10电子在库伦场中的运动.pdf
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1第十讲 （ 2 学时）一、授课题目：电子在库仑场中的运动二、教学目的 及 要求 ： 熟悉球对称条件下定态薛定谔方程的求解，三、教学重点和难点：径向波函数的求解四、教学过程1、有心力场中的薛定谔方程考虑一电子在一带 正电的核所产生的电场中运动，设 电子的质量为 µ，带电 e− ，核带电为 Ze取坐标原点在核上，则电子受到的核的势能为rZerZerU s2024)( −=−= πε 其中 04πεees =则系统的 Hamilton 算符为 rZeH s2222ˆ −∇−= µℏ使用球坐标系，则定态薛定谔方程为ψψψϕθθθθθµ ErZerrrr s =−∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂− 2222222 ]sin1)(sinsin1)([2ℏ利用角动量平方算符，可将薛定谔方程写成ψψµµ ErZerLrrrr =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −+∂∂∂∂− 222222 2 ˆ)(2ℏ采用分离变量法，设 ),()(),,( ϕθϕθψ YrRr =则代入方程后，有 YLYrZeErdrdRrdrdR s 2222 22 ˆ1)(2)(1 ℏℏ =++ µ所以我们有 YYL 22ˆ ℏλ=0])(2[)(1 22222 =−++ RrrZeEdrdRrdrdr s λµℏ第一个方程正是我们讨论过的球谐函数方程，因此⋯⋯,2,1,0),1( =+= lllλ),(),( ϕθϕθ l mYY = lm ±±±= ,,2,1,0 ⋯2这样波函数的径向部分满足的方程为 0)1()(2)(1 22222 =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ +−++ RrllrZeEdrdRrdrdr sℏµ2、薛定谔方程径向波函数方程的解注意关系式 2222 )(1)(1 drrRdrdrdRrdrdr =所以我们作变换，令 )()( rrRru = ，则方程变为0)1()(2 22222 =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ +−++ urllrZeEdrud sℏµ在原子内或有心力场中，都是束缚态，因此我们不失一般性，假设 0 这样我们设解为 )()( 2/ ρρ ρ feu −=代入方程后，得 '2/2/' 21 fefeu ρρ −− +−= ； ''2/'2/2/'' 41 fefefeu ρρρ −−− +−=0])1([ 2''' =+−+− fllff ρρβ利用级数解法，设 sbf +∞∑= νν νρρ)( ，代入方程，得1020)()1)(( −+∞=−+∞=+−−++ ∑∑ ss sbssb νν ννν νρνρνν 0)1( 2010=+−+ −+∞=−+∞= ∑∑ss llbb νν ννν νρβρ0)]([])1()1)([( 1020=+−++−−++ −+∞=−+∞= ∑∑ss bsbllss ννννννρνβρνν30})]([)]1())(1[()]1()1({[ 11020 =+−++−+++++−− −++∞=− ∑ ss bsbllssbllss ννννρνβννρ由各个幂次的系数为零，得)1()1( +=− llss （因为 00 ≠b ） 所以 1+= ls 或 ls −=由于波函数在 0→r 时有限，但 102/2/)()( −+∞=−− ∑=== sbeefrurR νν νρρ ραρρα所以必须有 1≥s ，这样只能取 1+=ls 。 系数的递推公式为 νν νν βν bllss sb )1())(1(1 +−+++ −+=+ = ννν βν bllll l )1()1)(2( 1 +−++++ −++= ννν βν bll l )22)(( 1 +++ −++3、使用标准条件定解下面我们继续讨论解的问题先看级数解的收敛性，由 νννν 1|1 →∞→+bb因此级数解的极限是 ρρ ef →)( ，这样当 ρ 很大时，∞→→== − ρρραρρα ρρ /)()( 2/2/ efeuR这显然与波函数的有限性要求相矛盾为此，我们要求波函数退化为一个多项式来保证波函数的收敛，或者保证波函数的有限性由系数递推公式，设级数的最高幂次为 rn ，则 01 =+rnb 所以有 1−−= lnr β或 nlnr =++= 1β 为整数，称之为主量子数，而 rn 叫径量子数由于 ||22 22 2 EZeZe ss µαµβ ℏℏ == ，所以能量为 22 42022422)4( 12 nZeneZE sn ℏℏ µπεµ −=−=所以在束缚态下，仅当能量取分离值时，波函数才是有限的将 n=β 代回到系数递推公式中，得⋯+++ −+−+++−++= + 210 )32)(22(!2 )1)(2()22(!1 11()( ρρρρ ll nlnll nlbf l))()32)(22()!1( 1)2)(1( 1−−+++−− −+−++ lnlnllln nlnl ρ⋯ ⋯ = )(])![( )!1()!12( 12120 ρρ ++++ −−+− l lnl Lln lnlb4其中 ννν ρνννρ !)