教师培训课件：数学学习的理论探讨.ppt

数学学习的理论选讲数学学习的理论选讲一、教师成为研究者20世纪80年代以来，教师教育出现了一种“反思性转向”以美国为开端，关于反思的讨论迅速在教师教育界兴起这种讨论的结果就是形成了“教师即研究者”（ Elliott， 1990）的理念，也就是说，教师不应只是别人研究成果的消费者，更应是研究者 教师即技师（教师即技师（Teacher as technician））教师即研究者（教师即研究者（Teacher as researcher）） 学者教师学者教师 陈凤洁、黄毅英和萧文强（陈凤洁、黄毅英和萧文强（1994）提出了）提出了“学学者教师者教师”（（scholar teacher）的想法，这种教师勇）的想法，这种教师勇于迎接时代挑战，于迎接时代挑战，“无论对数学、教育及学生特点无论对数学、教育及学生特点均能掌握，本身也须为思考者、研究者与课程设计均能掌握，本身也须为思考者、研究者与课程设计者者”萧文强（萧文强（2007）认为，要成为一位）认为，要成为一位“学者教师学者教师”，，应该有应该有“处处留心皆学问处处留心皆学问”的情怀，因此，数学教的情怀，因此，数学教师需要进行数学研究，但这种数学研究与一位数学师需要进行数学研究，但这种数学研究与一位数学工作者通常进行的研究虽然精神相同，内容与性质工作者通常进行的研究虽然精神相同，内容与性质都有别。

因为教师必须运用学生懂得的语言去解释，都有别因为教师必须运用学生懂得的语言去解释，也要照顾到学生的学业程度和知识背景也要照顾到学生的学业程度和知识背景学者教师的研究学者教师的研究数学工作者中小学数学教师l问题处于学术领域的前沿l在文献上通常找不到答案l尽量把问题表述成一般形式l尽量寻找一般的解答l设法运用任何数学知识、方法与技巧l优美解答是追求的准则l问题源自教学上的需要l在文献上可能找到也可能找不到答案l往往只着意问题的特殊情况l有时对寻找具体的解答更感兴趣l只能运用某些范围内的数学知识、方法和技巧l优美解答不一定是追求的准则，有时貌似“笨拙”的解答反而更派用场教师成为研究者是教师本身专业发展的需要 •“教师成为研究者教师成为研究者”有利于教师去发现和解决发生在自己有利于教师去发现和解决发生在自己课室中的教学问题，或是教育上的问题，进而改进教学以课室中的教学问题，或是教育上的问题，进而改进教学以及提升教育质量及提升教育质量 •“研究者研究者”与与“教师教师”看问题的视角往往是不一样的，看问题的视角往往是不一样的，“教师成为研究者教师成为研究者”有利于促进教师对学生学习的理解有利于促进教师对学生学习的理解。

学学”是是“教教”的前提，只有理解了学生是怎么学的，教学的前提，只有理解了学生是怎么学的，教学才能对症下药在理解学生的学习方面，教师的经验固然才能对症下药在理解学生的学习方面，教师的经验固然重要，但由于学习行为是一种复杂的心理活动，因此，单重要，但由于学习行为是一种复杂的心理活动，因此，单纯的经验有时也会将教学引入歧途纯的经验有时也会将教学引入歧途 •“教师成为研究者教师成为研究者”有助于促进教师之间、教师与专业研有助于促进教师之间、教师与专业研究人员之间、以及教师与其它行业之间的合作与交流教究人员之间、以及教师与其它行业之间的合作与交流教师的经验由于带有太多的个性，一旦脱离了具体的情境，师的经验由于带有太多的个性，一旦脱离了具体的情境，就难以被别人理解与借鉴，只有通过研究，将经验提升为就难以被别人理解与借鉴，只有通过研究，将经验提升为一种带有共性的东西，才可能跨越时空和行业的界线一种带有共性的东西，才可能跨越时空和行业的界线 教师专业发展的必由之路职初教师职初教师专家教师专家教师合格教师合格教师模仿学习模仿学习实践实践+反思反思问问题题观观点点理理论论视频案例视频案例教师成为研究者是教学研究领域的需要——研究风格的转变1.自上而下（自上而下（演绎法演绎法））→自下而上（自下而上（归纳法归纳法））2.定性研究定性研究→定量研究定量研究→定性研究（定性研究（质的研究质的研究））3.教育学方法（教育学方法（望远镜望远镜）） →心理学方法（心理学方法（显微镜显微镜）） →数学数学教育研究方法（教育研究方法（？？））4.理论研究（理论研究（改变理论改变理论）） →实证研究（实证研究（检验假设检验假设）） →行动行动研究（研究（改变行为改变行为））5.象牙塔（象牙塔（独立研究独立研究）） →课堂（课堂（合作研究合作研究））6.基于书面资料（基于书面资料（博览群书博览群书））→基于因特网（基于因特网（搜索与鉴别搜索与鉴别））案例研究成为教师研究的主要途径！案例研究成为教师研究的主要途径！教师成为研究者是课程改革的需要 数学新课程的实施，带来了许多新的东西，如：新的数学新课程的实施，带来了许多新的东西，如：新的教学理念，新的教学方法，新的教学内容，以及传统教学内教学理念，新的教学方法，新的教学内容，以及传统教学内容的新的处理。

随之而来的则是一些新的问题和老师们的种容的新的处理随之而来的则是一些新的问题和老师们的种种困惑：如何看待我国的双基教学？传统的教学经验是不是种困惑：如何看待我国的双基教学？传统的教学经验是不是不适用啦？什么是数学探究？如何评价教学的有效性？等等不适用啦？什么是数学探究？如何评价教学的有效性？等等为了解除困惑，老师们常常把目光转向专家和理论，而他们为了解除困惑，老师们常常把目光转向专家和理论，而他们常常又会发现，专家们的观点似乎并不一致，理论也似乎没常常又会发现，专家们的观点似乎并不一致，理论也似乎没有定论于是，又形成了新的困惑无怪乎，台湾的报纸用有定论于是，又形成了新的困惑无怪乎，台湾的报纸用三个字来概括实施（台湾地区）新课程后老师们的心情，那三个字来概括实施（台湾地区）新课程后老师们的心情，那就是：就是：“忙、盲、茫忙、盲、茫”要改变这种现象，要改变这种现象，“教师成为研究者教师成为研究者”至关重要因至关重要因为面对新的情境，老的经验往往并不适用只有采取研究的为面对新的情境，老的经验往往并不适用只有采取研究的态度，才能透过表面的现象看清本质的东西，从而提高教师态度，才能透过表面的现象看清本质的东西，从而提高教师的洞察力和鉴别力，而不至于像墙头草那样，风吹两面倒。

