高中数学(人教A版)必修五精讲精练【讲义】.pdf

《新课标高中数学必修⑤精讲精练》——精讲 第一章 解三角形 1 第 1 讲 §1.1.1 正弦定理 ¤学习目标：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的推导过程，并能运用正弦定理解 决一些简单的三角形度量问题. ¤知识要点： 1.正弦定理（law of sines） ：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinsinsin abc ABC == . 2. 应用正弦定理，可以研究两类解三角形的问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角； （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. 注意结合实际情况进行讨论 ¤例题精讲： 【例 1】在 ABC ∆ 中，已知 4526 Aacmccm =°== ， ， ，解三角形.（精确到 1°， 0.1 cm） 解解：根据正弦定理， 623 sinsin 222 c CA a ==×= ，∴ 60120 CC =°=° 或 . 当 60 C =°时， 180()75 BAC =°−+=°， sin2sin75 2.7() sinsin45 aB bcm A ==≈ ?? . 120180()15 CBAC =°=°−+=° 当 时， ， sin2sin15 0.7() sinsin45 aB bcm A ==≈ ? ? . ∴ 2.7()6075 bcmCB ≈=°=° ， ， 0.7()12015 bcmCB ≈=°=° 或 ， ， . 【例 2】在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线（如图） ，用正弦定理证明 ABAD BCDC = . 证明证明：在△ABD 内，利用正弦定理得 sin sinsinsin ABADABADB ADBABDADABD ∠ == ∠∠∠ ,即 . 在△BCD 内，利用正弦定理得 sin ,. sinsinsin BCDCBCBDC BDCDBCDCDBC ∠ == ∠∠∠ 即 ∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD＝∠DBC， ∴sin∠ABD＝sin∠DBC. ∵∠ADB＋∠BDC＝180°， ∴sin∠ADB＝sin（180°－∠BDC）＝sin∠BDC. ∴ sinsin sinsin ABADBBDCBC ADABDDBCCD ∠∠ === ∠∠ ， ∴ ABAD BCDC = . *【例 3】在△ABC 中，已知 2 2() aabc −=+ ， 223 abc +=− ，若 sinC∶sinA＝4: 13，求 a，b，c． 解解：∵ sinC∶sinA＝4∶ 13 ， ∴ c∶a＝4∶ 13 . 设 c＝4k，a＝ 13 k，则 2 13132(4 ) 13283 kkbk kbk  −=+   +=−   由①、②消去 2b，得 2 131630 kk −+= ， 解得 k＝ 3 13 或 k＝1. ∵ k＝ 3 13 时 b＜0，故舍去． ∴ k＝1，此时 a＝ 13 ，b＝ 513 2 − ，c＝4． 点评点评：利用正弦定理，可以把角正弦的比值关系转化为边的比值关系，反之也行. 由比值而设参数 k，通 过方程思想求出参数 k，从而解决解三角形的问题. *【例 4】在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，且 2tan tan acB cC − = ．求角 B 的大小. 解解：∵ 2tan tan acB cC − = ，根据正弦定理，得 2sinsintansincos sintansincos ACBBC CCCB − == . 化简为2sincoscossinsincos ABBCBC −= ， ∴ 2sincossin() ABBC =+ . 在△ABC 中，sin()sin BCA += ， ∴ 1 cos 2 B = . ∵ 0180 B ° > ，∴ A 为最大角，由余弦定理有 222 1 cos 22 bca A bc +− == − ， ∴ 0 120 A = . 又 ∵ 3 sin 2 A = ， ∴ 535 3 sinsin 7214 c CA a ==×= . *【例 2】设a ? =(x 1，y1) ，b ? =(x2，y2)，a ? 与b ? 的夹角为θ（0≤θ≤π） ，求证：x1x2+ y1y2=|a ? ||b ? |cosθ. 证明证明：如图，设a ? ，b ? 起点在原点，终点为 A，B， 则 A=(x1，y1) ，B=(x2，y2)，AB ??? ? =b ? −a ? . 在△ABC 中，由余弦定理|b ? −a ? | 2 =|a ? | 2 +|b ? | 2 −2|a ? ||b ? | cosθ. ∵|b ? −a ? | 2 =| AB ??? ? | 2 =|(x 2­x1，y2­y1)| 2 =(x 2­x1) 2 +( y 2­y1) 2 ，|a ? | 2 =x1 2 +y 1 2 ，|b ? | 2 = x 2 2 +y 2 2 ， ∴ (x2­x1) 2 +( y 2­y1) 2 = x 1 2 +y 1 2 + x 2 2 +y 2 2 −2|a ? ||b ? | cosθ， ∴ x1x2+ y1y2=|a ? ||b ? |cosθ ，即有a ? •b ? = x1x2+ y1y2=|a ? ||b ? |cosθ. 【例 3】在△ABC 中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状. 解法一解法一： ∵bcosA＝acosB， ∴ 222222 22 bcaacb ba bcac +−+− = ii . ∴b 2 ＋c 2 －a 2 ＝a 2 ＋c 2 －b 2 ，∴a 2 ＝b 2 ，∴a＝b， 故此三角形是等腰三角形. 