2024届上海市师大二附中高三下学期第一次调研考试（期末）数学试题.doc

2024届上海市师大二附中高三下学期第一次调研考试（期末）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试题卷上3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效4．考生必须保证答题卡的整洁考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，则A∩B＝（ ）A．（﹣1，3] B．[﹣1，3] C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}2．一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为( )A． B． C． D．3．已知集合，，，则（ ）A． B． C． D．4．函数在上的图象大致为（ ）A． B． C． D． 5．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（ ）A． B． C． D．6．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．7．如图在一个的二面角的棱有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱，且，则的长为（ ）A．4 B． C．2 D．8．已知复数，则对应的点在复平面内位于（ ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限9．已知集合，，，则( )A． B． C． D．10．设命题：，，则为A．， B．，C．， D．，11．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）A． B． C． D．12．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，且，则__________．14．的展开式中含的系数为__________．（用数字填写答案）15．已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是__________．16．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁U(A∪B)＝________.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，求函数的极值；（2）设函数的导函数为，求证：函数有且仅有一个零点．18．（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角， （1）求的值； （2）求边的长.19．（12分）已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，段上取点，使，求证：点在定直线上.20．（12分）已知函数．（1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；（2）已知，若，使得成立，求实数的取值范围．21．（12分）已知函数，函数在点处的切线斜率为0.（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；（2）对于函数图象上的不同两点，，如果在函数图象上存在点，使得在点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.22．（10分）已知函数，为的导数，函数在处取得最小值．（1）求证：；（2）若时，恒成立，求的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．C【解题分析】先求集合A，再用列举法表示出集合B，再根据交集的定义求解即可．【题目详解】解：∵集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，3}，故选：C．【题目点拨】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．2．A【解题分析】求出满足条件的正的面积，再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案．【题目详解】满足条件的正如下图所示：其中正的面积为，满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示，阴影部分区域的面积为.则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是.故选：A.【题目点拨】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题．3．D【解题分析】根据集合的基本运算即可求解.【题目详解】解：，，，则故选：D.【题目点拨】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．4．C【解题分析】根据函数的奇偶性及函数在时的符号，即可求解.【题目详解】由可知函数为奇函数.所以函数图象关于原点对称，排除选项A，B；当时，，，排除选项D，故选：C.【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.5．C【解题分析】由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.【题目详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,由,可知若,则必有,故选:C【题目点拨】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.6．D【解题分析】连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，取的中点为，连接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【题目详解】连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，则，，在等腰中，取的中点为，连接，则，，所以，即：，所以异面直线，所成角的余弦值为.故选：D.【题目点拨】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.7．A【解题分析】由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求．【题目详解】解：，，，，，，．，，故选：．【题目点拨】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．A【解题分析】利用复数除法运算化简，由此求得对应点所在象限.【题目详解】依题意，对应点为，在第一象限.故选A.【题目点拨】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.9．A【解题分析】求得集合中函数的值域，由此求得，进而求得.【题目详解】由，得，所以，所以.故选：A【题目点拨】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.10．D【解题分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【题目详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，，则为：，.故本题答案为D.【题目点拨】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.11．C【解题分析】分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.【题目详解】函数的定义域为，在上为减函数.A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.B选项，的定义域为，不符合.C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.D选项，的定义域为，不符合.故选：C【题目点拨】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.12．B【解题分析】直接代入检验，排除其中三个即可．【题目详解】由题意，排除D，，排除A，C．同时B也满足，，，故选：B．【题目点拨】本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【解题分析】试题分析：因,故,所以，,应填.考点：三角变换及运用．14． 【解题分析】由题意得，二项式展开式的通项为，令，则，所以得系数为．15．【解题分析】首先解不等式，再由在区间上恒成立，即得到不等组，解得即可.【题目详解】解：且，即解得，即因为在区间上恒成立，解得即故答案为：【题目点拨】本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.16．{5}【解题分析】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，则∁U(A∪B)＝{5}．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．见解析【解题分析】（1）当时，函数，其定义域为，则，设，，易知函数在上单调递增，且，所以当时，，即；当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，为，无极大值．（2）由题可得函数的定义域为，，设，，显然函数在上单调递增，当时，，，所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；当时，，，所以函数有且仅有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；当时，，，因为，所以，，又，所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点．综上，函数有且仅有一个零点．18．（1） （2）【解题分析】（1）由，分别求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．【题目详解】(1)因为角 为钝角， ，所以 ，又 ，所以 ，且 ，所以 .(2)因为 ，且 ，所以 ，又 ，则 ，所以 .19．（1）；（2）见解析.【解题分析】（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出、的值，进而可得出椭圆的标准方程；（2）设点、、，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点的坐标表达式，并代入韦达定理，消去，可得出点的横坐标，进而可得出结论.【题目详解】（1）由题意得，解得，.所以椭圆的方程是；（2）设直线的方程为，、、，由，得.，则有，，由，得，由，可得，，，综上，点在定直线上.【题目点拨】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.20．（1） （2）【解题分析】（1）求解不等式，结合整数解有且仅有一个值，可得，分类讨论，求解不等式，即。