的洞察力和鉴别力，而不至于像墙头草那样，风吹两面倒 教师参与研究的程度教师参与研究的程度 汉森（汉森（Henson, 1996）曾将教师参与研究的程度分为三级：）曾将教师参与研究的程度分为三级：1. 第一级为第一级为“协助者协助者”（（helper）的角色，即仅提供教）的角色，即仅提供教室与学生给外来的研究者使用；室与学生给外来的研究者使用；2.第二级为第二级为“初级研究者初级研究者”（（junior partner）的角色，）的角色，即虽共同参与研究，但并不参与任何研究上的决策；即虽共同参与研究，但并不参与任何研究上的决策；3.第三级为第三级为“实质研究者实质研究者”（（researcher）的角色，即）的角色，即不论单独进行或与他人合作研究，皆处于主导研究的不论单独进行或与他人合作研究，皆处于主导研究的地位研究表明，唯有位于第三级的教师，才能确实利用研究来改研究表明，唯有位于第三级的教师，才能确实利用研究来改进自身的教学进自身的教学 几点建议选择一个适合自己的研究方向 数学教育涉及的研究领域和方向很多，教师的工数学教育涉及的研究领域和方向很多，教师的工作又比较繁忙，不可能关注数学教育研究的方方面面，作又比较繁忙，不可能关注数学教育研究的方方面面，因此，首先要选择一个适合自己的研究方向，作为自因此，首先要选择一个适合自己的研究方向，作为自己的立足之地，然后安营扎寨，踏踏实实地做一点自己的立足之地，然后安营扎寨，踏踏实实地做一点自己的东西。

现在学术界的新观点、新口号很多，但笔己的东西现在学术界的新观点、新口号很多，但笔者以为，做研究不能赶潮流，因为引领潮流的毕竟只者以为，做研究不能赶潮流，因为引领潮流的毕竟只有极少数的人，大多数只能随波逐流，容易迷失方向有极少数的人，大多数只能随波逐流，容易迷失方向大约在大约在7年前，笔者因为出国访学的事，罗列了自己的年前，笔者因为出国访学的事，罗列了自己的一些研究成果去拜访张奠宙先生先生的评价是：你一些研究成果去拜访张奠宙先生先生的评价是：你的研究只是东一榔头、西一榔头，看不出自己的研究的研究只是东一榔头、西一榔头，看不出自己的研究特长这让我很是振动从此，我就在努力寻找适合特长这让我很是振动从此，我就在努力寻找适合自己的研究领域自己的研究领域从“小”做起 喜欢做大做空，是我国传统教育研究的一个通喜欢做大做空，是我国传统教育研究的一个通病，为此，张奠宙先生曾多次呼吁要改一改我们的文病，为此，张奠宙先生曾多次呼吁要改一改我们的文风从研究角度来看，大体上有两种：一种是风从研究角度来看，大体上有两种：一种是“望远望远镜镜”式的，高瞻远瞩，整体把握；另一种是式的，高瞻远瞩，整体把握；另一种是“显微镜显微镜”式的，选一个小的切入点，逐步深入。

从目前的国式的，选一个小的切入点，逐步深入从目前的国际趋势来看，更喜欢后一种方式；而从我们教师的实际趋势来看，更喜欢后一种方式；而从我们教师的实际情况看，比较合适的也是后一种际情况看，比较合适的也是后一种本刊的老主编唐复苏教授经常挂在嘴上的一句本刊的老主编唐复苏教授经常挂在嘴上的一句话是：文章不在长短，有一得之见即可这一得之见话是：文章不在长短，有一得之见即可这一得之见指的是自己的独到见解，而不是泛泛而谈我们不能指的是自己的独到见解，而不是泛泛而谈我们不能期望一篇短文能够讲出许多的大道理期望一篇短文能够讲出许多的大道理注意相关文献的积累 做研究不能靠拍脑袋虽然论点的选择可以来自经验，做研究不能靠拍脑袋虽然论点的选择可以来自经验，但经验不能代替有效的论据在一些学术期刊的文章中，我们但经验不能代替有效的论据在一些学术期刊的文章中，我们仍然可以看到：仍然可以看到：“我认为我认为…”这类比较随意的断言，却始终没有这类比较随意的断言，却始终没有给出为什么可以这样认为的证据，则不是研究的态度当然，给出为什么可以这样认为的证据，则不是研究的态度当然，像像《《中学数学月刊中学数学月刊》》这样兼顾学术性和实用性的刊物，并不排这样兼顾学术性和实用性的刊物，并不排斥有效教学经验的分享，但要成为一个研究者，就不能仅仅是斥有效教学经验的分享，但要成为一个研究者，就不能仅仅是经验之谈。

经验之谈提高研究水平的一条具体措施就是注意相关文献的搜集提高研究水平的一条具体措施就是注意相关文献的搜集与积累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，别人已经做了与积累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，别人已经做了哪些工作这样才不会原地踏步，或者做重复劳动我国老一哪些工作这样才不会原地踏步，或者做重复劳动我国老一代数学教育研究者戴再平教授在这方面可以说是一个典范，他代数学教育研究者戴再平教授在这方面可以说是一个典范，他不仅自费订阅几乎全部的中小学数学类期刊，而且制作了大量不仅自费订阅几乎全部的中小学数学类期刊，而且制作了大量的学术卡片正是这种勤奋，使得他几乎可以著作等身虽然的学术卡片正是这种勤奋，使得他几乎可以著作等身虽然在网络时代，研究资料的搜集更为便捷，但也同样需要日积月在网络时代，研究资料的搜集更为便捷，但也同样需要日积月累掌握基本的研究方法 长期以来，学科教育研究常常受到学科专家长期以来，学科教育研究常常受到学科专家的质疑，其根本原因就是研究方法的科学性与的质疑，其根本原因就是研究方法的科学性与自然科学不同的是，教学假设是不能用纯逻辑的自然科学不同的是，教学假设是不能用纯逻辑的方法来论证的，教学实验也通常是不可复制的。

方法来论证的，教学实验也通常是不可复制的因此，研究方法的适用性及信度和效度就成为关因此，研究方法的适用性及信度和效度就成为关键的因素近年来流行的教学研究方法包括：案键的因素近年来流行的教学研究方法包括：案例研究，问卷调查，深度访谈，出声思维，录像例研究，问卷调查，深度访谈，出声思维，录像带分析，教学实验等等这些方法并不需要高深带分析，教学实验等等这些方法并不需要高深的理论知识，用几次就熟悉了的理论知识，用几次就熟悉了 增加合作与交流 现代社会越来越强调人与人的合作交流，数现代社会越来越强调人与人的合作交流，数学教育研究也是一样这里的合作交流不仅仅指学教育研究也是一样这里的合作交流不仅仅指研究结果的呈现，更在于研究过程的开放性近研究结果的呈现，更在于研究过程的开放性近年来，国外的一些研究人员往往从选题开始就在年来，国外的一些研究人员往往从选题开始就在网络上公布，并毫无保留地展现自己的研究过程，网络上公布，并毫无保留地展现自己的研究过程，包括其中的困惑，希望引起别人的关注与介入包括其中的困惑，希望引起别人的关注与介入这种做法，于人于己都有益处这种做法，于人于己都有益处 提纲提纲I.前言前言II. 范希尔的几何思维水平范希尔的几何思维水平III. 克鲁切茨基的数学能力心理学克鲁切茨基的数学能力心理学IV. 韬尔的高等数学思维研究韬尔的高等数学思维研究V. 安德森的安德森的ACT-R理论理论VI. 杜宾斯基的杜宾斯基的APOS理论理论I. 前言前言呼唤数学领域自身的学习理论！呼唤数学领域自身的学习理论！理论的意义理论的意义1.支持预测；支持预测；2.为研究提供框架；为研究提供框架；3.具有解释的能力；具有解释的能力；4.能够应用于广泛的现象；能够应用于广泛的现象；5.有助于组织对复杂的相关现象的思考；有助于组织对复杂的相关现象的思考；6.作为数据分析的工具；作为数据分析的工具；7.提供一种深层次的交流观点的语言。

