信号与系统实验五 WTT.doc
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实验五 连续时间LTI系统的复频域分析一、实验目的1、掌握拉普拉斯变换的物理意义、基本性质及应用；2、掌握用拉普拉斯变换求解连续时间ＬTＩ系统的时域响应；3、掌握系统函数的概念,掌握系统函数的零、极点分布（零、极点图）与系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系;4、掌握用MAＴLAB对系统进行变换域分析的常用函数及编程方法二、实验原理拉普拉斯变换是分析连续时间信号的有效手段，对于当时信号幅度不衰减或增长的时间信号，其傅里叶变换不存在，但我们可以用拉普拉斯变换来分析它们连续时间信号ｆ（t)的拉普拉斯变换定义为: ,其中s=,若以为横坐标(实轴），为纵坐标(虚轴）,复变量s就构成了一个复平面，称为s平面显然,F(s）是复变量s的复函数,为了便于理解和分析随ｓ的变化规律,我们可以将Ｆ(s)写成:,其中 为复信号F(s）的模，而为F(s)的相角1、拉普拉斯变换及MＡTLAＢ的实现（1)利用ｍａtlａｂ符号运算功能实现拉普拉斯变换 如果连续时间信号f(t)可用符号表达式表示,则可直接调用ＭＡTＬＡB的laplace函数来实现其单边拉普拉斯变换 调用ｌａpｌacｅ函数的命令格式为：①Ｌ=ｌaplacｅ(F) : 输入参量F为连续时间信号f(ｔ)的符号表达式，输出参量L为返回默认符号自变量ｓ的关于F的拉普拉斯变换的符号表达式。
②L=laplace(F,v)：输入参量Ｆ为连续时间信号f(ｔ）的符号表达式，输出参量L为返回默认符号自变量v的关于F的拉普拉斯变换的符号表达式例：５-1 已知f（t)=e-tsｉｎωｔ,求f（t)的拉氏变换 在comｍand 窗口输入以下命令:＞＞syms t ｗ ; %定义时间符号变量>＞F=eｘｐ（－ｔ)*sin(w*ｔ）； ％定义连续时间信号的符号表达式>>Ｌ=ｌａplacｅ(Ｆ) %计算拉普拉斯变换的符号表达式(2)利用maｔlａb符号运算功能实现拉普拉斯逆变换 ＭATLＡB为用户提供实现信号拉普拉斯逆变换的专用函数ilaｐlace调用ｉlaｐlaｃe函数的命令格式为：①Ｆ=ｉlaplａcｅ(Ｌ) :输入参量L为连续时间信号ｆ(ｔ)的拉普拉斯变换F(ｓ)的符号表达式，输出参量Ｆ为返回默认符号自变量ｔ的关于符号表达式L的拉普拉斯逆变换ｆ(t)的符号表达式②Ｆ＝ilaｐlaｃe(L，w) :输入参量Ｌ为连续时间信号f（t)的拉普拉斯变换F(s)的符号表达式，输出参量F为返回默认符号自变量w的关于符号表达式Ｌ的拉普拉斯逆变换ｆ（t)的符号表达式。
例:5-2 已知,求F(ｓ)的拉氏反变换在cｏmｍａnd 窗口输入以下命令：>>ｓymｓ ｓ; %定义复变量ｓ>＞L＝s^2/(s^2+1）; %定义拉普拉斯变换(像函数)的符号表达式＞＞F＝ilａplace(L) %计算拉普拉斯逆变换(3)部分分式展开设连续时间信号f(t）的拉普拉斯变换为ﻩ若M
用matｌab绘制拉普拉斯幅度曲面图的过程如下：① 定义两个向量ｘ和y来确定绘制曲面图的复平面横坐标（实轴）和纵坐标(虚轴）的范围② 调用meshgrｉd函数产生包含绘制曲面图的s平面区域所有等间隔取样点的复矩阵s③ 计算复矩阵s定义的各样点处信号拉普拉斯变换Ｆ(ｓ)的函数值,并调用adｓ函数求其模的大小④ 调用mesh函数绘出其幅度曲面图函数说明:[x,ｙ] = mｅshgriｄ(x1,y1）：用来产生绘制平面图的区域,由x1,y1来确定具体的区域范围，由此产生s平面区域当ｘ=y时,meｓhgｒｉd函数就可以写成ｍeshgriｄ(x）mｅsh （ｘ,y，ｚ,c)：用于绘制三维网格图，一般情况下，x、y、ｚ是维数相同的矩阵ｃ省略时,ｍatlａb认为c=ｚ,颜色的设定是正比于图形的高度surf (x,ｙ,z,ｃ)：用于绘制三维曲面图,各线条之间的补面用颜色填充vieｗ (az,ｅl):设置视点的函数,其中az为方位角,eｌ为仰角，均以度为单位系统默认的视点定义为方位角-3７.５度,仰角为３0度2)拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系根据课堂上所学的知识可知,拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系可表述为：傅里叶变换是信号在虚轴上的拉普拉斯变换，也可用下面的数学表达式表示 即令信号拉普拉斯变换F（s)中复变量s的实部为零(=0)，就可以得到信号的傅里叶变换F(ｊw)。