解法二解法二：设 2 sinsinsin abc R ABC === ，则 b＝2RsinB，a＝2RsinA. ∵ bcosA＝acosB， ∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB. ∴ sinAcosB－cosAsinB＝0， ∴sin（A－B）＝0. ∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴－π＜A－B＜π， ∴A－B＝0 即 A＝B. 故此三角形是等腰三角形. 点评点评：上面两种解法分别是利用余弦定理将角化为边，利用正弦定理将边转化为角. 边角互换是正弦定 理和余弦定理的特殊功能，通过将角的关系与边的关系互相转化，从而使许多问题得以解答. *【例 4】在△ABC 中， 10 ab += ，cosC 是方程 2 2320 xx −−= 的一个根，求△ABC 周长的最小值. 解解：∵ 2 2320 xx −−= ， ∴ 12 1 2, 2 xx == − . 又 ∵cosC是方程 2 2320 xx −−= 的一个根， ∴ 1 cos 2 C = − . 由余弦定理可得： 2222 1 2()() 2 cabababab =+−−=+− i ， 则 22 100(10)(5)75 caaa =−−=−+ ， 当 5 a = 时，c 最小且 755 3 c == ， 此时 105 3 abc ++=+ . 所以，△ABC 周长的最小值为105 3 + . 点评点评： 最大 （小） 值的研究， 一般思路是用一个变量表示出所研究目标的函数， 通过函数性质得以求解. 这 里的目标函数是二次函数，易由配方法而得到最小值. 注意此题中周长的最小等价于边 c 的最小.《新课标高中数学必修⑤精讲精练》——精讲 第一章 解三角形 5 第 3 讲 §1.1 正弦定理和余弦定理 ¤学习目标：掌握正弦定理、余弦定理，并能联合运用正弦定理与余弦定理解决一些简单的三角形度量问 题. 能运用两个定理转化三角形中的一些边角关系式. ¤知识要点： 1. 正弦定理和余弦定理结合起来，能够很好地解决三角形的问题. 注意定理的变式及合理选用公式. 2. 解三角形问题的实质就是由正弦定理与余弦定理联立得到方程组，由方程的思想求解未知的边角. ¤例题精讲： 【例 1】在?ABC 中，a、b、c 分别为 A、B、C 的对边， A=60°，b=1，c=4，则 sinsinsin abc ABC ++ ++ 的 值等于（ ）. A. 2 39 3 B. 26 3 3 C. 8 3 3 D. 2 3 解解：由余弦定理得 22222 2cos142 1 4cos6013 abcbcA =+−=+−× × ×° = ，则 13 a = . 根据正弦定理，得到 132 39 sinsinsinsinsin603 abca ABCA ++ === ++° ，所以选 A. 【例 2】在△ABC 中，sinA= sinsin coscos BC BC + + ，判断这个三角形的形状. 解解：应用正弦定理、余弦定理，可得 a= 222222 22 bc cababc caab + +−+− + ， 整理为 b（a 2 －b 2 ）+c（a 2 －c 2 ）=bc（b+c） ，即（b+c）a 2 =（b 3 +c 3 ）+bc（b+c）. 所以 a 2 =b 2 －bc+c 2 +bc，即 a 2 =b 2 +c 2 . 所以△ABC 是直角三角形. 【例 3】在△ABC 中，已知 10 2 AB = ，A＝45°，在 BC 边的长分别为 20， 20 3 3 ，5 的情况下，求相 应角 C. 解解：由正弦定理得 sin10 sin ABA C BCBC == . （1）当 BC＝20 时，sinC＝ 1 2 ，∵ BCAB > ，∴ AC > ， 30 C =°. （2）当 BC＝ 20 3 3 时，sinC＝ 3 2 ， ∵ sin45 ABBCAB ° 1， ∴ C 不存在. 点评点评：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有无解、一解、二解等三种情况，关键是讨论 时需根据已知条件，结合图形进行分析. 【例 4】在 ABC ∆ 中，角A B C , , 的对边分别为a b c , , ， 2 CA = ， 10 ac += ， 3 cos 4 A = ， （1）求 c a 的值； （2）求b的值. 解解： （1）由 2 CA = 及正弦定理得 sinsin233 2cos2 sinsin42 cCA A aAA ====×= . （2）由 10 3 2 ac c a +=    =   ，解得 4 6 a c =   =  . 由余弦定理得 222 3 4626 4 bb =+−× × ，化简得 2 9200 bb −+= ，解得 4 b = 或 5 b = . 检验：若 4 b = ，则AB = ， 4 ABCA π ++== ， ∴ 4 A π = ， 2 cos 2 A = ，与条件 3 cos 4 A = 矛盾，所 以 4 b = 不合题意，舍去. 所以 5 b = . 点评点评：在解三角形的过程中，常常把正弦定理和余弦定理联合起来使用，要求根据已知合理选用.《新课标高中数学必修⑤精讲精练》——精讲 第一章 解三角形 7 P Q M N 第 4 讲 §1.2 应用举例（一） ¤学习目标： 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与距离测量和几何计算有关的实际问题， 提高分析和解决实际问题的能力. ¤知识要点： 1. 运用正弦定理和余弦定理，可以解决不可到达点的距离测量问题. 2. 测量方案的设计及两个距离测量问题： （1）一个可到达的点到另一个不可到达的点之间的距离； （2）两个不可到达的点之间的距离. ¤例题精讲： 【例 1】设计一种借助于两个观察点 C、D（已知两个观察点之间的距离 d）测量航船的速度的方案. 解解：方案可以是：船在时刻 1 t 在 A 处，测出 ACD ∠ 和 CDA ∠ ；再在时刻 2 t ，航船沿直 线航行到 。