提供一种深层次的交流观点的语言数学学习领域的理论建构数学学习领域的理论建构两条途径：两条途径：•第一条途径是第一条途径是“一般学习理论一般学习理论 + 数学例子数学例子”，也就，也就是将一般的学习原理应用于具体的数学学习情境，是将一般的学习原理应用于具体的数学学习情境，然后根据数学学习的特点修正原来的理论，或者提然后根据数学学习的特点修正原来的理论，或者提出新的假设去寻找更合适的理论依据出新的假设去寻找更合适的理论依据1.另外一条途径则另外一条途径则源自数学学习中的问题与经验源自数学学习中的问题与经验, 通通过建立模型去解释数学学习的心理过程过建立模型去解释数学学习的心理过程这一类研这一类研究人员通常是数学专业出生，对数学有较为深入的究人员通常是数学专业出生，对数学有较为深入的理解，但在教育学和心理学的理论功底上有所欠缺，理解，但在教育学和心理学的理论功底上有所欠缺，其研究的重点主要在于大学生和中学生的数学学习其研究的重点主要在于大学生和中学生的数学学习相比之下，心理学界对数学学习的讨论主要集中在相比之下，心理学界对数学学习的讨论主要集中在小学阶段小学阶段 学习理论研究的趋势：走进课堂学习理论研究的趋势：走进课堂 三十年前三十年前, 教育工作者们很少关注认知科学家教育工作者们很少关注认知科学家的工作的工作, 在认知科学研究的初期在认知科学研究的初期, 研究者们的工作是研究者们的工作是远离课堂的远离课堂的. 今天今天, 认知研究者们更多的是与教师合认知研究者们更多的是与教师合作作, 在真实的课堂情景中检验和改进他们的理论在真实的课堂情景中检验和改进他们的理论, 因因为在教室里为在教室里, 他们才能看到不同的课堂情境和不同他们才能看到不同的课堂情境和不同的课堂交往是如何影响他们的理论在课堂中的应用的课堂交往是如何影响他们的理论在课堂中的应用. 摘自摘自《《人是如何学习的人是如何学习的》》II. 范希尔的几何思维水平范希尔的几何思维水平起因起因在在50年代的荷兰，几何教学所面临的问题是年代的荷兰，几何教学所面临的问题是很普遍的（很普遍的（Freudenthal, 1958）。

范希尔夫妇）范希尔夫妇（（Pierre Van Hiele & Dina Van Hiele）作为荷兰）作为荷兰一所中学的数学教师，每天都亲身经历着这些问一所中学的数学教师，每天都亲身经历着这些问题最让他们感到困惑的是教材所呈现的问题或题最让他们感到困惑的是教材所呈现的问题或作业所需要的语言及专业知识常常超出了学生的作业所需要的语言及专业知识常常超出了学生的思维水平，这使得他们开始关注皮亚杰的工作思维水平，这使得他们开始关注皮亚杰的工作经过一段时间的研究，他们提出了几何思维的五经过一段时间的研究，他们提出了几何思维的五个水平这一成果最初发表在他们夫妇于个水平这一成果最初发表在他们夫妇于1957年年在乌特勒克大学共同完成的的博士论文上在乌特勒克大学共同完成的的博士论文上 评价评价前苏联学者很快就注意到了范希尔的思想，他的论文前苏联学者很快就注意到了范希尔的思想，他的论文（（1959）在）在1963年就由皮什卡罗（年就由皮什卡罗（A. M. Pyshkalo）作了详）作了详尽的报道尽的报道10年之后，美国人才开始了解范希尔的工作在年之后，美国人才开始了解范希尔的工作在1974年召开的大西洋城年召开的大西洋城NCTM年会上，芝加哥大学的威兹普年会上，芝加哥大学的威兹普（（Isaak Wirszup）将范希尔的思想正式介绍给了美国学者，）将范希尔的思想正式介绍给了美国学者，并同时介绍了前苏联几何教学的并同时介绍了前苏联几何教学的“惊人进展惊人进展”。

威兹普的报威兹普的报告后来以告后来以“几何教学心理学中的一个重大突破几何教学心理学中的一个重大突破”为标题发表为标题发表在在Martin 和和Bradbard主编的著作上（主编的著作上（Wirszup，，1976） 与此与此同时，弗赖登塔尔也提供了思维水平在数学归纳法学习同时，弗赖登塔尔也提供了思维水平在数学归纳法学习中的范例他发现，数学归纳实际上也是沿着五个思维水平中的范例他发现，数学归纳实际上也是沿着五个思维水平发展的（发展的（Freudenthal, 1973, p123）所有这一些，使范希）所有这一些，使范希尔理论尔理论引起了全世界的广泛关注，并成为上世纪引起了全世界的广泛关注，并成为上世纪80年代几何年代几何教学研究的一个热点教学研究的一个热点 水平的划分水平的划分层次层次0︰︰视觉视觉 ( visuality) 层次层次1︰︰分析分析(analysis) 层次层次2︰︰非形式化的演绎非形式化的演绎 (informal deduction) 层次层次3︰︰形式的演绎形式的演绎 (formal deduction) 层次层次4︰︰严密性严密性( rigior ) 层次层次0︰︰视觉视觉 ( visuality) 儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图形之特征或要素名称分析图形，也无法对图形做概括的论述. 例如：儿童可能会說某个图形是三角形，因为它看起來像一个三明治。

层次层次1︰︰分析分析(analysis) 儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义；能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也无法导出公式和使用正式的定义例如：儿童会知道三角形有三条边和三个角，但不能理解如果内角愈大，则对边愈长的性质层次层次2︰︰非形式化的演绎非形式化的演绎 (informal deduction) 儿童能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论但不能了解证明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证明结果的成立，也未能建立定理网络之间的内在关系例如：学生了解了等腰三角形的性质后，他们会推出等腰直角三角形同时也是直角三角形的一种，因为等腰直角三角形较直角三角形多了一些性质的限制因此，学童能作一些非正式的说明但还不能作系统性的证明.层次层次3︰︰形式的演绎形式的演绎 学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”、“定理”和“公理”的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公里、定义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网络，能比较一个定理的不同证明方式；能理解证明中的必要与充分条件，例如至少有一个边对应相等或至少一个角对应相等是证明两个三角形全等的必要条件，两角夹边对应相等则是两三角形全等的充分条件；能写出一定理的逆定理，如平行四边形的对角线互相平分，其逆定理是对角线互相平分的四边形是平行四边形。

