第二章　单元质量评估(二)(精品).doc

第二章　单元质量评估(二)一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列说法正确的是(　　)A．两个单位向量的数量积为1B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝cC.＝－D．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b解析：A中，两向量的夹角不确定，故A错；B中，若a⊥b，a⊥c，b与c反方向，则不成立，故B错；C中，应为＝－，故C错；D中，因为b⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b，故D正确．答案：D2．设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　)A．(－15，12)　　　　　 B．0C．－3 D．－11解析：a＋2b＝(－5，6)，(a＋2b)·c＝－3.答案：C3.在五边形ABCDE中，(如图)，＋－＝(　　)A. B.C. D.解析：＋－＝＋＋＝.答案：B4．若两个非零向量a，b使得|a－b|＝|a|＋|b|成立，则下列各式成立的是(　　)A．a·b＝1B．a·b＝|a||b|C．a·b＝－|a||b|D．－|a||b|<|a·b|<|a||b|解析：由|a－b|＝|a|＋|b|，知a与b方向相反，故选C.答案：C5．已知A(4，6)，B(－3，)，有下列向量：①a＝(，3); ②b＝(7，)；③c＝(－，－3); ④d＝(－7，9)．其中，与直线AB平行的向量是(　　)A．①② B．①③C．①②③ D．①②③④解析：＝(－7，－)，∵(，3)＝－(－7，－)＝－，(7，)＝－(－7，－)＝－，(－，－3)＝，∴与直线AB平行的向量是①②③.答案：C6．如图，M，N分别是AB，AC的一个三等分点，且＝λ(－)成立，则λ＝(　　)A. B.C. D．±解析：＝，且＝－.答案：B7．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为矩形，则(　　)A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0解析：＝－＝a－b，＝－＝d－c，又＝，故a－b＝d－c.答案：B8．若|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为(　　)A. B.C. D.解析：a·(b－a)＝a·b－a2＝1×6×cosθ－1＝2.cosθ＝，θ∈[0，π]，故θ＝.答案：C9．与向量a＝(1，1)平行的单位向量为(　　)A．(，)B．(－，－)C．(±，±)D．(，)或(－，－)解析：与a平行的单位向量为±.答案：D10．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量长度的最大值是(　　)A. B.C．3 D．2解析：∵＝－＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，∴||＝＝≤3.答案：C11．在△ABC内，存在一点P，使||2＋||2＋||2最小，则点P是△ABC的(　　)A．重心 B．外心C．垂心 D．内心解析：以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B(－a，0)，C(a，0)，A(m，n)，P(x，y)，则||2＋||2＋||2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2＋(x－m)2＋(y－n)2＝3x2＋3y2－2mx－2ny＋2a2＋m2＋n2＝3(x－)2＋3(y－)2＋2a2＋m2＋n2.要使上式取最小值，只需x＝，y＝，即所以点P为△ABC的重心．答案：A12．A，B，C，D为平面上四个互异点，且满足(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是(　　)A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形解析：∵(＋－2)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，∴||＝||，∴△ABC为等腰三角形．答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知a＝(1，1)，b＝(1，0)，c满足a·c＝0，且|a|＝|c|，b·c>0，则c＝________.解析：设c＝(x，y)．由a·c＝0，得x＋y＝0.　①再由|a|＝|c|，得x2＋y2＝2.　②由①②，得或又∵b·c>0，∴x>0，∴c＝(1，－1)．答案：(1，－1)14．在△ABC中，已知||＝||＝2，且·＝2，则这个三角形的形状是________．解析：∵·＝||||cosA＝4cosA＝2，∴cosA＝.∵00)，若△ABC的周长为6，则x的值为________．解析：∵＝－＝(－x－1，2x－2)，∴||＝，||＝＝x，||＝＝，∴||＋||＋||＝＋x＋＝6，∴x＝.答案：三、解答题(共70分)17．(本小题10分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点，满足2＋＝0，(1)用，表示；(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．解：(1)2＋＝0，2(－)＋(－)＝0.2－2＋－＝0.∴＝2－.(2)如图，＝＋＝－＋＝(2－)．故＝.故四边形OCAD为梯形．18．(本小题12分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<α<β<π.(1)求|a|的值；(2)求证：a＋b与a－b互相垂直．解：(1)∵a＝(cosα，sinα)，∴|a|＝＝1.(2)证明：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，∴a＋b与a－b互相垂直．19．(本小题12分)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b，d＝a－b，(1)若c∥d，求k的值，并判断c，d是否同向；(2)若|a|＝|b|，a与b夹角为60°，当k为何值时，c⊥d.解：(1)c∥d，故c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)．又a，b不共线，∴得即c＝－d.故c与d反向．(2)c·d＝(ka＋b)·(a－b)＝ka2－ka·b＋a·b－b2＝(k－1)a2＋(1－k)|a|2·cos60°.又c⊥d，故(k－1)a2＋a2＝0，即(k－1)＋＝0，解得k＝1.20．(本小题12分)向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，求|a|2＋|b|2＋|c|2的值．解：由(a－b)⊥c，知(a－b)·c＝0.又c＝－(a＋b)，∴(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝0.故|b|＝|a|＝1.又c2＝[－(a＋b)]2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.21．(本小题12分)设＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，在上是否存在点M，使⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在点M(x，y)满足条件，则＝λ＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)，∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)．∵⊥，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝，或λ＝.∴＝(2，1)或(，)．故存在点M(2，1)，或点M(，)满足题意．22．(本小题12分)如图，已知＝(2，1)，＝(1，7)，＝(5，1)，设Z是直线OP上的一动点．(1)求使·取最小值时的；(2)对(1)中求出的点Z，求cos∠AZB的值．解：(1)∵Z是直线OP上的一点，∴∥.设实数t，使＝t，∴＝t(2，1)＝(2t，t)，则＝－＝(1，7)－(2t，t)＝(1－2t，7－t)，＝－＝(5，1)－(2t，t)＝(5－2t，1－t)．∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.当t＝2时，·有最小值－8.此时＝(2t，t)＝(4，2)．(2)当t＝2时，＝(1－2t，7－t)＝(－3，5)，||＝，＝(5－2t，1－t)＝(1，－1)，||＝.故cos∠AZB＝＝＝－＝－.。