第一章 函数极限和连续性.doc

第一章 函数、极限和连续性复习要求提示：1. 函数实质上是变量间的对应关系函数的概念及各种性质在考研数学中一般不作为直接的考点但函数是微积分的基本研究对象，绝大多数知识点都直接或间接地与函数相关，相当大的一部分题目中也要直接或间接地用到函数的各种性质函数部分需要重点掌握的内容有：复合函数，分段函数的运算，反函数的概念及计算，函数的奇偶性,单调性，周期性和有界性2. 极限是这一章的主要内容，也是整个学科的理论基础本章的首要任务是熟练掌握各种极限的计算方法，极限计算的方法牵涉到方方面面的理论，与后续很多章节都有和重要的联系，是常考的考点总结起来主要有：利用四则运算，利用两个重要极限，利用等价无穷小替换，利用洛必达法则，利用变量替换，分别求左右极限，数列极限转化为函数极限，利用夹逼原理，利用单调有界原理，利用泰勒公式，利用定积分的定义等 无穷大量和无穷小量的相关问题是这一部分的另一重要内容主要理解无穷大量和无穷小量的概念及它们的关系，重点掌握无穷小量的比较方法，理解无穷小量的高阶、同阶、等价的概念并能用等价无穷小替换计算极限；理解无穷大与无界的关系；极限存在的准则极限部分需重点掌握的内容有：极限的保号性，无穷小的等价替换等。

3 .函数的连续性是函数的基本性质之一，微积分中研究的函数都是连续函数或仅在有限个点间断的函数对函数连续性的考查也是考研数学的重要内容，考题主要集中在连续性的讨论及间断点的分类上对函数连续性的考查本质上还是考查极限的计算另外，闭区间上连续函数的性质也是需要考生有所了解的内容第一节 函数Ⅰ考点精讲一．基本概念1.函数：从实数集的子集到的一个映射称之为函数，记作，称为自变量，为因变量函数的三要素：定义域、解析式和值域（也作二要素：定义域、解析式，因为这两者可以决定值域）其中，定义域是自变量的取值范围；值域是因变量的取值范围记作函数由其解析式和定义域唯一确定，与符号的选取无关，如与是同一个函数在没有特别指定的情况下，函数的定义域取自然定义域，即使得函数运算有意义的自变量的取值范围易知，人为指定的定义域必为自然定义域的子集常见的函数的定义域如下：2.复合函数：设与为两个函数，如果的值域包含于的定义域，则可以定义与的复合函数类似地，还可以定义三个或更多函数的的复合函数复合函数的性质：ⅰ）复合函数的运算满足结合律，即（注意，复合函数不满足交换律例如令，则）；ⅱ）如果单调性相同，则单调递增；如果单调性相反，则单调递减。

3.反函数：函数是一个映射，如果该映射的逆映射存在，则称该逆映射是函数的逆映射，记作反函数的性质：ⅰ）函数存在反函数当且仅当对定义域内任意两点，有 ；ⅱ）反函数与原函数的图像关于直线对称；ⅲ）反函数与原函数的增减性相同常见反函数：4.初等函数：由基本初等函数经过有限次复合或四则运算得到的函数称之为初等函数基本初等函数包括如下五类函数：幂函数，指数函数：；对数函数：；三角函数：等；反三角函数：等5.分段函数：函数在的不同取值范围内有不同的解析式就称之为分段函数常见的分段函数：，，二．基本性质1.函数的单调性：如果对函数在某区间内的任意两点都有（或），就称函数在上单调递增（或单调递减），相应地称是的一个单调增区间（或单调减区间）如果对区间内的任意两点都有（或），我们就称函数在上单调不减（或单调不增）函数单调性的性质：ⅰ）如果都是增函数（或减函数），则也是增函数（或减函数）ⅱ）如果是增函数，是减函数，则是增函数，是减函数ⅲ）如果是增函数（或减函数），如果常数，则是增函数；如果常数，则是减函数常见函数的单调增区间及单调减区间：2.函数的周期性：如果存在正数，使得对函数在其定义域内的任意一点都有，就称是一个周期函数，而是的一个周期。