 层次层次4︰︰严密性严密性 在这个层次能在不同的公理系统下严谨地建立定理以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较水平的修正水平的修正（（Van Hiele，，1986）） 1.直观水平（visual level）——整体地认识几何对象Fuys, geddes, Lovett和Tischler（1988）认为这一阶段是“学习者依据几何图形的外表来认识，命名，比较，和画出这些图形的时候，像三角形，角度，平行线”2.描述水平（descriptive level）——通过几何性质认识几何对象在这一阶段学生按照图形的组成部分和这些组成部分之间的联系来分析图形学生依据经验确立图形的性质和使用这些性质解决问题3.理论水平（theoretical level）——利用演绎推理证明几何关系在描述阶段中由Murray（1997）提出的概念网络图在这一阶段完整和稳定了学生理解和接受了准确的定义，学生谈论形状时涉及到这些定义，学生理解图形内部和图形之间的联系这一阶段学生能够运用“如果┉那么”思想，并由此发展逻辑推理能力 几何教学阶段几何教学阶段 1. 学前咨询(information)，教师和学生就学习对象进行双向交谈，教师了解学生如何理解指导语，并且帮助学生理解要学习的课题。

学生提出问题，对课题的对象和运用的词汇做出观察，确定下一步的学习 2. 引导定向(guided Orientation)，教师为学生仔细安排活动顺序，使学生认识到学习进行的方向，逐渐熟悉这一结构的特性在这个阶段中，许多活动都是引起一个特定的反应的一步（简单）作业 几何教学阶段几何教学阶段3.阐明 (explication)，通过前面的经验和教师最小程度的提示，学生明确了词汇的意义，表达自己对内在结构的看法通过这一阶段，学 生 开 始 形 成 学 习 的 关 系 系 统 van Hiele（1984b）指出：在这个阶段的过程中，经验的获得取决于正确的语言符号和学生们在课堂上学习透过讨论去表达他们所观察到的结构之意见，老师只需注意这些讨论所使用的习惯措词关连系统在这阶段就有一部份形成了几何教学阶段几何教学阶段4.自由定向(free orientation)，在这个阶段，学生碰到多步作业或能以不同方式完成的作业在寻找方法和解决问题过程中，学生获得了经验通过自己确定学习领域的方向，他们对学习对象之间的关系越来越明确按照van Hiele（1984b）的观点：这个阶段是自由探索，调查的范围是大多数学生知道的，但学生仍需迅速地找到他的方向。

 几何教学阶段几何教学阶段5.整合(integration)，学生回顾自己所用的方法并形成一种观点，对象和关系被统一并内化进一个新的思维领域教师对学生理解的东西作一个全面的评述，帮助学生完成这一过程，在此，教师要小心，不要提出新的或不一致的观点 范希尔理论的特点范希尔理论的特点 1.次序性(sequential)：学生几何思维水平的发展是循序渐进的，要在特定的水平顺利发展，必须具有前一水平的各个概念和策略也就是说，学生在没通过第n-1层次之前，无法到达第n层次2.进阶性(advancement)：学生几何思维水平的提升是经由教学，而不是随年龄成长或心理成熟自然而然的没有一种教学方法能让学生跳过某一水平而进入下一水平，由一水平进入下一水平并非一蹴而就的3.内隐性及外显性(intrinsic and extrinsic)：某一水平的内隐性质成为下一水平的外显性质，如某一个水平上的个人化的模糊概念在下一水平上通过外显的表征工具(如符号)而得到澄清4.语言性(linguistics)：每一层次都有其专属的阶段性语言符号在某一层次使用的语言符号，可能到了另一层次就必须调整为另一语言符号，因此每一层次都有其独特的语言符号，谓之语言性。

5.不适配性(mismatch)：如果学生的思维处于一个水平,而教师的教学处于另一个水平,那么就不可能取得预期的教学效果. 尤其是当教师的教材内容、教具选择及语汇使用均属于较高层次时，学生将无法理解、思考其过程与结果 SOLO理论理论 SOLO是“学习结果的结构性观察”（Structure Of the Observed Learning Outcome）的缩写，由澳大利亚学者Collis和Biggs（1982）所创，SOLO分类法的理论基础是结构主义学说和皮亚杰认知发展阶段理论 SOLO水平分类水平分类 SOLO层次规则描述前结构学生无法解决问题或只会重复问题学生不能理解要点单结构学生注意到了问题的一个相关特征，但事实或观点之间没有联系理解是有名无实的多元结构学生找到了许多独立的相关特征，但还无法将他们有机联系起来关联结构整合各部分内容使其成为一个有机整体扩展抽象学生会归纳问题或重新概念化到更高的抽象层次范希尔理论与范希尔理论与SOLO理论的比较理论的比较SOLO 分类与范希尔理论在许多方面是相似的，如两者都为教师提供了一种评价学生推理的途径；两者都可以作为一种教学的框架；在各级水平（特别是最高水平和最低水平）上学生的反应指标有些类似；等。

但两者之间的区别也是存在的，如SOLO系统侧重于评价学生的学习结果，而范希尔的目标则是学生个体的能力变化（Jurdak，1989，p.156）；SOLO分类可以应用于所有的学科，而范希尔一般只适用于几何课程；SOLO系统除了五个结构层次外，还给出了不同层次之间的“过渡水平”，目的是帮助学生从一个层次向另一个层次过渡，而范希尔的教学阶段则聚焦于每个层次上的教学设计 几何思维水平的评估几何思维水平的评估 范希尔理论在几何评价上的应用主要包括相关的两个方面：一是在每个思维水平上设计出相应的测试题；二是利用编制好的测试题考查学生的范希尔思维水平 在这方面的工作中，第一个，也是最经典的一项研究是芝加哥大学的一个题为“中学几何课上学生认知的发展和成就”的研究课题这项研究的目的是确定学生的认知发展阶段以及学生在一个数学基础知识测验上的成绩对他们掌握几何概念和证明的影响（Usiskin，1982）这项课题的对象包括了六个州的学习高中几何课程的近2900名学生Usiskin得到的初步的研究结果得到的初步的研究结果 1.以纸笔测验进行施测，有8﹪的初初中生可达到van Hiele 层次3之上2.范希尔几何思考层次和几何测验分数间有显著的相关。

3.部分学生的解答介于两个水平之间，难以指派到某一层次4.完成中学几何课程后，仍有40﹪学生的几何发展仍在层次3以下5.范希尔层次在性别间有差异现象6.利用van Hiele 几何思考层次可预测学生在标准几何学习上会遇到困难需要进一步研究的问题需要进一步研究的问题 1.是否存在其它的几何思维水平？是否存在其它的几何思维水平？ 2.如何细化各水平的评价指标？如何细化各水平的评价指标？ 3.如何刻画不同几何教学内容如何刻画不同几何教学内容/活动的范希尔思维水平？活动的范希尔思维水平？ 4.如何编制符合我国教学实际的范希尔水平测试题？如何编制符合我国教学实际的范希尔水平测试题？ 5.如何考察不同年级学生的范希尔思维水平？如何考察不同年级学生的范希尔思维水平？ 6.我国学生在范希尔水平上是否存在性别差异？我国学生在范希尔水平上是否存在性别差异？ 7.如何帮助学生在不同思维水平之间的过渡？如何帮助学生在不同思维水平之间的过渡？ 8.范希尔理论对我国的几何课程设计与评价有什么意义？范希尔理论对我国的几何课程设计与评价有什么意义？ 9.能否把范希尔理论推广到其它数学内容？能否把范希尔理论推广到其它数学内容？ III. 中小学生数学能力心理学中小学生数学能力心理学简介简介前苏联心理学家克鲁切茨基从前苏联心理学家克鲁切茨基从50年代末开始就年代末开始就对中小学生数学能力进行了长达十二年的研究对中小学生数学能力进行了长达十二年的研究. 他运他运用深度访谈、问卷调查、跟踪分析、出声思维等质用深度访谈、问卷调查、跟踪分析、出声思维等质的研究方法，分析了不同能力的学生解题时的心里的研究方法，分析了不同能力的学生解题时的心里特性，以及数学能力组成成分中的类型、年龄、性特性，以及数学能力组成成分中的类型、年龄、性别差异以及数学能力与个性的关系。

