推理能力培养.ppt

聚 焦 小 学 数 学 的 核 心 能 力,数学课程标准核心词的实践研究 “推理能力”与“建模思想” 曹培英,引言,教育部义务教育数学课程标准（2011年版）,最大的改变： 1.“双基”→“四基” 数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验 意味着： 我国数学教育优良传统得到肯定 理解＋记忆； 回归“结果”与“过程”并重的理念,铺垫＋变式……,“但求曾经拥有，不求天长地久”,……,引言,2.“六个核心词”→“十个核心词”,小学数学(算术)课程教学核心词的演变： 小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词) 100多年过去了，难道还要回归油盐柴米的计算？ 另一方面，小学数学知识都有广泛的实用价值吗？ 例如：量角 生活应用只需比较角的大小,无需测量实乃“屠龙之技” ……,,,,,,,,┌,,o,B,C,,A,,,,,引言,2.“六个核心词”→“十个核心词”,小学数学(算术)课程教学核心词的演变： 小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词) 100多年过去了，难道还要回归油盐柴米的计算？ 另一方面，小学数学知识都有广泛的实用价值吗？ 例如：量角 生活应用只需比较角的大小,无需测量 但是，数学学习中需要测量。

如：绘制扇形统计图； 地图上用方向和距离描述点的位置； ……,，实乃“屠龙之技” ……,,,,,,,,,,,,北,,引言,2.“六个核心词”→“十个核心词”,小学数学(算术)课程教学核心词的演变： 小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词) 100多年过去了，难道还要回归油盐柴米的计算？ 另一方面，小学数学知识都有广泛的实用价值吗？ 例如：量角 又如：,，实乃“屠龙之技” ……,,,使用三角形面积公式的人＜0.5% 处于糖尿病前期的成年人＞50% 但是，三角形面积计算是不可或缺的学习基础 联系生活更主要目的是帮助建构知识意义,促进理解和培养应用意识；同时还必须为进一步学习着想！,,,,,,引言,2.“六个核心词”→“十个核心词” 小学数学(算术)课程教学核心词的演变： 小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词) 小学数学(1978)：计算能力，初步的逻辑思维与空间观念，解决简单实际问题(四个核心词) 义务教育数学(2001)：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力 义务教育数学(2011)：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。

基于核心词的能力架构,空间观念,数据分析观念,运算能力,数学建模,,,核心词十个之多，还有核心吗？ 说明研究尚处初级阶段，缺乏概括，有待更深入、更浅出！,推理 能力,,,,一、什么是推理,推理：由已知判断推出未知判断的思维 (前提) (结论) 它的本质是从已有知识得到新知识,特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的新知识 例如：起初人们认为线段长度总能用整数或分数表示 希腊数学家希帕斯通过推理得 出边长为1的正方形，它的对角线 不能用分数表示 这一伟大的发现，促使人们从依靠直观、经验转向重视推理论证1,1,,一、什么是推理,推理的形式具有多样性例如： ①已知“小明哥哥已大学毕业”“小明受教同一老师” , 推出“小明也能大学毕业” ②已知“一千只苹果是红的”，推出“苹果都是红的” ③已知“太平洋已被污染”，“大西洋已被污染”， “印度洋已被污染”，“北冰洋已被污染” ， 推出“地球上所有大洋都已被污染 ” ④已知“人终将一死”“约翰是人”推出“约翰会死”类比,不完全归纳,完全归纳,演绎,一、什么是推理,又如： ①已知“长方形面积＝长×宽”“长、宽是长方形邻边” , 推出“平行四边形面积＝邻边相乘”。

②已知“ ”， 推出“ ” ③已知“袋里有5个球”“摸出第1、2、3个都是红的” 推出“袋里全是红球” ④已知“1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42”, 推出“从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方”类比,不完全归纳,类比,不完全归纳,×,?,√,√,,,,,,,,,,,,,,,,,推理的形式具有多样性一、什么是推理,推理的形式具有多样性又如： ①已知 “2，3，5，7都不能整除29”, 推出“29是质数” ②已知“平行四边形面积＝底×高”， “任何两个全等三角形能拼成一个平行四边形, 且三角形的底和高就是平行四边形的底和高”, 推出“三角形面积＝底×高÷2”完全归纳,演绎,√,√,“类比”是由特殊到特殊的推理； “归纳”是由特殊到一般的推理； “演绎”是由一般到特殊的推理一、什么是推理,推理的形式具有多样性一般地说，推理可以分为：,推理,,类比推理 归纳推理 演绎推理,不完全归纳推理 完全归纳推理,,,或然推理,,必然推理,必然推理主要指演绎推理； 或然推理又叫做合情推理（似真推理），是一种合乎情理的、好像为真的推理一、什么是推理,1.心理学视角的描述 “数学推理能力”：在数学活动中，运用合情推理去理解数学概念、公式、法则或获得发现、得出猜想，并用演绎推理对发现、猜想加以检验、证明的个性心理特征。

推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式 ——数学课程标准(2011年版),二、什么是数学推理能力,2.数学课程标准的阐述 推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算 ——数学课程标准(2011年版),二、什么是数学推理能力,3.两类推理相辅相成的必要性 演绎推理只能证明，而不能发现真理 传统的数学教学缺少：通过条件预测结果的能力、依据结论探究成因的能力缺少这两个能力就难有真正的创造，也不利于创新型人才的成长 预测、探究的事物事先并不确切知道，所以无法借助演绎推理完成二、什么是数学推理能力,3.两类推理相辅相成的必要性 在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论 ——数学课程标准(2011年版),二、什么是数学推理能力,三、小学数学中的推理,1. 演绎推理举例 黑、灰、白三只兔子赛跑。