!12()!1( ])![()1()( 210112 ++−−− +−= ∑−−=+++ lln lnL lnl ln 叫缔合拉盖尔 （ Laguerre ）多项容易证明： )()( nsxnnsxns xedxdxexL +−−=这样，我们可将解统一写出，注意到0222242222228||8 naZnZeneZE ss ==== ℏℏℏℏ µµµµα其中 220sea µℏ= 是玻尔半径， rnaZr02== αρ 。 径向波函数为)2()2()(01200 naZrLnaZreNrR llnlnaZrnlnl ++−=整个波函数为 =),,( ϕθψ rnl m )2()2(01200 naZrLnaZreN llnlnaZrnl ++− ),( ϕθl mY归一化常数可以得到 ϕθϑψπθπϕddrdrrsin|| 220 020∫ ∫ ∫∞= = == ϕθθπ π ddYdrrrR l mnl sin||)( 2020202 ∫ ∫∫∞ = drrrR nl 202 )(∫∞ =1即 32212202 /][1 αρρρρ dLeN llnlnl ++−∞∫= = ρρα ρ dLeN llnlnl ][ 1222032 +++∞ −∫令 mln =+ ， Kl =+12 ，则我们需要计算积分 ρρρ dLLeI KmKmK 10+∞ −∫= 为此我们首先利用关系式 1−= KmKm LddL ρ计算积分 ρρρρ dLddLeI KmKmK 101−∞ −∫= ρρρρ ρ dLddeddL KmKKm )( 101 −−∞ −∫−=利用缔合拉盖尔多项式满足的方程0)1()( 11122 =+−+−+ −−− KmKmKm LKmLddKLdd ρρρρ将积分号下的微分算出)()( 1112 121 ρρρρρρρρρ ρρ ddLddLKdLdeLddedd KmKKmKKmKKmK −−−−−−− −+=5))(( 112 12 ρρρρρρ ddLKdLde KmKKmK −−−− −+=在微分方程上乘以 1−− Ke ρρ ，上式得 111 )1()( −−−−− +−−= KmKKmK LeKmddLedd ρρρρ ρρ代回 ρρρ dLeKmI KmK 21101][)1( −−∞ −∫ +−=连续使用这个递推公式，最后得ρρ dLLemmKmKmI mm∫∞ −−+−+−=01)1()2)(1( ⋯⋯ = )!( )!( 3Kmm−这里利用了拉盖尔多项式的归一性条件220]![))(( mdLe m =∫∞ − ρρρ ，实际上，利用 )()( mxmmxm xedxdexL −= ，dxxedxdxLdxxLxLe mxmmmmmx )()()()(00−∞∞ − ∫∫ = dxxedxdxLdxd mxmmm )()( 11 −−−∫−=⋯⋯= dxxexLdxd mxmmmm ))(()1(0−∞∫−= = 20]![)1(!! mmmdxxem mx =+Γ=∫∞ −为求 I ，引入缔合拉盖尔函数 )( xy Kn ： )()( 2 12 xLxexy KmKxKm −−=则利用拉盖尔多项式满足的方程，可以得到拉盖尔函数满足的方程0]4 142 1[2 222 =−−−−−++ yxKxKmdxdydxydx考虑积分 dxxxLxeI pKnKxpnK 201 )]([∫∞ −−= 当 2=p 时，就是我们所要求的 I 。 在拉盖尔函数满足的方程中，令 xuy = 则 uxKxnKdxud ]4 12 1241[ 2222 −+−−+=dxxuI ppnK 202 −∞∫=利用拉该尔函数满足的方程 2212202 4 12 1241 −−∞ − −+−−+=∫ pnKpnKpnKp IKInKIdxdxudux积分等式的左边，得递推公式1)32)(12()1( −−−−+− pnKpnK IpnKIp 0))2()(2( 222 =−−−+ −pnKIpKp6这样，取 2=p ，有 )!( ]![)12()12( 312 Kn nKnInKII nKnK −−+=−−−==最后，我们终于得到了归一化的常数为 3303])
