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第四章 第二节 泊松分布 二 泊松定理 三 泊松分布的数学期望与方差 一 泊松分布 一 泊松分布 设随机变量X的分布律为 显然满足 1 非负性 2 规范性 泊松分布是概率论中又一重要的概率分布 一方面 很多随机现象都近似服从泊松分布 如交换站一定时间间隔内的呼唤次数 公共汽车站来到的乘客数 炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数 落在显微镜上某种细菌个数 另一方面 泊松分布可看为二项分布的极限分布 二 泊松定理 定理 设随机变量 服从二项分布 并且满足 其中概率与n有关 则 在应用中 当且n很大 时 p很小 有下面的泊松近似公式 其中 由于泊松分布有着广泛的应用 都已造成表 见书末附表1及附表2 计算时可查表 例1在1875年 1955年间的某63年间 上海的夏季 5 9月 共发生暴雨180次 求一个夏季发生k次暴雨的概率 解 每年夏季共有 n 31 30 31 31 30 153天 若每次暴雨以一天计 则每天发生暴雨的概率为 一个夏季发生k次暴雨记为 作为初步近似 可利用伯努利概型 由于p很小 而n较大 则 例2为了保证设备正常工作 需配备适量的维修工人 工人配备多了就浪费 配备少了又要影响生产 现有同类型设备300台 各台工作是相互独立的 发生故障的概率都是0 01 在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理 我们也只考虑这种情况 问至少需配备多少工人 才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0 01 解 设需配备N人 记同一时刻发生故障的设备台数 为X 那么 所需解决的问题是确定 最小的N 使得 由泊松定理 即 查表知满足上式最小的N是8 即需至少配备8名工人 例3 设儿童在注射 非典 疫苗产生不良反应的概率为 0 001 试确定2000个儿童中有3个以及2个以上产生不 良反应的概率 解 设X表示在此2000个注射疫苗的儿童中产生不良 反应的个数 则 由于n 2000很大 p 0 001很小 所以可进行近似计算 即 故 三 泊松分布的数学期望与方差 其分布律为 设 则 四 泊松分布的应用 泊松分布常作为大量重复试验中稀有事件 不幸事件 意外事故 非常见病 自然灾害等 发生概率的数学模型 服务领域 接到的呼叫次数 公共车站来到的乘 客数 物理领域 热电子辐射数等 1 保险公司亏本的概率是多少 2 保险公司赢利不少于100000元的概率是多少 例4 有的资料显示 人群中与这项保险业务有关的死亡概率 为0 0020 今有2500人参加这项保险 每个参保的人员 在每年1月1日交付120元保险金 而在死亡时家属可从 公司领取20000元保险金 试问 设某保险公司现在为社会提供一项人寿保险 据已 分析 每年1月1日 保险公司的收入元 若一年中死亡x人 则保险公司这一年应付出20000 x元 因此 公司亏本 意味着20000 x 300000即x 15人 这样 公司亏本 这一事件等价于 一年中多于15人死亡 的事件 从而转求 一年中多于15人死亡 的概率 参加保险的一个人在一年中是否死亡 看作一次随机试 若把 验 则问题可用 的伯努利试验来近似 由泊松定理 经查表可得 1 2 赢利不少于100000元 则意味着 则 设X为一年中这些参保人员里死亡的人数 则 解 。