2022-2023学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案.doc

2023~2023学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案 - 西南交通大学2023－2023学年第(二)学期半期考试题 班 级 学 号 姓 名 一、单项选择题〔共5个小题，每题4分，共20分〕． ?密封装订线 密封装订线 密封装订线 1．累次积分?d-20cos?0f(rcos?,rsin?)rdr可表示成【 D 】 1y?y200x?x2〔A〕?dy?01?y201?x2f(x,y)dx 〔B〕?dy?10f(x,y)dx f(x,y)dy 〔C〕?dx?0f(x,y)dy 〔D〕?dx?0解：根据该二重积分可知，积分区域为半圆域：0?x?1,0?y?x?x2， 所以应选D 2. 两直线x?1?y?1z?1?与x?1?y?1?z相交，那么必有【 D 】 2?535〔C〕-? 〔D〕- 424〔A〕-1 〔B〕-?x?t?1?解：直线x?1?y?1?z的参数方程为：?y?t?1，将此参数方程代入直线?z?t-t?6y?1z?1t?2t?1?x?1-?，得t?2?，解得?。

5，故应选〔D〕2?2--?4x3?y33．极限lim2=【 A 】 x?0x?xy?y2y?0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D)不存在极限 2x3?y3(x?y)(x2?xy?y2)?lim?lim(x?y)?0，故应选〔A〕解；因为lim2 22x?0x?xy?y2x?0x?0x?xy?yy?0y?0y?04．曲面xyz?2的切平面与三个坐标面所围四面体的体积V?【 C 】 (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 解：设曲面xyz?2在第一卦限的任意一个切点为(x,y,z)，那么切平面方程为： yz(X?x)?xz(Y?y)?xy(Z?z)?0，其中xyz?2，即yzX?xzY?xyZ?3xyz?6， 那么该切平面与三个坐标轴的交点分别为：(666,0,0)，(0,,0)，(0,0,)， xzxyyz那么该切平面与三个坐标面所围四面体的体积V?故应选〔C〕 16663636-?9， 226yzxzxy(xyz)25．二元函数z?f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是【 D 】 (A) f(x,y)在(x0,y0)连续； (B) fx?(x,y)，fy?(x,y)在(x0,y0)的某领域内存在； (C) 当(?x)2?(?y)2?0时，?z?fx'(x0,y0)?x?fy'(x0,y0)?y为无穷小量； (D) 当(?x)?(?y)?0时，22?z?fx'(x0,y0)?x?fy'(x0,y0)?y(?x)?(?y)22为无穷小量； 解：根据二元函数在某一点处可微分的定义和可微的必要条件，可知应选〔D〕。

二、填空题〔共5个小题，每题4分，共20分〕． 6．点(4,1,?6)关于直线L:x?1yz?1-的对称点坐标为(2,5,2) 23?1x?1yz?1-上的投影点，从而所求点即为点23?1解法一：〔先求出点(4,1,?6)在直线L:(4,1,?6)关于该投影点的对称点〕 ?x?2t?1x?1yz?1-?直线L:的参数方程为：?y?3t， 23?1?z-t?1?那么点(4,1,?6)在直线L:x?1yz?1-上的投影点可设为(2t?1,3t,?t?1)， 23?1从而有(2t?3,3t?1,?t?5)(2,3,?1)?0，即2(2t?3)?3(3t?1)?(?t?5)?0?t?1， 故点(4,1,?6)在直线L:x?1yz?1-上的投影点为(3,3,?2)， 23?1 从而点(4,1,?6)关于直线L:点，即为(2,5,2) x?1yz?1-的对称点即为点(4,1,?6)关于点(3,3,?2)的对称23?1解法二：〔直接设所求点的坐标，然后根据所求点与点所构成的向量垂直于直线的方向向量，并且所求点与点的中点在直线上〕 ?(x?4,y?1,z?6)(2,3,?1)?0-设所求点的坐标为(x,y,z)，根据条件，得?x?4?1y?1z?6?1， ?2?2?2?23?1-x?2?解得?y?5，即所求点为(2,5,2)。