这些研究成果别差异以及数学能力与个性的关系这些研究成果集中反映在其著作集中反映在其著作《《中小学生数学能力心理学中小学生数学能力心理学》》中这本书的俄文版在这本书的俄文版在1968年出版后，于年出版后，于1976年被基尔年被基尔帕特里克等人翻译成英文版（帕特里克等人翻译成英文版（Krutetskii, 1976）分别于分别于1983、、1984和和1993年由我国上海教育出版社、年由我国上海教育出版社、教育科学出版社和九章出版社出版的中译本均译自教育科学出版社和九章出版社出版的中译本均译自这本英文版这本英文版 评价评价“可以毫不夸张地说，这本书对从事数学教育的可以毫不夸张地说，这本书对从事数学教育的人来说，和皮亚杰的著作有同样的影响力正像皮亚人来说，和皮亚杰的著作有同样的影响力正像皮亚杰的实验题目曾为教师和研究人员所改编和使用一样，杰的实验题目曾为教师和研究人员所改编和使用一样，克鲁切茨基的实验题目更接近于学校的数学课程，因克鲁切茨基的实验题目更接近于学校的数学课程，因而同样地能为教师和研究人员加以改编和使用；正如而同样地能为教师和研究人员加以改编和使用；正如皮亚杰关于智力发展的概念曾使教育工作者认识到不皮亚杰关于智力发展的概念曾使教育工作者认识到不同年龄儿童思维上的差异一样，克鲁切茨基关于数学同年龄儿童思维上的差异一样，克鲁切茨基关于数学能力结构的概念，能使他们认识到能力的不同组成和能力结构的概念，能使他们认识到能力的不同组成和它们是怎样在共同起作用的；正如皮亚杰曾经扩大了它们是怎样在共同起作用的；正如皮亚杰曾经扩大了我们关于什么是恰当的研究方法一样，克鲁切茨基则我们关于什么是恰当的研究方法一样，克鲁切茨基则更进一步扩展了这个概念。

更进一步扩展了这个概念基尔帕特里克基尔帕特里克 三个基本问题三个基本问题 1.数学能力特殊性问题数学能力特殊性问题数学能力本身是作为一种特殊形数学能力本身是作为一种特殊形式存在，与一般智力范畴不同呢，还是数学能力是一般式存在，与一般智力范畴不同呢，还是数学能力是一般心理过程和人格品质的特殊化呢？也就是说，一般智力心理过程和人格品质的特殊化呢？也就是说，一般智力是与数学能力一起发展的吗？换句话说，人们能说数学是与数学能力一起发展的吗？换句话说，人们能说数学能力不外是一般智力加上对数学的兴趣和学习数学的倾能力不外是一般智力加上对数学的兴趣和学习数学的倾向性吗？向性吗？2.数学能力的结构性问题数学能力的结构性问题数学禀赋是单一性的（单独的、数学禀赋是单一性的（单独的、不可再分的）还是综合性的（复杂的）？如果是综合性不可再分的）还是综合性的（复杂的）？如果是综合性的，人们就可追问关于数学能力的结构问题，也就是复的，人们就可追问关于数学能力的结构问题，也就是复杂心理形式的组成成分问题杂心理形式的组成成分问题3.数学能力的类型差异问题数学能力的类型差异问题是否存在着不同类型的数学是否存在着不同类型的数学秉赋或者有一个主要成分而只是在对某些数学分支的兴秉赋或者有一个主要成分而只是在对某些数学分支的兴趣和倾向上出现差别？趣和倾向上出现差别？（一）能力结构（一）能力结构两类数学能力两类数学能力1.作为创造性（科学）的能力作为创造性（科学）的能力——在数学科学在数学科学活动中的能力。

这种能力产生对人类有意义活动中的能力这种能力产生对人类有意义的新成果与新成就这是在社会上有价值的的新成果与新成就这是在社会上有价值的成品2.作为学校的能力作为学校的能力——在学习（学会、掌握）在学习（学会、掌握）数学（在这种情况下是学校的数学课程）上数学（在这种情况下是学校的数学课程）上的能力，迅速而成功地掌握适当知识和技能的能力，迅速而成功地掌握适当知识和技能的能力数学能力的调查研究数学能力的调查研究（1958-1962，62名教师） •能较快地掌握数学知识、技能和习惯，对教师的讲解领会得迅速（95%）•思维的逻辑性和独立性（82%）•学习数学时足智多谋与机敏（67%）•能迅速而牢固地记忆数学材料（50%）•有高度发展的概括、分析和综合数学材料的能力（50%）•上数学课很少感到疲劳（3%）•迅速地从正面的思维进程转变到反面的思维进程的能力（15%）1.概括的能力（98%）2.推理的逻辑性（98%）3.智力的足智多谋和敏捷（88%）4.数学的记忆力（82%）5.抽象的能力（）6.思维的灵活性（73%）7.求助于视觉手段（63%）8.具有空间观念（57%）9.从正面的思维进程转变到反面的思维进程的能力（52%）10.力求节约脑力（48%）11.推理过程的缩短（38%）12.数学课大会很少疲劳（30%）（1965，56名教师） 数学能力的调查研究数学能力的调查研究（数学家、（数学家、21人）人）•清晰的目的性（3）•专心致志（4）•勤奋（2）•对数学的爱好（6）•由特殊到一般的能力（12）•从无关紧要的细节中摆脱出来的能力（11）•思维的准确、简洁与清晰（6）•寻找最漂亮的解答的需要（3）•数学的想象力或幻想（3）•从思维的一种水平到另一种水平的迅速转换能力（3）•能通过推理的中间阶段迅速地抓住事物的本质和透视问题的深处的能力，以及缩短推理的一些环节进行思考的能力（3）•形式推理的一般数学模式的技能（1）中小学生数学能力结构中小学生数学能力结构 1. 获得数学信息获得数学信息 A. 对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。

对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力2. 数学信息加工数学信息加工A.在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对数学符号进行思维的能力数学符号进行思维的能力B. 迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力C. 缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行思维的能力思维的能力D. 在数学活动中心理过程的灵活性在数学活动中心理过程的灵活性E. 力求解答的清晰、简明、经济与合理力求解答的清晰、简明、经济与合理F. 迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）3. 数学信息保持数学信息保持A. 数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解题方法及探讨原则的概括性记忆）题方法及探讨原则的概括性记忆）。

