函数周期性、对称性专题.doc

函数的周期性与对称性◆函数的轴对称定理1：函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论1：函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论2：函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.◆函数的周期性定理2：函数对于定义域中的任意,都有，则是以为周期的周期函数；推论1：函数对于定义域中的任意,都有，则是以（a－b）为周期的周期函数；推论2：下列条件都是以2T为周期的周期函数：① ；② ；③；④；⑤；⑥．◆函数的点对称定理3：函数满足，则函数的图象关于点对称.推论1：函数满足，则函数的图象关于点对称.推论2：函数满足，则函数的图象关于原点对称.◆函数轴对称、点对称与周期性定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b（b>a）都轴对称，则函数f(x)有无数条对称轴，且f(x)为周期函数，并且2(b-a)是它的一个周期）定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象关于点（a,0）和(b,0)（b>a）都成中心对称，则函数f(x)有无数个对称中心，且f(x)为周期函数，并且2(b-a)是它的一个周期）◆函数的奇偶性、对称性与周期性综合定理6：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象既关于直线x= a成轴对称，又关于点（b,c）（a≠b）成中心对称，则f(x)为周期函数，并且4(b-a)是它的一个周期）推论1：若奇函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)轴对称，则f(x)为周期函数，4a是它的一个周期；推论2：若奇函数f(x)的图象关于点(a,0) (a≠0)中心对称，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；推论3：若偶函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)轴对称，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；推论4：若偶函数f(x)的图象关于点(a,0) (a≠0)中心对称，则f(x)为周期函数，4a是它的一个周期。

定理7：函数为偶函数函数关于直线x=a对称；函数为奇函数函数关于点对称练习1：对称性1、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于________对称2、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于________对称3、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于______对称,图象关于__________对称4、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于__________对称，关于__________对称5、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为___________ 6、设函数的定义域为R，则下列命题中:①若是偶函数，则图象关于y轴对称；②是偶函数，则图象关于直线对称；③，则函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称.其中正确命题序号为_______练习2：周期性1、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ）A． B． C． D．2、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( )A. B.C. D.3、设是定义在上以6为周期的函数，在单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是（ ）A. B.C.D.4、函数对于任意实数满足条件，若则________。

5、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为________6、设函数f(x)定义在R上,满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在区间[0,7]上,只有f(1)= f(3)=0.试求方程f(x)=0在闭区间[-2008,2008]上的根的个数.7、函数定义域为R，且恒满足和，当时，，求解析式练习3：奇偶性、对称性与周期性综合1、函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数2、若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是（ ）A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数3、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,,则________4、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=____________5、设f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=对称。

求f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)的值____________6、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且g(x)=f(x-1)为奇函数，求f(2009)的值____________7、已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根8、设f(x)是定义在R上的偶函数,它的图象关于直线x=2对称,已知x∈[－2,2]时,函数f(x)=－x2+1.求当x∈[－6, －2]时,f(x)的解析式9、函数是定义在R上的偶函数，其图像关于对称，对任意，都有，且.⑴求,；⑵证明是周期函数；⑶记，求.10、定义在R上的函数，对任意，有，且，（1）．求证：；（2）．判断的奇偶性；（3）．若存在非零常数c,使，①证明对任意都有成立；②函数是不是周期函数，为什么？11、是定义在R上的以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当时，，求在上的解析式函数的周期性（一）基本知识点1、周期函数的定义2、周期性的判定：（1）用定义（2）用性质设是非零常数，若对于函数定义域中的任意，恒有下列条件之一成立：①；②；③；④；⑤；⑥则是周期函数，是它的一个周期3）用对称性与周期性的关系：①若的图象有两条对称轴和，则必为周期函数，且是它的一个周期；②若的图象有两个对称中心和，则是一个以为周期的周期函数；③若的图象有一个对称轴和一个对称中心，则是一个以为周期的周期函数。

3、周期性的应用（二）精典例题1、（1）已知是定义在R上的奇函数，若的最小正周期为3，则的取值围是（ ） A． B． C．D．（2）已知函数是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3, 且 ( )A．4 B．2 C．－2 D．2、（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D )A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数3、已知函数对任意实数均有，且存在非零常数（1）求的值；（2）判断的奇偶性并证明；（3）求证是周期函数，并求出的一个周期.4、定义在Ｒ上的周期函数，其周期Ｔ＝２，直线是它的图象的一条对称轴，且上是减函数．如果Ａ、Ｂ是锐角三角形的两个角，则与的大小关系为．5、设是定义域为R的函数，且，又，则=6、定义在R上的函数f(x)满足,则的值为（ ）(A)-1 (B) 0 (C)1 (D)27、已知函数函数是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线对称1）求的值（2）证明函数是周期函数（3）若,求时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。

8、（2011年数学理（））设是定义在上.以1为周期的函数,若在上的值域为,则在区间上的值域为_________.9、定义在上的函数，给出下列四个命题：（1）若是偶函数，则的图象关于直线对称（2）若则的图象关于点对称（3）若=，且，则的一个周期为24）与的图象关于直线对称其中正确命题的序号为10、设函数在上满足，，且在闭区间[0，7]上，只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间[-2005，2005]上根的个数，并证明你的结论11、若为定义在上的函数，且，，则为（）A．奇函数且周期函数； B. 奇函数且非周期函数；C．偶函数且周期函数； D. 偶函数且非周期函数．12、已知定义在R上的函数的图像关于点对称,且满足,,,则 的值为（ ）A. B.0 C.1 D.213、设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且1）求及的值； （2）证明：是周期函数；（3）若，求的值14、（2010年高考（理））已知函数满足:,,则=_____________.（三）巩固与提高：1、若为上的奇函数,且满足,对于下列命题:①；②是以4为周期的周期函数；③的图像关于对称；④.其中正确命题的序号为_______________。

2、定义域为的函数满足，且为偶函数，则（ ）（A）是周期为4的周期函数 （B）是周期为8的周期函数（C）是周期为12的周期函数 （D）不是周期函数3、定义在在上是减函数下面四个关于的命题：①是周期函数；②的图象关于对称；③在上是减函数；④在上为增函数其中真命题的序号为. 4、函数是定义在上以2为周期的周期函数，同时又为偶函数，并且在区间上，，则当时，____5、是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则方程=0在区间（0，6）解的个数的最小值是（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 6、设定义在R上，且对任意，总成立，证明是周期函数，并找出它的一个周期7、设函数对任一实数满足：，，且，求证：在区间上至少有13个根，且是以10为周期的周期函数8、对任意实数，函数满足等式，当时，，则当时，___9、定义在实数上的函数满足，则的值为____10、已知是定义在实数集R上的函数，且，若，求11、设函数上的奇函数，且满足都成立，又当时，，则下列四个命题：①函数以4为周期的周期函数；②当[1，3]时，；③函数的图象关于x=1对称；④函数的图象关于点（2，0）对称，其中正确的命题序号是________________。

12、若的图像关于直线和对称，则的一个周期为（ ）A．B． C． D．13、已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值①证明：； ②求的解析式； ③求在上的解析式。