机械装置精度的通用计算方法.pdf

机械装置精度的通用计算方法东南大李机械工程系黄寿荣黄 字 贤叶琪 根摘要:本文基于 空间坐标交换的方法,导出 了一种简单而通用 的机械结构及 系统精 度 计算方法该方法只需对机构作简单的几何 分析,建 立起坐标系,求得 变换拒阵及误差矩阵后即可上 机计算,避开了求输入输出位 移关 系的 困难一、引言目前机械结构及系统精度的分析计算方法已有很多,不仅有象微分法、瞬时臂法及矢量代数法等基本方法,而且还有仅适用于某种特定机构的精度分析方法但是这些方法对复杂的机械系统精度分析较难适用,且各种方法之 间缺乏通用性例如用微分法 计算机构精度时,若机构的从动件位置r与机构的输入 运动参数pi(i二1,2,⋯,m)及 机构的结构参数qi(i=1,2,⋯,n)之间有关 系式:式中,入二m十n,却为广义 坐标,(代表无误 差时的偏导数值事实上,只有对一些简单机构,才有可能求得式(1)或(2),而对复杂机构,如机械手(多为空间机构)和各种加工 机床等,式(1)、(2)是很难求得的国内外一 些学者虽在这方面进行过 不少研究,但仍有美中不 足之 处,因为有的牵涉 到解大量方 程组,有的牵涉到对机构的几何方程求微分,计算量大,且难以建立位置误差的显式表达式。

本文通过空间坐标变换的方法,导出了一种通 用机械结构及 系统精度的计算分析方法二、坐标变换Pm;q一,qZ,(1或=f(P;,P:,q二)二f (p,q)式中,p二(pl,pZ,⋯,pm),q=(q;,qZ,吧、、 ‘,⋯,q),则因输入 运动参数误差八p=(△p,,八pZ,⋯,△p)及结构 参 数误 差八q=(△q,,△q:⋯,Aq)而 引起 的从动件位置误 差△r为:设有两个空 间坐标系S和S:一,,某点P在两坐标系中的四维坐标 分别 为:一,,一,二、Tri=(X一,Yi,Z:,I)‘,r :一I二( Xi一,,Y;小Z;小I)(4)则可 用一个4义4矩阵T将两者联系起来rl一I二T卜x,ir(5)一‘ ‘m △r=名 i=,f、气硕)乙p‘+舀,(莞,△qia王-Ti一r,}(6) 舫343 2 1. .0aaa二2 3 1. .0aaa二幻们口”o限|Œ隧l降卜1.)△孰(3)兰o t i入习=式(6)Ti一了,i矩阵中的左上角3x3矩阵块实际上 表示了坐标系51相对S i一l的旋转,故而该矩阵块是一正交矩 阵,而Ti一;,i中的第4列则代表了坐标系51的原点在51一l中的坐标。

参照图1,若设坐标系S卜I和S之间只 有一种简单运动(沿x、y、z轴的平移或绕x、y、z轴的旋转),则式(5)可写成:图1、(j=1,2,(7)⋯6)可由表1确定,T’、TZ及T3分 别表示沿x、y、Z轴的平移,T‘、T“及T”分别表示绕x、y、z轴的旋转,每个Tj中只含有一个变量哥,幼叫做广义位移(平移或旋 转),T、叫做广义位移矩阵矩阵Ti(毫i)中的变量邑i的符号定义如下:¹对平移运动,若坐标系S;沿S i一1的正方向运动,则x二邑‘,y二邑2,2二乙“定义 为正º对旋转运动,若从S_一l坐标系的正向看来,S i作逆 时针旋转,则甲二邑‘,冲二邑“,0二七”定义为正»所有坐标系皆为右旋坐标系可以证明,任何具有形式(6)的矩阵T,可以分解成零到六个由表1确定的矩阵的乘积因此,对于复杂的空间变换,我们可对其进行分解T1 =.J.卜.川Tr,式中表1变换矩阵X一一-一-.一一~---一Z了.11..1、几、sin伞//厂“七11、、\一一一一T .11111州||l!l侧l川川川川J.\、、1. |1IJJJ//JX0 0 1门n l l 1 nU八1 1”///,、l!\一一.几T、、、;.1护/.eos甲一51皿甲e o s甲Co尽中eos中051。