4. 一般综合性组成成分一般综合性组成成分 A. 数学气质数学气质数学禀赋结构中非必要成分数学禀赋结构中非必要成分 1.以时间为特征的心理过程的敏捷性数学家可以慢慢地思考，但是却想得非常透彻和深刻2.计算能力法国著名数学家庞卡莱说，他自己即使做加法也要出错误3.对符号、数字和公式的记忆正如科尔莫戈罗夫指出的那样，许多著名数学家在这方面的记忆并不突出4.关于空间概念的能力；5.对抽象数学关系和相依关系形象化的能力（二）研究中小学生数学能力的实验（二）研究中小学生数学能力的实验题体系题体系普通测验普通测验：：考查学生知道什么和会什么考查学生知道什么和会什么能力测验能力测验：：考查学生解题的容易程度和迅速程度考查学生解题的容易程度和迅速程度选择实验题的依据选择实验题的依据 1.选用的实验题目或是不需要特殊的知识、技能或习惯选用的实验题目或是不需要特殊的知识、技能或习惯就可以解决的，或是它所需要的知识对全体学生来说就可以解决的，或是它所需要的知识对全体学生来说都是具备的都是具备的2.实验题目对学生来说是新的，所用的材料也是他们不实验题目对学生来说是新的，所用的材料也是他们不熟悉的，因此，也就大大减弱了过去经验的影响。

熟悉的，因此，也就大大减弱了过去经验的影响3.如果他们的材料是新近学过的，那么就使我们有可能如果他们的材料是新近学过的，那么就使我们有可能去探索学生掌握新技能的特点（解答相应类似题目的去探索学生掌握新技能的特点（解答相应类似题目的技能）4.我们运用了一些具有数学创造性成分的题目我们运用了一些具有数学创造性成分的题目——非常非常规的题目规的题目系列系列1：没有提出问题的题目：没有提出问题的题目考查目的考查目的：本系列题目中，既没有直接提出问题，：本系列题目中，既没有直接提出问题，也没有间接提出问题，但题中所给的数量关系可以也没有间接提出问题，但题中所给的数量关系可以合乎逻辑地引申出问题目的是弄清学生是否能提合乎逻辑地引申出问题目的是弄清学生是否能提出问题，是否能发现题目中已知关系的逻辑依从性，出问题，是否能发现题目中已知关系的逻辑依从性，是否能理解这些关系的本质，以此来考查学生对数是否能理解这些关系的本质，以此来考查学生对数学题的心理知觉的某些特征学题的心理知觉的某些特征考查方法考查方法：由算术、代数、几何三套测验组成，学：由算术、代数、几何三套测验组成，学生拿到一张带题目的卡片之后就立即阅读并立即提生拿到一张带题目的卡片之后就立即阅读并立即提出问题。

主试要弄清被试的整个推理过程，并记下出问题主试要弄清被试的整个推理过程，并记下测验所用的时间测验所用的时间系列系列2：信息不完全的题目：信息不完全的题目考查目的考查目的：本系列题目中有些信息缺少了，看起：本系列题目中有些信息缺少了，看起来对所提的问题似乎不可能有正确答案，而当补来对所提的问题似乎不可能有正确答案，而当补充了信息以后，就能得到正确的答案目的是弄充了信息以后，就能得到正确的答案目的是弄清学生能否指出解题必需具备的条件，并注意到清学生能否指出解题必需具备的条件，并注意到丢失的信息，以此考查学生能否看出题目的形式丢失的信息，以此考查学生能否看出题目的形式结构考查方法考查方法：由算术和几何两套测验组成，当学生：由算术和几何两套测验组成，当学生肯定地回答不能解决问题时，要求他说明原因，肯定地回答不能解决问题时，要求他说明原因，并补上丢失的信息并补上丢失的信息系列系列3：有多余信息的题目：有多余信息的题目考查目的考查目的：本系列题目中插进了附加的、不必要：本系列题目中插进了附加的、不必要的信息，或者没有用的提示，以掩盖解题所需要的信息，或者没有用的提示，以掩盖解题所需要的论据，目的是弄清学生能否辨别解题所需要的的论据，目的是弄清学生能否辨别解题所需要的条件体系，以揭示他们头脑中理解数学题的一些条件体系，以揭示他们头脑中理解数学题的一些特点。

特点考查方法考查方法：一般用两组题：：一般用两组题：“总是缺少必要的条总是缺少必要的条件件”“都有多余的事实都有多余的事实”同时进行，可在学生学同时进行，可在学生学习了典型例题的一课、一周或一月之后进行，用习了典型例题的一课、一周或一月之后进行，用以考查学生是否记住了：以考查学生是否记住了：1）题目的类型；）题目的类型；2）特）特殊的事实；殊的事实；3）多余的信息多余的信息系列系列4：具有互相渗透因素的题目：具有互相渗透因素的题目 考查目的考查目的：研究学生分析：研究学生分析—综合知觉几何图形综合知觉几何图形的一些因素，特别是从不同观点辨别和确定几的一些因素，特别是从不同观点辨别和确定几何图形渗透成分的技能，从背景中区分出图形何图形渗透成分的技能，从背景中区分出图形和图形成分的技能，把一个成分包含在不同图和图形成分的技能，把一个成分包含在不同图形中，并给予恰当的不同解释的技能形中，并给予恰当的不同解释的技能考查方法考查方法：主要几何测验，其图形中有些要素：主要几何测验，其图形中有些要素是是“互相渗透的互相渗透的”，如看出棋盘中有多少个长，如看出棋盘中有多少个长方形 系列系列5：单一类型的题目体系：单一类型的题目体系考查目的考查目的：通过学生怎样从不同的题目中看出一般的类：通过学生怎样从不同的题目中看出一般的类型、如何从解决同一类型简单的题目到解决复杂的题目、型、如何从解决同一类型简单的题目到解决复杂的题目、以及他们怎样从外表类似的另一类型的题目中区分出这以及他们怎样从外表类似的另一类型的题目中区分出这一类型的题目，来考查他们的概括能力。

