的相当应力相当应力当 时破坏发生缺点：未考虑第二、第三主应力的影响，单压、二向压缩无法使用由危险点的应 力状态的主应 力决定91.第二强度理论（最大拉应变理论）解释断裂失效，适用于脆性材料 某点的最大拉应变（即某点的第一主应变 ） 是破坏的原因强度条件为：(14.2)当 时破坏发生缺点：与实际情况不完全符合，用途不如第一强 度理论更广103.第三强度理论（最大切应力理论）解释屈服失效，适用于塑性材料。

某点的最大切应力是引起该点屈服的原因当 时屈服发生强度条件为：(14.3)缺点：未考虑第二主应力的影响4.第四强度理论（畸变能理论）解释屈服失效，适用于塑性材料某点的畸变比能是引起该点屈服的原因11强度条件为：(14.4)5.莫尔强度理论 适用于拉压不同性的脆性材料强度条件为：(14.5)根据大量的材料力学性能实验结果归纳而成当 时转化为第三强度理论 12第一强度理论的强度条件为：(14.1)(14.2)(14.3)(14.4)(14.5)第二强度理论的强度条件为：第三强度理论的强度条件为：第四强度理论的强度条件为：莫尔强度理论的强度条件为：136.几种常见的典型危险点的强度计算工程上常见的拉、扭、弯及它们的组合变形 ，其危险点常为以下三类应力状态：（1）第一类危险点——单向应力状态如：轴向拉伸的危险点FF=F/A弯曲时的正应力危险点 F=M/W14对第一类危险点，主应力为：选用不同强度理论时的相当应力为：则相应的强度条件为：15（2）第二类危险点——纯剪切应力状态如：扭转时的危险点TT弯曲时的切应力危险点F16对第二类危险点，主应力为：选用不同强度理论时的相当应力为：故选用不同强度理论时，许用切应力与许用 正应力之间的比例关系有不同的系数ki可改写为：则相应的强度条件为：17（3）第三类危险点——二向应力状态如：弯曲时拉+扭组合变形：TT FFTF弯+扭组合变形：对第三类危险点，主应力为：若选用第三或第四强度理论：或18对第三类危险点，第三或第四强度理论的强度条件为：第三强度理论(14.6)第四强度理论(14.7)TF若为弯+扭组合变形，危险截面的弯矩M，扭矩T，则：由于圆轴有：19（4）其他类型危险点如：危险点为三向应力状态 若若代入 的表达式中，得各强度理论的强度条件。

20例 题 14-1§I4 §I4 组合变形组合变形 例题(1)一端固支的空间刚架受力如图， Fa力偶作用在xy平面内，F力沿x方 向作用，求A，B-，B+，C+截面上的 内力分量解：2Fa2FaF FABCD沿A截面切开：FNAMzAMyA弯矩轴力F Fx zyABCD2Fa2Fa21例 题 14-1§I4 §I4 组合变形组合变形 例题沿 B- 截面切开：FNB-MzB-MyB-弯矩轴力沿 B+ 截面切开：BF F2Fa2FaCDF Fx zyAB2Fa2FaCD TB+FSxB+ MyB+F FBCD2Fa2Fa剪力 扭矩 弯矩 22例 题 14-1§I4 §I4 组合变形组合变形 例题沿 C+ 截面切开：MMzCzC+ +F FCDF Fx zyAB2Fa2FaCDFSxC+剪力弯矩23例 题 14-1§I4 §I4 组合变形组合变形 例题(2)图示结构，F力沿z 方向作用，求A截面上 的内力分量FL BCzxyA L2LD 解：FL2LLABCD沿A截面切开， 取整体为对象， 列平衡方程：F FS Sz zMMy yT TA截面上的内力分量 剪力弯矩 扭矩方向 如图杆的AD段为弯+扭，CD段为弯曲，DB段无变形zxy24§14.3 组合变形典型之一——斜弯曲1.斜弯曲与对称弯曲、平面弯曲的区别：§13中讨论过的对称弯曲对称弯曲：截面有一纵向对称轴（y轴），载荷作用于纵向对 称面内。