易知如果是的一个周期，那么对任意的正整数，都是的周期在的所有周期中，我们把其中最小的称为最小正周期很多时候，我们往往也把最小正周期简称为周期周期函数的性质：ⅰ）如果以为周期，则对任意的非零常数，仍然以为周期，以为周期ⅱ）如果都以为周期，则仍然以为周期（）注意这时最小正周期有可能缩小，如都以为最小正周期，但以为最小正周期常见周期函数的周期：3.函数的奇偶性：如果对其定义域内的任意一点，（或），就称是一个偶函数（或奇函数）奇偶函数的性质：ⅰ）偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称；ⅱ）如果都是奇函数（或偶函数），则对任意的常数，仍然是奇函数（或偶函数）； ⅲ）如果奇偶性相同，则为偶函数；如果奇偶性相反，则为奇函数；ⅳ）对于任意定义在对称区间上的函数，、与都是偶函数；是奇函数常见的奇函数：常见的偶函数：4.函数的有界性：设是一个函数，如果存在一个实数，使得对定义域内任意的一点，都有，则称函数有上界，并称是函数的一个上界；如果存在一个实数，使得对定义域内任意的一点，都有，则称函数有下界，并称是函数的一个下界既有上界又有下界的函数称为有界函数，也即函数有界当且仅当，存在实数与，使得对定义域内任意的一点，都有。

注：有界函数还有一个等价的定义：存在实数，使得对定义域内任意一点，都有读者可以尝试自行证明这个结论Ⅱ核心题型与解题思路题型一 函数的基本概念和重要性质【例1】：判断下列函数是否相同（1）与 （2）与（3）与分析：两函数相等当且仅当两函数定义域与对应法则均一致，按照这两个标准判断即可要注意的是利用何种字母表示函数与函数是否相同无关解】：（1）是一对不同的函数因为前者定义域为，而后者的定义域为2）是一对不同的函数，因为对应法则不同前者的解析式为，当时，二者的对应法则不同3）是一对相同的函数首先，二者的定义域同为其次，在前一个函数中，有，，因此后一个函数实际上等价于而函数相同与否与自变量的选取无关，因此这两个函数相同例2】：求下列函数的定义域（1） （2） 分析：根据基本初等函数的定义域计算：，，，解】：（1）因此函数的定义域为（2）因此函数的定义域为例3】：设，试求与分析：直接按定义代入【解】：按照定义有由定义域有因此有进一步还有【例4】：设试计算的反函数分析：把函数看作关于方程进行求解，分段函数分段求解，求反函数时要注意计算定义域，也即原函数的值域。

解】：（1）由解得因此原函数的反函数为【例5】：讨论函数下列函数在其定义域内的有界性，，分析：按照定义，如果有界，一般通过不等式的放缩法得到上界和下界；如果无界，则说明函数值的绝对值可以无限扩大解】：的定义域为，由可得，因此，因此在定义域上有界的定义域为在其定义域上有，因此函数在定义域上有界的定义域为 ，令，则，由于可以取得任意地大，因此函数无界第二节 极限Ⅰ考点精讲一．基本概念1.数列极限：2.函数极限：3.左（右）极限右极限的定义类似3.无穷小：以0为极限的量.也即，如果，则称时为无穷小注】：无穷小量的重要性质1）.有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；2）.有限个无穷小量的和仍为无穷小量；3）.无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量4.无穷大：在自变量的某一过程中，函数值无限增大的量【注】：无穷大量的重要性质1）.无穷大实际上是极限不存在的情况，但极限不存在的量并不一定都是无穷大量2）.无穷大量也是一个动态变化的过程，而不是一个实际存在的数3）.无穷大量与无穷小量的关系：无穷大量的倒数是无穷小量，非0的无穷小量的倒数是无穷大量5.无穷小量的比较设a.高阶无穷小量与低阶无穷小量：b.同阶无穷小量c.等价无穷小量同阶无穷小量的特殊情况，将定义中的C改为1即可，记作【注】：等价无穷小在计算极限中有重要的作用，需要记住的等价无穷小有二．基本性质1.极限的性质1）.四则运算：设2．数列极限的性质及其收敛法则：a.性质唯一性：有界性：（其逆不真）保序性：有两个数列 若从某一项开始，以后所有项都有，则（注：把都改为结论不成立） 若有，则从某一项开始，以后所有项都有（注：把都改为结论不成立）3.函数极限的性质及其相关定理：a.唯一性：若存在，且有及，则。