?z?2?7．A?(?3,0,4)，B?(5,?2,?14)，那么?AOB的角平分线上的单位向量c-?016(2,1,1) ?x?4t?3?解一：因为BA?(8,?2,?18)，那么直线AB的参数方程为：?y-t， ?z-9t?4?记?AOB的角平分线与直线AB的交点为C(4t?3,?t,?9t?4)，且点C(4t?3,?t,?9t?4)位于线段AB内，从而t?0； OA?OC那么根据条件，有点C(4t?3,?t,?9t?4)到直线OA、OB的间隔 相等，即OA?OB?OCOB，也即(?3,0,4)?(4t?3,?t,?9t?4)(5,?2,?14)?(4t?3,?t,?9t?4)， ?(?3,0,4)(5,?2,?14)?t(4?8,22t?t11,36)?3t(4?,11,?3t)?15?2(4, 11,3)(4t?,1t1,t3)?从而有 5?3t?t?2?t?1或t-1〔舍去〕， 211故点C(4t?3,?t,?9t?4)为C(?1,?,?)， 22111从而与向量OC?(?1,?,?)同方向的单位向量c0-(2,1,1)； 226 解二：取OA的单位向量a0?110?3,0,4b?，的单位向量OB-?5,?2,?14?，从而?AOB的515角平分线所在直线的方向向量为a0?b0?11422-,?,-?3,0,4-?5,?2,?14--?，从515151515-16(2,1,1)。

而可得?AOB的的角平分线方向的单位向量为c0-xzzz28．设z?z(x,y)由方程?ln确定，那么dz?dx?dy zyx?zy(x?z)解法一：先求出?z?z?z?z，，再利用二元函数全微分的公式写出dz?dx?dy ?x?y?x?y对方程xz，得 ?ln两边分别关于x、y求偏导〔其中z?z(x,y)〕zy?z?zy?zz?xy1?z?zzx?zy?zz2?y?x-?，?2 -?22zzy?x?xx?zz?yzy?yy(x?z)?z?zzz2故dz?dx?dy?dx?dy ?x?yx?zy(x?z)〔或令F(x,y,z)?xz11x1-?ln，那么F-,F?,F-?， xyz2zyzyzzF?F?y?z?zzz2?zz?zz2x所以，从而dz? dx?dy?dx?dy〕-?,--?x?yx?zy(x?z)?xF?z?x?yFy(z?x)zz解法二：利用多元函数全微分形式的不变性求解 对方程xz?ln两边同时取全微分，得 zyxz11111d?d(ln)?d(x)?d(lnz?lny)?x(?2)dz?dx?dz?dy zyzzzzy1111zz2?x(?2)dz?dx?dz?dy?dz?dx?dy， zzzyx?zy(x?z)zz2即dz?dx?dy。

x?zy(x?z) 9. 函数u?xy2z在点(1,?1,2)处沿方向(2,?4,1)的方向导数最大 解：由方向导数与梯度的关系可知，三元函数f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)沿梯度gradf(x0,y0,z0)方向的方向导数最大，且方向导数的最大值为gradf(x0,y0,z0) 从而此题所添的方向即为gradu(1,?1,2)?(y2z,2xyz,xy2)10. 计算?dy?1edx-1dy?221214yyx1yy(1,?1,2)?(2,?4,1) 311edx?e?e2 82yy?x?edx-1dx?2edy-1?xe?dx x22-x21x1yxyxxyx解：因为 ?1214dy?1edx-1dy?22yyx1y-1(xe?xex)dx?211?1114e-(x?1)ex?1?3e-0?(?1e2)-3e?1e2， --182222-8yy所以?dy?1edx-1dy?221214yyx1311edx?e?e2 82yx三、计算题和应用题〔共5个题，每题12分，共60分，要求有必要的步骤〕． 11.求椭球面2x2?3y2?z2?9与锥面z2?3x2?y2的交线上点(1,?1,2)处的切线与法平面方程。

解：椭球面2x2?3y2?z2?9在点(1,?1,2)处的法向量为：n1?(2x,3y,z)锥面z2?3x2?y2在点(1,?1,2)处的法向量为：n2?(3x,y,?z)(1,?1,2)(1,?1,2)?(2,?3,2) ?(3,?1,?2)， 在椭球面2x2?3y2?z2?9与锥面z2?3x2?y2的交线上点(1,?1,2)处的切线的方向向量为： s?n1?n2?(2,?3,2)?(3,?1,?2)?(8,10,7)， 从而所求切线方程为：x?1y?1z?2-， 8107法平面方程为8(x?1)?10(y?1)?7(z?2)?0，即8x?10y?7z?12?0 1?2z12. 设z?f(esiny,x?y,)，求 x?x?yx22 第 页 共 页。