多元复合函数与隐函数求导法则课件.ppt

1第三节本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分 第八章第八章 三、隐函数求导法则三、隐函数求导法则2一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数若函数处偏导连续处偏导连续, 在点在点 t 可导可导, 则复合函数则复合函数证证: 设设 t 取增量取增量△△t ,则相应中间变量则相应中间变量且有链式法则且有链式法则有增量有增量△△u ,△ △v ,3( 全导数公式全导数公式 )(△△t＜＜0 时时, ,根式前加根式前加“–”号号) )4若定理中若定理中 说明说明: 例如例如:易知易知:但复合函数但复合函数偏导数连续减弱为偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 则定理结论不一定成立则定理结论不一定成立.5推广推广:1) 中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形. 设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.例如例如,例如例如,6又如,当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时, 有有注意注意:这里这里表示表示 f ( x,   ( x, y ) )固定固定 y 对对 x 求导求导表示表示f ( x, v )固定固定 v 对对 x 求导求导口诀口诀 :与与不同不同,分段用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 单路全导单路全导, 叉路偏导叉路偏导7例例1. 设设解解:8 解解 例例2. . 求函数求函数 的偏导数的偏导数. . 令令则则9例例3.解解:10例例4. 设 求全导数求全导数解解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号这方面问题的求导技巧与常用导数符号.15二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数设函数的全微分为的全微分为可见无论可见无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, 则复合函数则复合函数都可微都可微, , 其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性这性质叫做全微分形式不变性.16例例 6.利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例1. 解解: :所以所以171、一个方程所确定的隐函数、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 2、方程组所确定的隐函数组、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数三、三、隐函数的求导方法隐函数的求导方法 181、一个方程所确定的隐函数及其导数、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1. 1. 设函数设函数则方程则方程单值连续函数单值连续函数 y = f (x) ,并有连续并有连续(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①① 具有连续的偏导数具有连续的偏导数; ;的的某邻域内可唯一确定一个某邻域内可唯一确定一个在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足②②③③满足条件满足条件导数导数19两边对两边对 x 求导求导在在的某邻域内的某邻域内则则20例例7. 验证方程在点在点(0,0)某邻域某邻域可可确定一个确定一个单值可导隐函数单值可导隐函数解解: 令令连续连续 ;由由 定理定理1 可知可知,①①导的隐函数导的隐函数 则则②②③③在在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可的某邻域内方程存在单值可且且并求并求2122定理定理2 .若函数若函数 的某邻域内具有连续偏导数的某邻域内具有连续偏导数 ;则方程则方程在点在点并有连续偏导数并有连续偏导数定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略定理证明从略, 仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下:满足满足①① 在点在点满足满足:②②③③某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确23两边对两边对 x 求偏导求偏导同样可得同样可得24解：解： 利用公式设设则则例例8. 252、方程组所确定的隐函数组及其导数、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由由 F、、G 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式称为称为F、、G 的雅可比的雅可比 行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即即雅可比雅可比 27定理定理3 3. .的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏设函数设函数则方程组则方程组③③的单值连续函数的单值连续函数且有偏导数公式且有偏导数公式 : :①① 在点在点②②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足满足: :导数；导数；28(P86)29有隐函数组有隐函数组则则两边对两边对 x 求导得求导得设方程组在点在点P 的某邻域内的某邻域内解的公式解的公式 故得故得系数行列式系数行列式30同样可得同样可得31例例9. 设解解:方程组两边对方程组两边对 x 求导，并移项得求导，并移项得求求练习练习: 求求答案答案:由题设由题设故有故有32内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”例如例如,2. 全微分形式不变性全微分形式不变性不论不论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,333. 隐函数隐函数( 组组) 存在定理存在定理4. 隐函数隐函数 ( 组组) 求导方法求导方法方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ;方法方法2. 利用微分形式不变性利用微分形式不变性 ;方法方法3. 代公式代公式 .第三次作业第三次作业。