b.有界性：若存在，则存在正数，使得在内有界c.保序性：若存在正数，对于任意满足的都有，则 若有，存在正数，对于任意满足的都有三．重要公式与定理1.收敛准则：a.夹逼定理：若存在正数，对于任意满足的都有，且,则. b.单调有界原理：单调递增有上界的数列必有极限；单调递减有下界的数列必有极限；单调无界的数列极限为2.两个重要极限a.b. 3.洛必达法则①（型） 设满足ⅰ） ⅱ）在的领域内可导（点除外）且ⅲ）则有②（型）设满足ⅰ）ⅱ）存在一个正数X,当时有可导，且ⅲ）则有③（型）设满足ⅰ）ⅱ）在的领域内可导（点除外）且ⅲ）则有④（型）设满足ⅰ）ⅱ）存在一个正数X,当时有可导，且ⅲ）则有4.重要公式：a.几种常见的无穷大量趋近于无穷的快慢比较：当时，以下各函数趋近于无穷的快慢当时，以下各数列趋近于无穷的快慢b.常用极限四．计算极限的主要方法1.利用初等变换或变量替换利用极限的四则运算将极限变形，化为便于计算的形式注】：1.关于无穷大的运算法则2.如果出现等情况，则不能直接用公式计算需要应用后面的方法计算2.等价无穷小替换设在时，，则有注】：1.等价无穷小替换在极限计算过程中一般起辅助的作用，它和洛必达法则连用可以简化计算。

2.只有整个式子的乘除因子才能用等价无穷小替换，有加减时不能替换如中的不能替换为事实上，由洛必达法则可知3.洛必达法则洛必达法则是计算函数极限最常用的方法，使用时需要注意以下几点a.如果，并不代表如由夹逼原理可知时，，而，因此而如果运用洛必达法则的话，就会得到，而不存在b.使用洛必达法则之前，先检验是否满足所需条件；c.多次应用时，注意在用完之后将式子整理化简；d.与等价无穷小量结合使用通常可以简化计算；e.数列极限如果也想用洛必达法则计算的话可以通过变量替换转化为函数极限f.当极限式中有积分号时，需要用到变限积分求导的公式：设函数连续，可导，则有4.利用两个重要极限a.推广：b. 推广：或c.关于幂指数的三个公式ⅰ）ⅱ）ⅲ）5.利用夹逼法夹逼法实质上是对待求极限的数列或函数进行放大或缩小，进行放缩的时候有两个原则：1.尽量简化计算；2.不改变极限值，优先考虑第二条6.利用单调有界原理单调有界原理一般用于递推形式的数列极限，也即数列以的形式给出的极限思路是，先证明极限存在（一般要用到数学归纳法证明数列单调有界），再对递推式两边同时取极限得到，进而解出极限值7.利用泰勒公式或中值定理a.泰勒公式设函数在点处有阶导数则在的某邻域内有常见函数的泰勒公式特例：b.拉格朗日中值定理设函数在上连续，在上可导，则存在，使得。

8.利用定积分计算和式的极限每项提出或后，原和。