《数值分析重点公式》.docx

第一章非线性方程和方程组的数值解法b-a1) 二分法的基本原理，误差：2) IBjJL迭代法收敛阶：lim匚4=cA0?若p=1则要求OccvlF卸单点迭代收敛定理：定理一：若当x乏［a,b〕时，④(X)E［a,b］且®(x)兰Icl,P［a,b］，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设(x)满足：①x：ja,b1时,：(x):二a,bI②亦，X2亡ta,b1有®(XL)-申(X2)I兰I为一X2,0<1cl则对任意初值XAa,bi迭代收敛，且：«—xXj/||-一x1-I|j3) 彳堇一X兰Xi-xo1-I定理三：设(X)在〉的邻域内具有连续的一阶导数，且-(：•)：：：1，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设(X)在根〉的邻域内充分可导，则迭代格式X(Xj)是P阶收敛的=o,j=1,|l(,p-1,^(：)=0(Taylor展开证明)f(x),Newton迭代法：x+=x-—-'平方收敛f(x)Newton迭代法收敛定理：设f(x)在有根区间La,b1上有二阶导数，且满足：：f(a)f(b)：：o;：f(x)=0,xb,bi;③：f不变号,x•〔a,b16)多点迭代法：Xj1_xjf(Xi)f(X)Xif(Xi)-f(Xij)f(Xi)—f(Xii)-f(Xi)—f(x)f(Xi」)Xj① 收敛阶：PJ'527)Newton迭代法求重根(收敛仍为线性收敛)：已知根的重数「，乂4+“老(平方收敛)'对Newton法进行修改②：未知根的重数：X1二X・・(),u(x)一u(Xi),()，：・为f(x)的重根，则〉为u(x)的单f(X)根。

8) 迭代加速收敛方法：2XiXdg—X”Xi2-2XiiXiV(Xj)当不动点迭代函数(X)在：的某个邻域内具有二阶导数，*2=「(Xl)9) l"=L・1,0平方收敛确定根的重数：当Newton迭代法收敛较慢时，表明方程有重根XX2—Xi1Xi1X2—2Xi1XiX2—Xi1X'A-XHH拟Newton法x“十二x“・A'F(Xi)aAa+(Xi4a-XiAF(Xi+HF(Xi)若A非奇异，则HiAAr1入卅=入+、Ai十山匚/i\x=x・HF(x)Hi1(F(x“i)・F(x”))=(x"i・x”)已+二已”Hi「」二HI._.ri口'-X2弥fCf2A2TT其中A=f,(x”)=液冲斗1iIII屁*11)秩1拟Newton法：J1显”*(】)ii(rj)T,其中r'x—Cy'F&E)—F(x)A十A+(y-Ar)#+…(r)rBroyden秩1方法\i+=xj-HiF(xi)vCj)THHipHi+L—/(r)Hiy第二章线性代数方程组数值解法1)向量范数：①：非负性：|x・0,且x=0的充要条件是x=0;②：齐次性：③：三角不等式：”y|叩IWn1范数：Xh=为Xi32范数：||X||2=（退IX』）2乜范数：||x|J=maxxjn_LP范数：||x||p=（送XP）p\=12）矩阵范数：：非负性：A0，且IA-0的充要条件是A=0：齐次性：IaA|=|nmA|：三角不等式：④：乘法不等式：||AB||兰1广nn2-F范数：IIAIsz|aj#）1范数：HA|Laij,列和最大”范数:IlAh=fax退aij,行和最大空山2范数：||A2=Jp(AhA)，其中JP(AhA)=max州，人为AS的特征值，P(A)匀A13Gauss消元法(上三角阵)：A4n;3一13Gauss-Jordan消兀法(对角阵):Mn；2列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；(可用于求逆矩阵)全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；3) 三角分解法:① ^Doolittle分解法：A=LU,L单位下三角阵，U上三角阵② ：Crout分解法：A=LU,L下三角阵，U单位上三角阵③ ：Choiesky分解法：A对称正定，A=LLT,L为单位下三角阵④ ：改进的Choiesky分解法：A对称正定，A二LDLT,L为单位下三角阵，D为对角阵⑤ ：追赶法：Crout分解法解三对角方程矩阵的条件数cond(A)・AA」_1,谱条件数：conch(A)||A2Ad2卜A|||dCond(A)人xA4) 一1-Cond(A)|A如果Bv1，则I•B为非奇异阵，且(iB)」迭代法基本原理：①：迭代法：乂1二B。

K睥=迭代格式收敛：至少存在一种矩阵的从属范数，使Jacobi迭代：A=LDUx,1=(1-D4A)乂D无9)Gauss-Seidel迭代:x,・(LD)AUx,(LD)Ab10)超松弛迭代法X，A、,2111）二次函数的一维搜索：X=x怦二iR12）最速卜降法:选择方向Z.--gradf(X)=r°二b-Ax°0)(Ar,r)进行一维搜索：x=x-：・o「，其中氏・（Ao13）共和梯度法:第一步：最速下降法，Pfnb-Ax1，（r°,r1HO第二步：过Xl选择P的共貌方向yp其中，，过X1以P1为方向的共辄直线为x1tp1，进行二次函数的一维搜索14）一般的共辗梯度法：第三章插值法与数值逼近(5)-(AP1,P1)nDLagrange插值:Ln(XAxIj(X)f(Xj),Fn1(X)(X-Xj(Xj・Xj』(Xj-Xj余项:f(4+心E"vL.1(X)2)Newton插值：差商表Xof(Xo)Xif(Xi)f[XoXi]X2f(X2)f[XoX2]f[XoXix2]X3f(X3)f[XoX3]f[XoXlX3](x・xjH|(X・X)(X・Xji)l|l(x・Xn)f[XoXiXaXa]l)(Xj-Xn)(X.Xj)P」(Xj)f(x)=f(Xo)f[X)X](X・X。

