高等数学：9-4方向导数与梯度.ppt

第九章 9.4 一、方向导数 二、梯度 方向导数与梯度一、方向导数定义:则称为函数在点 P0 处沿方向 l 的方向导数.设射线l始点为 其方向角为记作 ,el=(cos,cos,cos)若下列极限存在射线l的参数方程为则l的方向向量为当t=0与t=l时，分别对应于l上的点P与P， 当 时， 当 时， 当 时， 在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 略且有定理则函数特别，在平面直角坐标系中， 由于 故cossin， 此时，沿方向l的方向导数的计算公式应为从而el =(cos,cos)=(cos, sin) 其中为x轴到方向l的转角例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量3) 的方向导数 .解: 向量 l 的方向余弦为练习. 求函数 沿曲线在点P(2, 3)处切线朝 x 增大方向的方向导数.解: 将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为3二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 的方向导数最大的方向模 : f 的方向导数最大值方向导数取最大值：1. 定义即同样可定义二元函数称为函数 f (x,y,z) 在点 P (x,y,z)处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量( 为方向l 上的单位向量)例2 求 解 设 因为 所以例3 设 解 因为 所以故内容小结1. 方向导数 三元函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l (方向角为2. 梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为方向: f 的方向导数最大的方向模: f 的方向导数最大值，即 梯度的特点备用题 1. 函数在点处的梯度解:则注意 x , y , z 具有轮换对称性(1992 考研)指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A2. 函数提示:其单位向量为(1996考研)。