构造等腰三角形解题五种途径.doc

构造等腰三角形解题五种途径等腰三角形是一类特殊的三角形，它的性质和判 定在几何证明和计算中有着广泛的应用.有些几何图形中不 存在等腰三角形，可根据已知条件和图形特征，通过添加适 当的辅助线，巧妙构造等腰三角形，然后利用等腰三角形的 性质使问题获解.一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线，我们可以通过作平行线 构造等腰三角形.如图1, AD是AABC的角平分线.%1 如图2,过点D作DE〃AC交AB于点E,则AADE是等 腰三角形；%1 如图3,过点B作BE〃AC交AD的延长线于点E,则 △ABE是等腰三角形；%1 如图5,点E是AB边上一点，过点E作EF〃AC分别 交AD、BC于点F、G,则AAEF是等腰三角形；%1 如图4,点E是AB边上一点，过点E作EF〃AC,交 AD的延长线于点F,交BC于点G,则AAEF是等腰三角形；%1 如图6,过点C作CE〃AD交AB的反向延长线于点E, 则AACE是等腰三角形；%1 如图7,点E是AC边上一点，过点E作EF〃AD,交 AB的反向延长线于点F,交BC于点G,则AAEF是等腰三角 形.我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和 底边上的高互相重合，简称“三线合一”.现在的问题是： 如果三角形一边上的中线与它的对角的角平分线重合，那么 这个三角形是否是等腰三角形呢？答案是肯定的，现在就来 证明这个定理.例1如图8, A ABC中，中线AD平分ZBAC.求证:AB=AC.分析：AD既是AAC的中线，同时又是AABC的角平分线. 联想到与角平分线和中线有关的辅助线，可过点B （或点C） 作AC （或AB）的平行线.证明：如图9,延长AD至点E,使DE=AD.VBD=CD, ZBDE=ZADC, DE二AD,/. ABDE^ACDA.「.BE二AC, ZE=ZCAD.又 ZBAD=ZCAD, ZBAD=ZE..\AB=BE. .\AB=AC.说明：本例也可过点D作DEXAB, DFAC,垂足分别为 E、F,如图10所示，从面积入手证明.二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线时，我们也可以通过作垂 线的方法构造等腰三角形.如图11,点E是NABC的角平分 线AD上的一点，过点E作AD的垂线分别交AB、AC于点M、N,则ZXAMN是等腰三角形.例 2 如图 12,在ZkABC 中，ZA=90 , AB二AC, ZABC 的平分线BD交AC于D, CEJ_BD,交BD的延长线于点E.求 证：CE=BD.分析：由角平分线和垂线可以构造以BC为腰、ZABC为 顶角的等腰三角形.证明：如图12,延长CE交AB的反向延长线于点F.7BD平分ZABC, CE_LBD,由角平分线的对称性知 CE=EF=CF.VZ1+ZF =90 , Z2+ZF =90 ,AZ1=Z2.又 AB二AC, ZBAD二NCAF二90。

「.△BADWCAF. .LBD=CF.ACE-BD.三、利用中垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现高时，可以在高所在的边（或其延 长线）上取一点，使高是该点与该边上三角形的一顶点组成 的线段的中垂线，从而构造等腰三角形.如图13, AD是AABC的高.%1 如图14,段BC上取一点E使ED=DE,连结AE, 则AAEC是等腰三角形；%1 如图15,段BC的延长线上取一点E,使BD二DE 连结AE,则AABE是等腰三角形.例 3 如图 16,在ZkABC 中，ADBC 于 点 D, ZB=2ZC. 求证:AB+BD二CD.分析：由待证结论AB+BD二CD并结合已知条件 “ADLBC”，可构造以AB为腰、AD为底边上的高的等腰三 角形.证明：在BC上取一点E,使BD二DE,连结AE,则Z\ABE 是等腰三角形.「•AB二AE, ZB^ZAED.而 ZAED=ZC+ZCAE,且ZB=2ZC, A ZC+ZCAE=2ZC.AZCAE=ZC. AAE=CE. AAB=CE.「•AB+BD 二 CE+DE 二 CD.四、利用平行线，构造等腰三角形过等腰三角形一腰上的点作底边或另一腰的平行线，都 可以得到等腰三角形.如图17,在AABC中，AB=AC,过线段 AB 上一点 D 作 DE〃BC, DF〃AC,分别交 AC、BC 于点 E、F, 则AADE和ABDF都是等腰三角形.例 4 如图 18, ZXABC 中，AB二AC, D 是 AB 一点，E 是 AC延长线上一点,且BD=CE, DE交BC于点F.求证：DF=EF.分析：由待证结论知点F是线段DE的中点，再结合已 知条件"AB=AC”，可过点D作DM〃AC构造等腰三角形.证明：过点D作DM/7AC交BC于点虬则ZDMB=ZACB,ZFDM=ZE.•「AB二AC, .\ZB=ZACB,A ZB=ZDMB. ABD=DM.又 BD二CE, ADM^CE.在ZXDMF 和 Z\ECF 中，DM=CE, ZFDM=ZE, ZDFM=ZEFC, AADMF^AECF. ADF=EF.说明：本例也可过点E作EN〃AB交BC的延长线于点N, 证明过程留给同学们完成.五、转化倍角，构造等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们 就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.如图 19, ZkABC 中，ZB=2ZC.%1 如图20,作BD平分ZABC,则ADBC是等腰三角形；%1 如图21,延长CB到点D,使BD二BA,连结AD, KJAADC 是等腰三角形；%1 如图22,以C为角的顶点，CA为一边，在形外作 ZACD^ZACB,交BA的延长线于点D,则Z\DBC是等腰三角 形.例 5 如图 23,在ZkABC 中,ZABC-2ZC, BC二2AB.求证: ZA=90 .分析：结合已知条件“ZABC二2ZDBA”和“BO2AB”， 可作ZABC的平分线BD交AC于点D,并取BC的中点E,连 结DE,借助等腰三角形的“三线合一"和三角形全等证明.证明：作ZABC的平分线BD交AC于点D,则 ZDBE=ZC. /.BD=CD.取BC的中点E,连结DE,则BE二AB,且DEBC.在ZXABD 和Z\EBD 中，BE二AB, ZDBE=ZDBA, BD=BD,A AABD^AEBD. A ZBED=ZA=90 .（作者单位：湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学）。