积化和差和差化积倍角公式半角公式.pdf

1. 积化和差公式 证明方法 : 用和 ( 差) 角公式将右边展开即得公式 . 积化和差公式记忆口诀 积化和差角加减 , 二分之一排前边 正余积化正弦和 , 余正积化正弦差 余弦积化余弦和 , 正弦积化负余差 2. 和差化积公式 sin α+sin β=2sin[( α+β)/2] ·cos[( α - β)/2] sin α- sin β =2cos[( α +β )/2] · sin[( - βα)/2] cos α+cos β=2cos[( α+β)/2] ·cos[( α - β)/2] cos α - cos β=- 2sin[( α+β)/2] ·sin[( α - β)/2] 【注意右式前的负号】 和差化积公式记忆口诀 和差化积 2 排前 , 半角加减放右边 正弦和化正余积 , 正弦差化余正积 余弦和化余弦积 , 余弦差化负正积  以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α +sin β =2sin[（ α +β）/2] · cos[（ α- β ）/2] 的证明过程 因为 sin( α +β )=sin α cos β +cos α sin， β sin( α- β )=sin α cos β-cos α sin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin( α +β )+sin( -αβ )=2sin α cos β， 设 α +β =θ，α- β =φ 那么 α=（θ +φ）/2 ，β=（ θ- φ）/2 把 α，β 的值代入，即得 sin θ +sin φ =2sin[（θ +φ）/2]cos[( θ-φ ）/2] 正切的和差化积 tan α± tan β =sin（ α±β ）/(cos α· cos β）（附证明） cot α± cot β =sin（ β±α ）/(sin α· sin β） tan α +cot β =cos （α- β） /(cos α· sin β） tan α- cot β=-cos （ α +β）/(cos α· sin β）【注意右式前的负号】 证明：左边 =tan α± tan β =sin α /cos α± sin β /cos β =(sin α· cos β± cos α· sin） β/(cos α· cos β） =sin （α±β ）/(cos α· cos β） =右边 ∴等式成立  3. 半角公式 sin(A/2)= √((1 -cosA)/2) sin(A/2)=- √((1 -cosA)/2) cos(A/2)= √((1+cosA)/2) cos(A/2)=- √((1+cosA)/2) tan(A/2)= √((1 -cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=- √((1 -cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)= √((1+cosA)/((1 -cosA)) ctg(A/2)=- √((1+cosA)/((1 -cosA)) 。