第6章 代数方程与差分方程模型.ppt

6.3 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析 6.4 市场经济中的蛛网模型 6.5 减肥计划——节食与运动 6.6 按年龄分组的人口模型,第六章 代数方程与差分方程模型,6.3 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析,1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州的沙漠试爆了全球第一颗原子弹, 震惊世界!,当时资料是保密的, 无法准确估计爆炸的威力.,英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带, 利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2×103t.,后来公布爆炸实际释放的能量为21×103t,泰勒测量： 时刻t 所对应的“蘑菇云”的半径r,原子弹爆炸的能量估计,爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播,爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远.,冲击波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出来.,泰勒用量纲分析方法建立数学模型, 辅以小型试验,又利用测量数据对爆炸的能量进行估计.,物理量的量纲,长度 l 的量纲记 L=[l],质量 m的量纲记 M=[m],时间 t 的量纲记 T=[t],动力学中基本量纲 L, M, T,,速度 v 的量纲 [v]=LT-1,导出量纲,,加速度 a 的量纲 [a]=LT-2,力 f 的量纲 [f]=LMT-2,引力常数 k 的量纲 [k],对无量纲量，[]=1(=L0M0T0),量纲齐次原则,=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2,在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系.,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系.,例：单摆运动,求摆动周期 t 的表达式,设物理量 t, m, l, g 之间有关系式,1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量,,,(1)的量纲表达式,与 对比,,,单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式,,,基本解,,设 f(q1, q2, , qm) = 0,ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r,F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定.,定理 (Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, ,Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, ,qm 的量纲可表为,量纲矩阵记作,[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2,量纲分析示例：波浪对航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。

m=6, n=3,,Ay=0 有m-r=3个基本解,rank A = 3,rank A = r,Ay=0 有m-r个基本解,ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r,F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价,为得到阻力 f 的显式表达式,F=0,, 未定,F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价,,记爆炸能量为E，将“蘑菇云”近似看成一个球形.,时刻 t 球的半径为 r,t, E,空气密度ρ, 大气压强P,基本量纲：L, M, T,,,原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模,r与哪些因素有关？,量纲矩阵,,y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0) y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T,原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模,,,,,,原子弹爆炸能量估计的数值计算,时间 t 非常短 能量 E 非常大,泰勒根据一些小型爆炸试验的数据建议,用r, t 的实际数据做平均,空气密度 =1.25 (kg/m3),1×103t (TNT能量) = 4.184×1012J,,实际值21 ×103t,泰勒的计算,,最小二乘法拟合 r=atb,,E=8.0276×1013 (J), 即19.2 ×103t,取y平均值得c=6.9038,,模型检验,b=0.4058,~2/5,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性, (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的.,基本量纲个数n; 选哪些基本量纲.,有目的地构造 Ay=0 的基本解.,方法的普适性,函数F和无量纲量未定.,不需要特定的专业知识.,6.4 市场经济中的蛛网模型,问 题,供大于求,现 象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?,,描述商品数量与价格的变化规律.,商品数量与价格在振荡,蛛 网 模 型,xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点,一旦xk=x0，则yk=y0,,且 xk+1=xk+2=…=x0 , yk+1=yk+2= …=y0,,设x1偏离x0,x1,,,,,,,,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,,曲线斜率,蛛 网 模 型,,在P0点附近用直线近似曲线,,,P0稳定,P0不稳定,,,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致, ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度, ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量,考察 ,  的含义, ~ 消费者对需求的敏感程度, ~ 生产者对价格的敏感程度,小, 有利于经济稳定, 小, 有利于经济稳定,结果解释,xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.,结果解释,经济不稳定时政府的干预办法,1. 使  尽量小，如 =0,以行政手段控制价格不变,2. 使  尽量小，如  =0,靠经济实力控制数量不变,结果解释,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段 的价格决定下一时段的产量.,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,,二阶线性常系数差分方程,x0为平衡点,研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件,,方程通解,(c1, c2由初始条件确定),1, 2~特征根，即方程 的根,平衡点稳定，即k, xkx0的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了!,,模型的推广,6.5 减肥计划——节食与运动,背景,多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持.,通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标.,分析,体重变化由体内能量守恒破坏引起.,饮食（吸收热量）引起体重增加.,代谢和运动（消耗热量）引起体重减少.,体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.525 ~ 超重; BMI30 ~ 肥胖.,模型假设,1）体重增加正比于吸收的热量——每8000kcal 增加体重1kg；,2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每千克 体重消耗200 ~ 320kcal (因人而异), 相当于70kg 的人每天消耗2000 ~ 3200kcal；,3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式 有关；,4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg, 每周吸收热量不要小于10000kcal.,某甲体重100kg，目前每周吸收20000kcal热量，体重维持不变. 现欲减肥至75kg.,第一阶段：每周减肥1kg，每周吸收热量逐渐减少,直至达到下限（10000kcal）；,第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标.,2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划.,1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划.,减肥计划,3）给出达到目标后维持体重的方案.,确定某甲的代谢消耗系数,即每周每千克体重消耗 20000/100=200kcal,基本模型,w(k) ~ 第k周(末)体重,c(k) ~第k周吸收热量,~ 代谢消耗系数(因人而异),1）不运动情况的两阶段减肥计划,每周吸收20000kcal, w=100kg不变,,=1/8000(kg/kcal),第一阶段: w(k)每周减1kg, c(k)减至下限10000kcal,第一阶段10周, 每周减1kg，第10周末体重90kg,,,吸收热量为,1）不运动情况的两阶段减肥计划,,第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75kg,1）不运动情况的两阶段减肥计划,基本模型,,第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75kg,第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000kcal, 体重按 减少至75kg.,运动  t=24 (每周跳舞8h或自行车10h), 14周即可.,2）第二阶段增加运动的减肥计划,t~每周运动时间(h),取 t=0.003, 即 t=24,=1/8000(kg/kcal), =0.025,增加运动相当于提高代谢消耗系数,2）第二阶段增加运动的减肥计划,提高12%,减肥所需时间从19周降至14周,减少25%,这个模型的结果对代谢消耗系数很敏感.,应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数 (对不同的人; 对同一人在不同的环境).,3）达到目标体重75kg后维持不变的方案,每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变,,,不运动,运动(内容同前),6.6 按年龄分组的人口模型,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同.,建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律.,假设与建模,种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,…,n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,…,以雌性个体数量为对象.,第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi,第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di,假设 与 建模,xi(k)~时段k第i 年龄组的种群数量,~按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,~Leslie矩阵(L矩阵),(设至少1个bi0),稳定状态分析的数学知识,L矩阵存在正单特征根1，,若L矩阵存在bi, bi+10, 则,P的第1列是x*,,特征向量,解释,L对角化,稳态分析——k充分大种群按年龄组的分布,~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关.,~ 各年龄组种群数量按同一倍数增减， 称固有增长率,,3）=1时,~ 各年龄组种群数量不变,~ 1个个体在整个存活期 内的繁殖数量为1,稳态分析,~存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比,（与si 的定义 比较）,,3）=1时,人口模型,连续型人口模型的离散形式,xi(k)~k年i 岁的女性人数(模型只考虑女性人口).,bi(k)~k年i 岁女性生育率(每人平均生育女儿数).,di~i 岁女性死亡率，si=1-di~存活率,[i1, i2]~生育区间,k年育龄女性平均生育女儿数,——总合生育率(生育胎次),~年龄分布向量,hi~生育模式,人口模型,存活率矩阵,生育模式矩阵,x(k)~状态变量, (k)~控制变量,双线性方程(对x(k), (k)线性),原模型,。