yyy25§13中介绍过的平面弯曲平面弯曲：——截面虽无纵向对称轴，但载荷作用面过弯 曲中心O，且平行于截面的形心惯性主轴oo对称弯曲、平面弯曲——中性轴都与载荷平面垂直CC斜弯曲斜弯曲——梁上横向载荷的作用方向过横截面的 弯曲中心，但不与横截面形心主轴平行 26截面有纵向对称轴，但载荷不作用在纵向对称面内截面无纵向对称轴，载荷过弯曲中心，但不平行于形心惯性主轴斜弯曲斜弯曲（双向弯曲）（双向弯曲）FoF斜弯曲可分解为分别在截面两个相互垂直的形心主惯性平面内的平面弯曲例如：27FoF若载荷不过弯曲中心，且不平行于主惯性平面——可将载荷平移致弯曲中心并附加力偶按照斜弯曲+扭转计算FcFTT28例 题 14-2§I4 §I4 组合变形组合变形 例题FxyzLAB矩形截面梁的斜弯曲yzF解： 外力过弯曲中心（即形心），但外力作用线不与 形心主惯性轴重合，将其沿两个主惯性轴分解 产生以 z 为中性轴的弯曲， 产生以 y 为中性轴的弯曲，1.分解29例 题 14-2§I4 §I4 组合变形组合变形 例题FxyzLAByzF2.分算xyLx 弯矩：x截面上任意点处(y,z)的正应力：（y,z）(1)产生以 z 为中性轴的弯曲30例 题 14-2§I4 §I4 组合变形组合变形 例题FxyzLAByzF弯矩： x截面上任意点处(y,z)的正应力：（y,z）（2 ）产生以 y 为中性轴的弯曲xzLx31例 题 14-2§I4 §I4 组合变形组合变形 例题FxyzLAByzFx截面上任意点处(y,z)的总正应力：（y,z）xzLxz3.叠加总应力是y，z的线性函数，在截面上分布为一斜平面322.斜弯曲的特点 (1)斜弯曲的中性轴位置中性轴——由截面上弯曲正应力为零的点组成令上式为中性轴应满足的方程 ，为一条过原点的直线yzF中性轴的斜率为：斜弯曲的应力33中性轴与载荷垂直——平面弯曲中性轴的斜率为：yzF若则若则中性轴与载荷不垂直中性轴与载荷不垂直 ————斜弯曲斜弯曲例如：圆形、正多边形截面均有故总是平面弯曲！FFyzyz34实际上，圆形、正多边形截面均有 =常数 ，故总是平面弯曲！FFyzyzFyzMMy yMMz zyzMM总总故圆形、正多边形截面双向弯曲时：拉应力拉应力 危险点危险点压应力压应力 危险点危险点35（2）中性轴把截面划分为拉应力区和压应力区yzF拉应力区拉应力区压应力区压应力区（3）斜弯曲梁的强度计算 正确找出危险截面， 在危险截面上正确找出危险点危险点——距中性轴最远的点外凸尖角处截面周边平行于 中性轴的切线与 周边的切点 F强度条件： 36yzFbhF危险截面在固支端：例如：例14.2中F若截面改为圆形，危险点应力为何？37特别注意：圆形截面总是平面弯曲，且无尖点，FMMy yMMz zyz故危险点应力应按矢量合成后的M总计算。

yz中性轴中性轴MM总总中性轴中性轴3839（4）斜弯曲的挠度 分别计算出 y , z 两个方向的挠度分量wy,wz后，按矢量合成为总挠度w:w wy y例如例14.1yzFw wz z斜弯曲的总挠度矢量方向斜弯曲的总挠度矢量方向 总是垂直于中性轴！总是垂直于中性轴！ 但一般不在载荷的作用面内！但一般不在载荷的作用面内！w已算出中性轴的斜率为：40§14.3 组合变形典型之二——拉（压）弯组合、偏心拉压拉（压）弯组合——载荷为轴向力+横向力（或轴向平面内力偶）偏心拉压——所受轴向力作用线不与轴线重合（偏心力）拉弯组合e偏心拉伸41例 题 14-3§I4 §I4 组合变形组合变形 例题矩形截面偏心拉伸载荷作用在杆顶 面任意（yp，zp）位置，求与轴线 垂直的横截面上 任意点（y，z） 的应力42例 题 14-3§I4 §I4 组合变形组合变形 例题解：偏心拉伸力F向截面的形心O处简化得1.分解zyF•zFyFO轴向拉力F，xy平面内的力偶xz平面内的力偶yzF MyMzMyMz F43MyMz例 题 14-3§I4 §I4 组合变形组合变形 例题zyF•zFyFOF3.叠加2.分算在任意横截面上的点（y，z）处：拉压正应力以z为中性轴 弯曲正应力以y为中性轴 弯曲正应力44例 题 14-3§I4 §I4 组合变形组合变形 例题总应力为截面上的中性轴： 令得中性轴方程zyF•zFyFOMyMz中性轴中性轴ayaz截距中性轴与偏心拉力作用点分布于形心两侧45例 题 14-3§I4 §I4 组合变形组合变形 例题zy•F（zF，yF）O中性轴中性轴拉应力区拉应力区压应力区压应力区中性轴将截面划分为受拉 区和受压区：危险点：外凸尖点，或周边平 行于中性轴的切线切点。

中性轴中性轴4647轴向压力F 作用点若在靠近横截面 形心的某一区域内，则横截面上的 正应力均为压应力，该区域称为该 截面的核心截距zyF FzFyFOMyMz中性轴中性轴ayazhbh/6b/6DD/4此概念常用于建筑结构截面核心截面核心的概念：对偏心压缩杆中性轴yzF当yF, zF减小时48。