一次不定方程及方程的整数解问题-1.doc

一次不定方程（组）及方程的整数解问题一次不定方程（组）及方程的整数解问题【【写在前面写在前面】】不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组） ，我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【【本讲重点本讲重点】】求一次不定方程（组）的整数解【【知识梳理知识梳理】】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组） ，其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.重要定理：设 a、b、c、d 为整数，则不定方程有：cbyax定理定理 1 1 若且 d 不能整除 c，则不定方程没有整数解；,),(dbacbyax定理定理 2 2 若是不定方程且的一组整数解（称为特解） ，则（t 为整数）是),(00yxcbyax  atyybtxx00,方程的全部整数解（称为通解）. （其中,且 d 能整除 c）.dba),(定理定理 3 3 若是不定方程，的特解，则是方程的一个),(00yx1byax1),(ba),(00cycxcbyax特解. （其中,且 d 能整除 c）.dba),(求整系数不定方程的正整数解，通常有以下步骤：cbyax（1）判断有无整数解；（2）求出一个特解；（3）写出通解；（4）有整数 t 同时要满足的条件（不等式组） ，代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.解不定方程（组） ，需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式. 【【学法指导学法指导】】【【例例 1】】求下列不定方程的整数解（1） ； （2）.862 yx13105yx【【分析分析】】根据定理 1、定理 2 确定方程的整数解.【【解答解答】】 （1）原方程变形为：， 观察得到是的一组整数解（特解） ，43  yx   1, 1 yx43  yx根据定理 2 ，是原方程的所有整数解.)(1,31是整数ttytx （2）∵（5，10）=5，但 5 不能整除 13，∴根据定理 1，原方程的无整数解.【【点评点评】】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【【实践实践】】求下列不定方程的整数解（1） ； （2）.211147yx11145yx答案：（1）无整数解；（2）)(51,145是整数ttytx 【【例例 2】】求方程的所有正整数解.213197yx【【分析分析】】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用 y 来表示 x ,再将含 y 的代数式分离出整系 数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予 y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的 y0，然 后再求 x0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【【解答解答】】∵（7，19）=1，根据定理 2，原方程有整数解.由原方程可得，75323075314210 719213yyyyyx由此可观察出一组特解为 x0=25，y0=2.∴方程的通解为.)(72,1925是整数ttytx 其中 ∴ ∴ ∴  072, 01925tt  72,1925tt72 1925t0 , 1t代入通解可得原方程的正整数解为   . 2,25. 9, 6yxyx或【【点评点评】】根据定理 2 解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.【【实践实践】】求方程的正整数解. 答案： x=4,y=3.2654731y【【例例 3】】大客车能容纳 54 人，小客车能容纳 36 人，现有 378 人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【【分析分析】】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【【解答解答】】设需要大客车 x 辆，小客车 y 辆，根据题意可列方程 ，即. 3783654yx2123yx又（3，2）=1，根据定理 2，原方程有整数解. 易知是一个特解，通解为   9, 1 yx)(99,21是整数ttytx 由题意可知 解得 相应地  099, 021tt. 3 , 2 , 1 , 0t    . 0, 7. 3, 5. 6, 3. 9, 1 yx yx yx yx答：需要大客 1 车辆，小客车 9 辆；或需要大客车 3 辆，小客车 6 辆；或需要大客车 5 辆，小客车 3 辆；也可以只要大客车 7 辆，不要小客车.【【点评点评】】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【【实践实践】】某次考试共需做 20 道小题，对 1 道得 8 分，错一道扣 5 分，不做不得分.某生共得 13 分，他没做的题目有几道？答案：7【【例例 4】】某人的生日月份数乘以 31，生日的日期数乘以 12，相加后得 347，求此人的生日.【【分析分析】】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【【解答解答】】设此人生日的月份数为 x ,日期数 y. 根据题意可列方程 31x+12y=347. 〈〈方法一方法一〉〉 〈〈方法二方法二〉〉特解： )(3116125165是整数通解：ttytxyx  )31347( |123134712xxyQ16550125121121)(512)12(mod711)12(mod31347yxxttxttxxx代入原方程得：把是整数Q.16503131161121251311121是符合题意解解得    yxtttyxQ答：此人的生日为 5 月 16 日. 【【点评点评】】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【【实践实践】】已知有一个三位数，如果它本身增加 3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的，求一切31这样三位数的和. 答案：432【【例例 5】】( (新加坡数学竞赛题新加坡数学竞赛题) )设正整数 m,n 满足，则 m 的最大值为 .698mnnm【【分析分析】】把 m 用含有 n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出 m 的最大值.【【解答解答】】∵，∴，698mnnmnmnm968nmn96)8(由题意可得，n≠8，∴，8669866729 869 896 nnn nn nnm∵m,n 为正整数， ∴ 当 n=9 时，m 有最大值为 75.【【点评点评】】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【【实践实践】】( (北京市数学竞赛题北京市数学竞赛题) )有 8 个连续的正整数，其和可以表示成 7 个连续的正整数的和，但不能 3 个连续的正整数的和，那么这 8 个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案：28【【例例 6】】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三； 鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？ 【【分析分析】】分析：用 x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：1001003135zyxzyx如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【【解答解答】】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为 x,y,z.(2)×3－(1)得：14x+8y=200，即 7x+4y=100. )2(1003135) 1 (100zyxzyx〈〈方法一方法一〉〉 )(71844 .184是整数通解：，特解：ttytx yx  . 2 , 1 , 07181071804400    tttttyx解得Q844128111878184,zyxzyxzyx原方程有三组解：相应地〈〈方法二方法二〉〉 〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053, 147ttytxyxyxyxyx      〈〈方法三方法三〉〉 下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod30:)4(mod7100)7100( |4)3(71004ttytxtytxttxxxxxy 【【点评点评】】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【【实践实践】】如果 1 只兔可换 2 只鸡，2 只兔可换 3 只鸭，5 只兔可换 7 只鹅.某人用 20 只兔换得鸡、鸭、鹅共30 只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7） 、 （4，12，14） 、 （6，3，21）【【例例 7】】求方程的整数解.23732zyx【【分析分析】】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【【解答解答】】设，则原方程可看作 对于方程（1）x=-t,y=t 是一个特解，tyx32  )2(.237) 1 (,32zttyx从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数uutyutx 又 t=2,z=3 是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数vvtvz 将（6）代入（3） 、 （4）消去 t 得到原方程的所有整数解为：)( .3,272,372 是整数、vu vzuvyuvx【【点评点评】】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式.【【实践实践】】求方程的整数解. 7892439zyx答案：)(. 83213, 3, 238 是整数、vu vuzvyuvx【【例例 8】】( (海峡两岸友谊赛试题海峡两岸友谊赛试题) )甲组同学每人有 28 个核桃，乙组同学每人有 30 个核桃，丙组同学没人有31 个核桃，三组共有核桃总数是 365 个.问：三个小组共有多少名同学？【【分析分析】】设甲组同学 a 人，乙组同学 b 人，丙组同学 c 人，由题意得. 要求，365313028cbacba可以运用放缩法从确定的取值范围入手.cba【【解答解答】】设甲组同学 a 人，乙组同学 b 人，丙组同学 c 人，则.365313028cba∵，∴.)(31365313028)(28cbacbacba。