冲eos一卜⋯-⋯几⋯⋯ 火eoso一sinosinoeosonn//厂|l、、一一名T三、通用精度计算式设某机构由1个运动环节和 一个 固定件组成,若将起始坐标系S建立在固定件上,坐标系51建立在运动环 节i上(i二1,2,⋯,I;51叫目标坐标 系),坐标系51一;与51间的变换矩 阵为Ti一,,i,则由 式(7)知,点p在各坐标系S冲的向量坐标ri应有如下关系式:rz一二Tl一1,xr-rl一:=T卜:,1一rrz一,rl一l=TI一x,I(I+占Tl)rlrl一:=Tz一:,卜;(I+占Tl一1)rl一l=TrTo,I一z,r一ITI一;,二Tl一:,r一,(I+占 TJ一:)Tl一,(12)lT I1,2⋯=(兀T卜1,i=1=TrrlTI一1,气)r-1fl一‘知了rl(I+d T;)rlrI+6TI)rl=⋯=TI+占 T一)Tl,:⋯Tl一r,I(I+占Tr)rl式中,TI二I 兀T =1s一;,i即为目标坐标系51与起始坐标系S间的变换矩 阵对于坐标系S51,⋯S l中的任一坐标系S,设由于存在若干 种误差,使 得坐标系S变成了S ,S ,的原点 在S中的 坐标为(u、v、w、l)T,其三个坐标轴相对S的三轴分别有偏角a、日和Y,则点P在S ,中的坐标r/与r的关系为:r=T’(u)TZ(v)T“(w)T‘(a)T“(日)T。

丫)r产(9)考虑到各 误差项 的数值均较小,故可取co sa=eos日=eosy、1,sina、a,sin日、日,siny、丫,并忽略二阶及 三阶误差项,可 得将r的表达式展开,并忽略高阶误差分量,可得:=To,1〔TT1己T⋯ T卜1,I rl+ITI,f二T卜l,I+⋯+TT一,:⋯Tj一z,jdTITj,j十厂二T卜一,I+⋯+T2⋯T卜1,z占TI〕r,(13)故位 置 误差 △r为:△r占T:T:,:⋯ T卜:,I+⋯+TITI,:⋯Ti一I,j占 TjTj+l,+⋯ Tl一1,l+⋯+Tl⋯一r ,T八O+一一一r!!⋯,||/1一丫日1一以V仪1一只尸丫一0001”|l⋯l一一r(1 0)式中,1为单位阵,dT为误 差矩阵:0一丫日丫一日一aV 1(1 1 ow」 00夕因此,若各 坐标系 S i均存在 误 差 矩阵dTi,使得 目标坐标系中的考察点P变成了P‘,其在各坐标系S冲的坐标向量ri应有如「关系:T卜:,止d Tx〕rlIj =名〔(汀Ti一,,i) dTj.j=11=1I一 (汀T一;,i)rl(14)i=j+1上式便 是机械结沟 及系统清度的通 月计算公式。

由上式 可 以看出:(1)若己知误差矩阵占Ti,则 可较方便地利用式(1 4)求得机构的位置精度不需求微分 或解大量线性方程组,只需用矩阵乘法即可,而这可借助于计算机很方便地实现若对各种典型结构建立数学模型,编制相应 的软件模块,则计算更为简便、迅速2)若令每个占T通中六 个误差中的五个为零,则当矩阵T卜1,放在d‘r j左边或1.||.、一一T跳d右边并以广义坐标邑J作为独 立参数时,矩阵的乘积不为零,并有方 向沿占j的广 义坐标误差△孰,从而可得到一个与式(3)形 式类似的方程:在坐标系S中的四维向量r分别为r二、T U,1少r0,0,0,由式(s)及式(1 4)知,、T 1少△一j步1笔△:j矢径r及其误差(15)△r分别为:由此可见,“微分法”仅是本方法 的一个特例,本方法通用性广,能满足复杂机械系统精度分析的需要3)“微分法”仅能计算1个误差 的影响,而本方法可含6 1个全部 误 差,因而本方法考虑的误 差因素 较全面,计算 精 度较局T,,ZT:,:T:,‘T‘,STT“(e)T甲1)T’(a)T一兀+甲)T‘(b )T甲:)rJ兀一6 △rE j=1i=1兀Ti一1=」十1、一,,、)dTj,i,」几了、尸.L .I\. ‘‘‘.|||. . || , t|!卫/0C01四、应用举例、!|!⋯/00010 01占0例1:图2(a)为 一曲柄滑 块 机构。

