人教版数学必修一高考总复习_三角函数与解三角形试题　全套.doc

人教版数学必修一 三角函数复习资料姓　　名：　 院 、 系：　 数学学院 专　　业: 数学与应用数学 　第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数[最新考纲]1．了解任意角的概念；了解弧度制的概念．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝rad　②1 rad＝°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝lr＝|α|r2三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos α叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－口诀Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线辨 析 感 悟1．对角的概念的认识(1)小于90°的角是锐角．(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×)(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(×)(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×)2．任意角的三角函数定义的理解(5)(教材练习改编)已知角α的终边经过点P(－1,2)，则sin α＝＝.(√)(6)(2013·济南模拟改编)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限．(√)(7)(2011·新课标全国卷改编)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos θ＝.(×)[感悟·提升]1．一个区别　“小于90°的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下：小于90°的角的范围：，锐角的范围：，第一象限角的范围：(k∈Z)．所以说小于90°的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立．如(1)、(2)．2．三个防范　一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如(3)；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角α的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如(7)．考点一　象限角与三角函数值的符号判断【例1】　(1)若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是(　　)．A．第一象限角　　　 B．第二象限角C．第三象限角　　　 D．第四象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)．A．小于0　　　 B．大于0C．等于0　　　 D．不存在解析　(1)由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由＜0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．(2)∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2·cos 3·tan 4＜0.答案　(1)C　(2)A规律方法　熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限．【训练1】　设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)．A．第一象限　　　 B．第二象限C．第三象限　　　 D．第四象限解析　由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，∵＝－cos ，∴cos ≤0，知为第二象限角．答案　B考点二　三角函数定义的应用【例2】　已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．解　由题意得，r＝，∴sin θ＝＝m.∵m≠0，∴m＝±.故角θ是第二或第三象限角．当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角，∴cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝－.当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角．∴cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝.综上可知，cos θ＝－，tan θ＝－或cos θ＝－，tan θ＝.规律方法　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．【训练2】　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解　∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝＝＝5|t|，当t>0时，r＝5t，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝＝－；当t<0时，r＝－5t，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.综上可知，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－或sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点， 在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.创新突破3——以任意角为背景的应用问题【典例】　(2012·山东卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．突破1：理解点P转动的弧长是解题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形．突破2：在直角三角形中利用三角函数定义求边长．突破3：由几何图形建立P点坐标与边长的关系．解析　如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ, Q为垂足．根据题意得劣弧＝2，故∠DCP＝2，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－，|CQ|＝cos ＝sin 2，|PQ|＝sin＝－cos 2，所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，所以P点的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)，故＝(2－sin 2,1－cos 2)．答案　(2－sin 2,1－cos 2)[反思感悟]　(1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等知识来解决．(2)常见实际应用问题有：表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等．【自主体验】已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tan α＝(　　)．A．－1　　　 B．1　　　C．－2　　　 D．2解析　圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为，故tan α＝1.答案　B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是(　　)．A．第一象限角　　　 B．第二象限角C．第三象限角　　　 D．第四象限角解析　∵sin α＜0，则α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．答案　C2．若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于(　　)．A．sin 　　　 B．C．　　　 D．2sin 解析　设圆的半径为r，由题意知r·sin ＝1，∴r＝，∴弧长l＝α·r＝.答案　C3．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是(　　)．A．sin 　　　 B．cos C．tan 　　　 D．cos 2θ解析　因为θ是第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以tan >0，故选C.答案　C4．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　)．A．　　　 B．　　　C．　　　 D．解析　由sin ＞0，cos ＜0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝.答案　D5．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝.其中正确的命题的个数是(　　)．A．1　　　 B．2　　　　C．3　　　 D．4解析　①正确，②不正确，∵sin ＝sin ，而与角的终边不相同．③不正确．sin α＞0，α的终边也可能在y轴的正半轴上．④不正确．在三角函数的定义中，cos α＝＝，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立．答案　A二、填空题6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝______.解析　因为sin θ＝＝－，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.答案　－87．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝____.解析　因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.答案　－8．函数y＝的定义域为________．解析　∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴x∈(k∈Z)．答案　(k∈Z)三、解答题9．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解　(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.(2)终边在y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解　(1)设圆心角是θ，半径是r，则解得或(舍去)．∴扇形的圆心角为.(2)设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得∴圆心角α＝＝2.如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1弧度．∴AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB＝2sin 1 (cm)．。