)川f[XoX川Xn](X・Xo)川(X・XnJf[XoMHxnXI(X-Xo)MI(X-Xn)余项EgNXoXNXnXXx-xMgXnvfAPndx)3）反插值4)Hermite插值(待定系数法)出“i(x)八[:j(x)f(Xj)j=o=z_yjXj其中:j(x)二(axb)l2(x),a—21j(为),bJ2XJj区)』g1j(x)=(x-Xj)Tx)f(2n2)(・余项：E(x)二(2n2)!Pn2i(X)5)分段线性插值：Lj(x)X・Xi卑一f(Xj)V..・.【【【.X-Xi・f(Xj.JVX-Xj插值基函数：岂x|°(x)==X§X岂X0,为：XVXnO,Xg:X:Xn一,'n(X)二X-人」,Xn」空XnX_Xj」-…二,Xj4兰XEXjXj_XjJx—X卅|j(x)二』，Xj兰X兰Xj卅余项：分段余项＜MAh2,M2二max8(2)(x)有理逼近：反差商表有理逼近函数式：f(x)二Vo(Xo)X-Xo4) Vi(Xi)正交多项式的计算：① 定理：在［a,b］上带权函数P(x)的正交多项式序列gn(x)):，若最高项系数唯一’它便是唯一的，且由以下的递推公式确定］-(xOtWBdOf—,®n)B—(®nFn)④_o④n1-(X-n)n-nn4、,「、,=.o,0-其中(巴严j)=fP(x)W#jdxa8)连续函数的最佳平方逼近：在G-Span{1,x,x2,|H,xn}±，法方程为HnAd,•11/2III1/(n+1)11/21/3III1/(n+2)+I-n1/(n+1)1/(n+2)III1/(2n+1)_l|6|2=(f,f)・(P：¥n,f)=lfh-瓦a**罔犷maxf—p其中Hn=di均方误差：最大误差：9)离散函数的最佳平方逼近(曲线的最小二乘拟n法方程a(j：k)aj=(f,\)j=o1,dk=(f,i)=jof(x)\dx(匚匚)八廿(人)匚以)i=9其中m(f,gf(x)i(Xi)0第四章数值积分1)代数精度的概念及应用：对r次多项式的精确成立，以及代入法求解系数。

X—Xo)H|(X—\』)(X—Xji)IH(X—Xn)Lagrange插值基函数lj一(Xj.灯川(Xj・Xj』)(Xj-Xji)l“(Xj・Xn)[f(X)dx化送Hjf(Xj)，其中Hj=[|j(x)dxaj=o&bf(E)()误差：E(f)二a(ni)!Pni(x)dX定理：数值积分公式具至少有n次代数精度其是差值型的3)等距节点的Newton-Cotes公式b—a将拉格朗日差值积分公式中的差值节点xAaih即可，其中h=n(―1)n」h"比Hj(t-i)dt，令(V(Cotes系数)则：j!(n-j)!0申羽b—aQ(f)=(b・a)'Cjf(Xj)j匀N・C公式的数值稳定性：当Q同号时是稳定的，否则不稳定，FI兰(b・a)吃Q(其中j=n+1次;N-C公式至少具有n次代数精度，若n为偶数，则其代数精度可提高到余项：f(M2)化)bE(f)=(n；!JaXPn.1(x)dxE(f)二f(F心b(J.aPn1(X)dX(n+1)!a4)复化的N.C公式复化的梯形公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用梯形公式nbxj」xFf(xw"x)dx%」一f(X)+f(X』••JJhEn(f)ZlTnEn(f);)2(b-a)f()心”巴⑴一石(复化的Simpson公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用「f(Xi)J.4f(Xj也)I661h-(一"(b-a)f⑷()18024T2n-Tnf(Xj1)叫h■nXJ5)”phSimpson公式nJ2En(f)6) 5)Romberg积分法〒o(h)=T(h)4mTm(h)—Tm(h)2-m.4TTm(h)-d)2mTm(h)t_L=—22ImA11_(_L)2mL.2Tm(h)逼近1(f)的阶为112伽)hhT°(h)T°(g叫£(h)Ti(h)TJ(-)求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度＜=2n+1；Gauss求积公式f(x)八:j(x)f(Xj)ij(x)f(Xj)1卫・f(2n2)(・E(x)二(2n2)!P肩(x)E(x)b”_1(f)=af(X)dX=a=卜j(X)f(Xj)JJJ,b:j(x)f(Xj)dxaE(x)dxa:j(X)dxf(Xj)a%•-j(x)dxf(Xj)・aE(x)dxrHjf(Xj)、Hjf(Xj)jzSjz9—b2bp„(x)Hj「a(X.Xj)lj(x)d“aPAlj(X)dXFm(x)在〔a,b〕上与所有次数V=n的多项式带权『三1正交上式为Gauss求积公式、8)Gauss-Legendre求积公式给出Pm(X)公式：P)(X)=121dn但土①■-Pn(X)=2m!dXn「。

2・1门2给出区间〔1,-1〕上的求积公式，取Pn(X)的零点为求积节点①取P(X)零点为0R(x)二Xbff(x)dx=Hof(Xo)+E(f)a②取P,笋点为-b.f(x)dx二H°f(x)H/(Xi)E(f)H1aa+hh对于区间〔a,b〕上的Gauss求积公式，令X22a+bb—af(x)二f(工厂t)二g(t)，则：b1b。