并通过分析学一类型的题目，来考查他们的概括能力并通过分析学生连续解一个类型的问题时的推理过程，来判断他们生连续解一个类型的问题时的推理过程，来判断他们“缩短缩短”推理的能力推理的能力考查方法考查方法：对不同层次的学生用两组不同难度的测验，：对不同层次的学生用两组不同难度的测验，每组测验由每组测验由8道题，由易到难体现了一个类型从容易到复道题，由易到难体现了一个类型从容易到复杂的杂的“阶梯式阶梯式”测试时，先做第测试时，先做第8题，不行就做第题，不行就做第1题，题，然后再做第然后再做第8题，不行再做第题，不行再做第2题，如此下去，只要求学题，如此下去，只要求学生回答解题的思路，而不必完整解题生回答解题的思路，而不必完整解题其它系列其它系列系列系列系列系列6 6：不同类型的题目体系：不同类型的题目体系：不同类型的题目体系：不同类型的题目体系系列系列系列系列7 7：从具体到抽象逐渐过渡的：从具体到抽象逐渐过渡的：从具体到抽象逐渐过渡的：从具体到抽象逐渐过渡的 题目体系题目体系题目体系题目体系系列系列系列系列8 8：按照特定的类型编题：按照特定的类型编题：按照特定的类型编题：按照特定的类型编题系列系列系列系列9 9：证明题：证明题：证明题：证明题系列系列系列系列1010：运用题目的各种条件列：运用题目的各种条件列：运用题目的各种条件列：运用题目的各种条件列 方程式方程式方程式方程式系列系列系列系列1111：不现实的题目：不现实的题目：不现实的题目：不现实的题目系列系列系列系列1212：形成人工概念：形成人工概念：形成人工概念：形成人工概念系列系列系列系列1313：有几种解法的题目：有几种解法的题目：有几种解法的题目：有几种解法的题目系列系列系列系列1414：变化内容的题目：变化内容的题目：变化内容的题目：变化内容的题目系列系列系列系列1515：重建一种运算的题目：重建一种运算的题目：重建一种运算的题目：重建一种运算的题目系列系列系列系列1616：暗示：暗示：暗示：暗示“ “自我限制自我限制自我限制自我限制” ”的题的题的题的题目目目目系列系列系列系列1717：正向和反向的题目：正向和反向的题目：正向和反向的题目：正向和反向的题目系列系列系列系列1818：启发（探索）性课题：启发（探索）性课题：启发（探索）性课题：启发（探索）性课题系列系列系列系列1919：关于理解和逻辑推理的题目：关于理解和逻辑推理的题目：关于理解和逻辑推理的题目：关于理解和逻辑推理的题目系列系列系列系列2020：系列题目：系列题目：系列题目：系列题目系列系列系列系列2121：数学诡辩题：数学诡辩题：数学诡辩题：数学诡辩题系列系列系列系列2222：项目难记的题目：项目难记的题目：项目难记的题目：项目难记的题目系列系列系列系列2323：在解答中具有不同程度直观：在解答中具有不同程度直观：在解答中具有不同程度直观：在解答中具有不同程度直观 性的题目性的题目性的题目性的题目系列系列系列系列2424：既有语言又有直观表达的题：既有语言又有直观表达的题：既有语言又有直观表达的题：既有语言又有直观表达的题系列系列系列系列2525：有关空间概念的题目：有关空间概念的题目：有关空间概念的题目：有关空间概念的题目系列系列系列系列2626：揭露非智力活动方面的直观：揭露非智力活动方面的直观：揭露非智力活动方面的直观：揭露非智力活动方面的直观 形象与语言逻辑成分之间关形象与语言逻辑成分之间关形象与语言逻辑成分之间关形象与语言逻辑成分之间关 系的题目系的题目系的题目系的题目（三）能力差异（三）能力差异克鲁切茨基坚决主张有所谓克鲁切茨基坚决主张有所谓“有数学头脑有数学头脑”——即倾即倾向于以数学方式来解释世界的人。

在数学禀赋好的学生身上向于以数学方式来解释世界的人在数学禀赋好的学生身上可以清楚地看到这一点他还提到，这种倾向甚至在人一生可以清楚地看到这一点他还提到，这种倾向甚至在人一生下来就可能有所表现他区分出三种数学头脑的基本类型：下来就可能有所表现他区分出三种数学头脑的基本类型：分析型（倾向以言语分析型（倾向以言语——逻辑的关系来思考）、几何型（倾逻辑的关系来思考）、几何型（倾向以视觉向以视觉——形象的关系来思考）和调和型（兼具前两种类形象的关系来思考）和调和型（兼具前两种类型的特征）型的特征） “能力问题也就是个别差异问题如果每个人在各方能力问题也就是个别差异问题如果每个人在各方面的发展和在从事任何活动上都有同样的能力，那么讨论能面的发展和在从事任何活动上都有同样的能力，那么讨论能力问题也就没有意义了我们谈论能力问题，就等于预先假力问题也就没有意义了我们谈论能力问题，就等于预先假定了人们之间有某些个别差异没有一个人在任何事情上都定了人们之间有某些个别差异没有一个人在任何事情上都是无能的，每个人都有最适宜从事某种活动的能力，不过，是无能的，每个人都有最适宜从事某种活动的能力，不过，同是从事一样的工作，也有能力水平上的差异。

同是从事一样的工作，也有能力水平上的差异 （（克鲁切茨基，克鲁切茨基，1984））1. 天才儿童的个案研究天才儿童的个案研究个案个案1：索尼娅：索尼娅（（（（2 2年级，年级，年级，年级，19501950年生于莫斯科，小传完成于年生于莫斯科，小传完成于年生于莫斯科，小传完成于年生于莫斯科，小传完成于1958-19591958-1959年）年）年）年） 她有一个她有一个7年级的哥哥，发育正常，没有表现出数学才年级的哥哥，发育正常，没有表现出数学才能，她的近亲中只有外祖母据说酷爱数学，但无据可查能，她的近亲中只有外祖母据说酷爱数学，但无据可查索尼娅个子矮小，动作缓慢，讲话从容（甚至是慢吞索尼娅个子矮小，动作缓慢，讲话从容（甚至是慢吞吞地），情感表达较差；除了算术成绩优良外，其它各门功吞地），情感表达较差；除了算术成绩优良外，其它各门功课学习正常，成绩一般写作很差，阅读也不流畅，不大喜课学习正常，成绩一般写作很差，阅读也不流畅，不大喜欢做作业她有高度集中的能力当她思想集中时，她不能欢做作业她有高度集中的能力当她思想集中时，她不能安静地坐着，而是走来走去，坐立不安，有时甚至会做出各安静地坐着，而是走来走去，坐立不安，有时甚至会做出各种反常的动作。

有一次，她竟在解答一道难题时，突然站起种反常的动作有一次，她竟在解答一道难题时，突然站起来跑到床上，像演员表演似地翻了一个筋斗又回来坐到椅子来跑到床上，像演员表演似地翻了一个筋斗又回来坐到椅子上但当她从事过于简单的事情时，会明显地表现出心不在上但当她从事过于简单的事情时，会明显地表现出心不在焉这就是为什么她常常焉这就是为什么她常常10以内的加法做错的原因以内的加法做错的原因在实验中，她用在实验中，她用60节课就学完了节课就学完了5-7年级的全部数学课程年级的全部数学课程15岁时成为莫斯科大学数学力学系的学生岁时成为莫斯科大学数学力学系的学生 心理特点心理特点推理和心理定向敏捷推理和心理定向敏捷这是索尼娅最显著的特征这是索尼娅最显著的特征之一通常她能以惊人的速度找到她所能理解的之一通常她能以惊人的速度找到她所能理解的一种解题方案可以说，她对数学材料有一种独一种解题方案可以说，她对数学材料有一种独特的分析和综合的特的分析和综合的“眼力眼力”，她能立刻找到一个，她能立刻找到一个解题方法或看出证明的逻辑解题方法或看出证明的逻辑心理特点（续）心理特点（续）逻辑推理，有系统、有顺序的思考力逻辑推理，有系统、有顺序的思考力。