从三维几何空间的角度来看,信号f（ｔ)的傅里叶变换F(jw)就是其拉普拉斯曲面图中ｓ平面虚轴剖图(=0）所对应的曲线3、系统函数的零极点分布图（1）ＭＡTLＡB方法用于系统函数分析描述系统的另一种数学模型就是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数(Syｓｔeｍ Ｆunctioｎ）”——H(s）： 系统函数的实质就是系统单位冲激响应(Imｐｕlｓｅ Rｅｓｐｏnsｅ)的拉普拉斯变换因此,系统函数也可以定义为: 所以,系统函数的一些特点是和系统的时域响应的特点相对应的在教材中，我们求系统函数的方法，除了按照拉氏变换的定义式的方法之外,更常用的是根据描述系统的线性常系数微分方程，经过拉氏变换之后得到系统函数假设描述一个连续时间LTI系统的线性常系数微分方程为： 对上式两边做拉普拉斯变换,则有 即 上式告诉我们，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间ＬTI系统,它的系统函数是一个关于复变量s的有理多项式的分式，其分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。
根据这一特点,可以很容易的根据微分方程写出系统函数表达式,或者根据系统函数表达式写出系统的微分方程系统函数大多数情况下是复变函数,可以有多种表示形式，其中零极点形式： ,zj(ｊ＝１,2,…，M)为Ｈ(s)的M个零点,pi（i=1，2，…,Ｎ）为H(s）的N个极点函数说明: r=rｏｏｔｓ （c):用于计算零、极点，其中ｃ为多项式的系数向量（从高次到低次），r为根向量若参数为Ｈ(s)的分子多项式系数b，则得到零点;若为Ｈ(ｓ)的分母多项式系数a,则得到极点 [p,z]=pzmaｐ(sys）:也具有计算极点p和零点z的功能 pｚmap（syｓ)：不带返回值,则绘制出系统的零、极点分布图Ｈ ＝ ｆreqs（num，den，ｗ)：计算由num,dｅn描述的系统的频率响应特性曲线返回值H为频率向量规定的范围内的频率响应向量值如果不带返回值H，则执行此函数后,将直接在屏幕上给出系统的对数频率响应曲线（包括幅频特性取向和相频特性曲线)Ｈ = ｉmpulｓｅ(ｎum,den，t）:求系统的单位冲激响应,不带返回值，则直接绘制响应曲线,带返回值则将冲激响应值存于向量h之中例5－5 设有系统函数，试画出零、极点分布图，并求系统的冲激响应和频率特性H(w）参考程序：ｎｕm=[1];ｄen=[１，２,2,1];sys=tｆ（num,dｅｎ)；poles=rｏots（den)ｆigure（１);pzmａp(sys）;ｔ=０：0．0２:10;h=ｉmpulsｅ(num，dｅｎ，t)；figｕre(2);ploｔ(ｔ,h);title(冲激响应);[H，w］=freqs（ｎum,den);ｆiｇuｒe(3)；ｐlｏt(w，abs(H)）;注：将鼠标移到零极点上即能显示其位置坐标。
系统函数的零极点图(Zero－poｌe diagram)能够直观地表示系统的零点和极点在s平面上的位置,从而比较容易分析系统函数的收敛域和稳定性２）系统函数的极点分布与系统的稳定性和因果性之间的关系一个稳定的LTI系统，它的单位冲激响应h(ｔ)满足绝对可积条件，即 同时,我们还应该记得,一个信号的傅里叶变换的存在条件就是这个信号满足绝对可积条件,所以，如果系统是稳定的话,那么,该系统的频率响应也必然是存在的又根据傅里叶变换与拉普拉斯变换之间的关系，可进一步推理出,稳定的系统,其系统函数的收敛域必然包括虚轴稳定的因果系统，其系统函数的全部极点一定位于s平面的左半平面所以，对于一个给定的LTI系统，它的稳定性、因果性完全能够从它的零极点分布图上直观地看出三、实验内容及步骤（1) 试利用MＡTLＡB绘制单边矩形脉冲信号f(t）=ｕ(ｔ)-u(ｔ-２）的拉普拉斯变换的幅度曲面图及该信号的幅度频谱曲线，观察分析拉普拉斯变换幅度曲面图在虚轴剖面上的对应曲线，并将其与信号傅里叶变换F（jw)绘制的振幅频谱进行比较。
波形不用写入实验报告)提示:clear;a=－0：0.1:5;ｂ=-20:０.１:20;ﻩ%确定绘图区域写出f(ｔ）信号的拉普拉斯变换F(s),取其绝对值%绘制曲面图ｍｅｓh(）; ﻩ ﻩsｕrf();％调整观察视角 ｖiew（-60，20) ﻩﻩ 加坐标 ａxiｓ(［０,5,-20,20，０,2]）；tiｔle（＇The Lａplａce ｔransforｍ of thｅ recｔａngｕlar pulse);w=-２0:０.1:２0；写出ｆ(t)信号的傅里叶变换F（ｗ）画幅度频谱曲线 ploｔ(ｗ, );ｔitle(Tｈe Fｏurｉer ｔransｆorm of the reｃtaｎgｕｌar puｌse＇);xlabel(frｅquenｃe w);(2零极点分析已知系统函数,求零极点并画出零极点图,并求阶跃响应和冲击响应根据poleｓ 取到的零级点,分析此系统的稳定性(参考。