黑兔说：“我不是最快的，但比白兔快请问，谁跑得最快?谁跑得最慢? ∵黑兔不是最快，白兔不是最快 ∴灰兔最快（排除法） 计算7＋5＝？ ∵7＋3＝10；10＋2＝12 ∴7＋5＝7＋3＋2＝10＋2＝12 直角三角形的一个锐角是30°,另一个锐角是多少？ ∵三角形内角和＝180° ∴另一个锐角是180°－90°－30°＝60°,三、小学数学中的推理,2. 演绎推理课例分析,并非教学速度概念： 为正式引进速度概念奠定更好的认知基础 解决问题（实际应用问题） 识别信息 →说明依据 跳出了“多样化”与“优化”的争论 “特殊方法”与“一般方法”互补,→提出问题,→解决问题→交流解法,三、小学数学中的推理,深入挖掘了常规问题的数学推理内涵 ①巧＞亚 ②巧＞丁 ③亚＞丁,（时间相同，打字多的快） （字数相同，时间少的快） （字数、时间都不同，每分钟打的多快）,,,,2. 演绎推理课例分析,三、小学数学中的推理,2. 演绎推理课例分析,深入挖掘了常规问题的演绎推理内涵 ①巧＞亚 ②巧＞丁 ③亚＞丁,,巧最快,,丁最慢,完全归纳,由①③：巧＞亚＞丁,传递,反过来：丁＜亚＜巧,逆反,演绎,,,,,,,,,6,商,1,3,乘,,1,减,落,由具体的算例： 如：46÷3＝？ …… 归纳得出： 整数除法计算法则。

由三条线段围成三角形的操作， 归纳得出： 三角形任意两边之和大于第三边 由摸棋实验， 归纳推断： 红棋比白棋多，两种棋约占总数的几分之几三、小学数学中的推理,3.合情推理举例,三、小学数学中的推理,3.合情推理举例,由除法的基本性质： 被除数、除数都乘或除以相同的数(0除外)商不变 类比推出分数、比的基本性质： 分数的分子、分母都乘或除以相同的数(0除外)分数的大小不变 …… 由整数乘法计算类比推出小数乘法计算： 如：0.15×3＝？,0.15 × 3 45,0.,,,1,,,,,,,1,,,,,,,四、合情推理与演绎推理怎样相结合,因为3×6＝18 所以30×600＝18000,凭借经验和直觉 —合情推理,因为3×6＝18 所以30×6＝18个十 所以30×600＝180个百,凭借整数的概念 —演绎推理,＝180 ＝18000,末尾有0的乘法：,1. 计算教学实例,四、合情推理与演绎推理怎样相结合,,,,因为长方形面积＝长×宽 所以长方体体积＝长×宽×高,类比 —合情推理,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,根据体积单位概念与计数 —演绎计算,长方体的体积：,2. 几何教学实例,四、合情推理与演绎推理怎样相结合,2. 几何教学实例,周长与表面积计算：,,,,,,,,将二维空间观念推广到三维空间观念,凭借几何直观猜想：与正方形周长相等—合情推理,通过平移转，验证、说明猜想的正确性—演绎推理,合情推理→演绎推理,1.充分利用直观 很多情况下，数学的结果是“看”出来的， “看”是一种直观判断，即数学的直觉智慧。

2.鼓励学生猜想 以事实、经验为基础，由此及彼，发现 问题、提出问题，大胆“假设” 3.启发学生说理 以所学数学概念、性质、法则、公式为依 据，说明猜想，解释结论五、怎样培养小学生的推理能力,五、怎样培养小学生的推理能力,4.数、形、事结合 采用多种方式辅助说理： “算理”＋“事理”＋“图示” 多渠道地促进理解与表达算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律,,,“算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律,【复习引入】 我们已学：加法交换律 ，结合律 ； …… 那么，加法和乘法之间有什么运算规律呢？ 【尝试与发现】 （12＋8）×6= 12×6＋8×6= 它们是得数相等的两个算式，可以用等号连起来： （ ＋ ）× = × ＋ × 再写出几个这样的算式： （ ＋ ）× = × ＋ × ； …… 你发现了什么规律？能总结吗？有困难看课本算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律,【验证与理解】 一个长方形操场，原来长65米，宽32米扩建后长不变，宽增加15米，现在操场面积有多大？ 看作一个长方形求： ； 看做两个长方形求： 。

算法不同，结果 所以：( ＋ )× = × ＋ × 编一道这样的实际问题： ？ 用乘法意义说明：如：(12＋8)×6=12×6＋8×6 表示一共有 个6＝ 个6加 个6五、怎样培养小学生的推理能力,5.适当开展推理训练 首先是结合基础知识的教学实施训练 例1 由相交引出垂直： 如图，量得一个角是直角， ∠1＝( )； ∠2＝( ) 其次是结合平时的教学穿插训练1,2,,,五、怎样培养小学生的推理能力,5.适当开展推理训练 例2 看图推理： 最重； 最轻 例3 找规律推理：,,,,,,6.培养良好的思维习惯 最主要的是：有根有据；有条有理 推理能力的发展与语言的发展，关系密切，两者是相互促进的 发展小学生的推理能力，就要提高学生 用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑的能力五、怎样培养小学生的推理能力,7.提高教师自身的数学素养 练习：,五、怎样培养小学生的推理能力,（1）有学生发现： 1×2×3×4＋1＝(1×4＋1)2＝(2×3－1)2 2×3×4×5＋1＝(2×5＋1)2＝(3×4－1)2 3×4×5×6＋1＝(3×6＋1)2＝(4×5－1)2 …… 连续四个自然数的积加1等于头尾两数的积加1和的平方，等于中间两。