有关参数及原始误差为:·曲柄和 连杆长度及滑块偏置距离分别为a、b、e;质量分别为ma、mb、m连杆的转动惯量为J乙;滑块的 工作载荷为Fw(向左运动时);向右运动时不受 载,阻力为F,;·曲柄、连杆的长度及滑块偏置 距离的误差分别为△a、△b、△c,·铰链0、A和B及滑块与导轨之间的间隙分别 为CCa、Ch、Cc,·导轨因安装误 差而倾斜0角;试分析计算滑块的位置精度O0100100J上0 0 0尸 ⋯. |1.一一介||.50 01厂. , ‘|||||||||、一一Ot厂“95甲‘⋯s‘n甲’10眨0一5In甲zCOS甲-000oa100门10O 01上0 0021. |J|.、 |!/00010 010砚久、条3以’丫气\、,月笋火 、/厂/一 平‘卜\、气.、、、/补\ 赞一寸一丛 琳’戳\\愈、}一-一五二一一刊(b }”“厂c“{‘甲一“’、s‘”(甲一“{ ⋯一5‘n 百一“’c OS“:一“’Žle s|e s|1夕b0 0100100Jl0 01占0 0 0l s e l /s el.‘|火、l e e w e r a e e w e s e l l l夕0 0 01厂1 e e ! 1 l e s s e1Ž、 ⋯尸0 0 010010甲甲0 5i n0 0C S‘厂l| ⋯、图2首先建立如图2(b)所示 的七个 坐标系S。

S,,⋯,S滑块的理论位置 及其误差分 别用S、△S表示滑块的铰链 中心一sin甲2c os甲200△r占T;T,,:TZ,3T3,‘T‘,TJ,:dT2T2,3T3,‘T‘,T,,:T:,3dT3T3,‘T‘,T,,:T:,:T3,‘占T‘T‘,IT,,:TZ,:T:,;T一,T;,:TZ,3T‘T4,式中,占 Ti(j二1,2,⋯,6)为 各坐标系S j的误差矩阵由于各运动副处有配合公 差存在,因而有间隙本文对 间隙的处理方法是:先对各构件作动力学分析,确定各运动副处的作用力方 向,并认为力的方 向即为间隙 的方向,如此 可求出铰链O、A及B处 的间隙分别沿坐标系5、、S:以及S的X、Y轴的 两 分量X:X3人、YaA、XB,滑块与导轨的间隙Yc以及由于各 误差 的作用而引起的转角甲:及中的 误差△甲2和△甲因而各误差矩阵分别为:△e=0.04mmJb=0.7kgm么Ff二2 0Nm入二4kgmb=12kgmc=8kgO=oz=1.51/SCA二004mmCb=0O3m mCe二002mmC0,02m m经计算得 到的 滑块理论位 置S及其 误差△S随曲柄转角甲1变化 的规律如图3所示(横坐标为甲:,纵 坐标分别为S及△S)。

由图知,滑块的理 想位置曲线为正弦曲线,位置 误差曲线与正弦曲线类似当甲;二9 0”时,位置误 差 最 大,(△S)ma、=o.1 94m m;当印;=1 8 0时,位置误差 最小,(△S )0.02 3m mo尸5飞七主几usRn5Le‘工‘3,们了)(3‘少、上 夕夕‘” 〕f” ””△a) 打王二⋯默飞{“T z =⋯默:⋯ 仪0000夕k0000夕卜丁一 厂}\议尸z〔2 :e,月匀3图3、| !才/盛A幻为0 00 000甲△0 0 0甲o△0 0忆叫|州‹ | | |l/朴介00八U000加000件岸汤一一T.O卜州|. 11000△0000000000000y cO 00 O0 000000000污沪显然,用本方法计算曲柄滑块机构的位置误 差是比较方便的,且考虑的误 差因素比较全面,不仅包括了一 些结构参数的影响,也包括了一些 运动学 因素的影响,而这些如用传统的“微分法”或其它如“作用。