这也是索这也是索尼娅最显著的特征之一她对定理的意义、求证尼娅最显著的特征之一她对定理的意义、求证的含义都理解得相当透彻她能很容易地从前提的含义都理解得相当透彻她能很容易地从前提得出结论，但并不简单地相信它她在论证上逻得出结论，但并不简单地相信它她在论证上逻辑严密，且有说服力她解答数学题都毫无例外辑严密，且有说服力她解答数学题都毫无例外地经过逻辑上的验证地经过逻辑上的验证解题分析解题分析1问题问题：一个牧人对另一个牧人说：：一个牧人对另一个牧人说：“你给我你给我8只羊，只羊，我们两人的羊数就相等了我们两人的羊数就相等了”另一个牧人回答说：另一个牧人回答说：“不，你给我不，你给我8只羊，我的羊就成了你的两倍只羊，我的羊就成了你的两倍索尼娅的解答索尼娅的解答“假如一个牧人给另一个牧人假如一个牧人给另一个牧人8只羊，他们两只羊，他们两个人的羊数就一样多，就是说，两者的差数个人的羊数就一样多，就是说，两者的差数是是16只羊另一方面，如果另一个人拿出了只羊另一方面，如果另一个人拿出了8只，他们的差数就成了只，他们的差数就成了32只，这样可以知道，只，这样可以知道，一个人比另一个人多两倍，或者说多一个人比另一个人多两倍，或者说多32只，只，就是说他们的羊数是就是说他们的羊数是32和和64。

他们交换之前他们交换之前的羊数是的羊数是40和和56她只用了她只用了40秒解题分析解题分析2例例2：索尼娅证明了三角形的内角和等于平角之后，应实验：索尼娅证明了三角形的内角和等于平角之后，应实验者的要求，很容易地又证明了四边形的内角之和等于两个者的要求，很容易地又证明了四边形的内角之和等于两个平角，及五边形的内角和等于平角，及五边形的内角和等于3个平角并画了图（图个平角并画了图（图1）然后，她想了想说：然后，她想了想说：“任何多边形都是如此：三角形的数任何多边形都是如此：三角形的数目永远比边的数目少目永远比边的数目少2所以，要求内角和，就必须从边数所以，要求内角和，就必须从边数中减中减2，再乘以，再乘以2d 2d2d2d2d2d心理特点（续）心理特点（续）思维的灵活性思维的灵活性索尼娅不受陈腐思想的束缚和索尼娅不受陈腐思想的束缚和一般解题方法的限制，她能很容易地从一种心一般解题方法的限制，她能很容易地从一种心理运算转为另一种运算，从一种解题方法转为理运算转为另一种运算，从一种解题方法转为另一种解题方法，而且通常能找出多种解法另一种解题方法，而且通常能找出多种解法 解题分析解题分析3例例3：小鸡和兔子在外面跑，一共有：小鸡和兔子在外面跑，一共有35个头，个头，94只只脚，问鸡兔各有多少？脚，问鸡兔各有多少？索尼娅的解答是索尼娅的解答是：：“如果全部是如果全部是35个头，那么鸡兔个头，那么鸡兔总共有总共有35只。

假如全是小鸡，就有只假如全是小鸡，就有70只脚，就是说只脚，就是说另外多出了另外多出了24只脚因为在院子里跑的除了小鸡外，只脚因为在院子里跑的除了小鸡外，还有兔子，每只兔子比小鸡多两只脚，这意味着有还有兔子，每只兔子比小鸡多两只脚，这意味着有12只兔子和只兔子和23只小鸡还可以这样做：一共有只小鸡还可以这样做：一共有94只只脚，假如全是小鸡，就有脚，假如全是小鸡，就有47只，但总共只有只，但总共只有35个头个头——少了少了12个头这12个头，每头应有个头，每头应有4只脚而不只脚而不是是2只脚所以是只脚所以是12只兔子和只兔子和23只小鸡 心理特点（续）心理特点（续）能自如地从正面的思维进程转到反面的思维进程能自如地从正面的思维进程转到反面的思维进程解答问题时推理的迅速简略和解答问题时推理的迅速简略和“压缩压缩”的倾向的倾向节约思考节约思考”的明显倾向的明显倾向索尼娅的一个显著特点是，索尼娅的一个显著特点是，力求找出一种最简便的解题方法，解答力求简单、明了力求找出一种最简便的解题方法，解答力求简单、明了对数学材料的迅速而牢固的记忆对数学材料的迅速而牢固的记忆虽然她对具体材料和虽然她对具体材料和数只有在解题的时候才记住，但对求证的基本过程、题数只有在解题的时候才记住，但对求证的基本过程、题目的类型和解题原则以及推理的基本模式却记得很牢。

目的类型和解题原则以及推理的基本模式却记得很牢对数学作用很少感到疲劳对数学作用很少感到疲劳此外，她特别倾向于在许多生活现象中寻找它在数学与此外，她特别倾向于在许多生活现象中寻找它在数学与逻辑学上的意义，并把它纳入逻辑与数学范畴的结构中逻辑学上的意义，并把它纳入逻辑与数学范畴的结构中来加以认识来加以认识 有关数学天才儿童的初步结论有关数学天才儿童的初步结论1.数学才能在童年早期就能形成，其中大部分是以计算能力的形式出现数学才能在童年早期就能形成，其中大部分是以计算能力的形式出现2.数学才能的早期形成并非总是跟环境与培养上的有利条件联系着的数学才能的早期形成并非总是跟环境与培养上的有利条件联系着的3.才能的早期发展是与算术兴趣的形成和乐于钻研的倾向分不开的这才能的早期发展是与算术兴趣的形成和乐于钻研的倾向分不开的这常常表现为不懈地努力计算、解题和自己编题，而这又和他们能够长常常表现为不懈地努力计算、解题和自己编题，而这又和他们能够长时间的紧张工作而不感疲劳有关时间的紧张工作而不感疲劳有关4.数学才能表现比较早的儿童，他们的心理活动具有下列特点：概括数数学才能表现比较早的儿童，他们的心理活动具有下列特点：概括数学材料的能力（能在表面上互不相同的，或者互不联系的事物中，看学材料的能力（能在表面上互不相同的，或者互不联系的事物中，看出存在一般性的能力）；心理过程的灵活性；力求找出最简洁明了的出存在一般性的能力）；心理过程的灵活性；力求找出最简洁明了的解题方法；对一般化的关系、推理的模式和解答典型问题的方法有良解题方法；对一般化的关系、推理的模式和解答典型问题的方法有良好的记忆力；推理过程的缩短和减少推理的个别环节；对周围环境有好的记忆力；推理过程的缩短和减少推理的个别环节；对周围环境有一个初级形式的一个初级形式的“数学数学”直觉直觉——许多事物或现象似乎都是透过数学许多事物或现象似乎都是透过数学关系的棱镜折射出来的。

关系的棱镜折射出来的5.有数学才能的儿童，在他们的童年的早期就可以看出，他们解题时，有数学才能的儿童，在他们的童年的早期就可以看出，他们解题时，对视觉对视觉—形象与言语形象与言语—逻辑这两种智力活动的成分的依赖程度是不同逻辑这两种智力活动的成分的依赖程度是不同的他们之间存在着类型上的差异他们之间存在着类型上的差异陶哲轩陶哲轩:一个华裔数学天才的传奇一个华裔数学天才的传奇20062006菲尔兹奖（数学界的诺贝菲尔兹奖（数学界的诺贝尔奖）的一个显著特点是，四尔奖）的一个显著特点是，四位获奖者中的两位，俄罗斯的位获奖者中的两位，俄罗斯的佩雷尔曼和澳大利亚的陶哲轩，佩雷尔曼和澳大利亚的陶哲轩，均为昔日奥数金牌得主相形均为昔日奥数金牌得主相形之下，中国虽然也有不少奥数之下，中国虽然也有不少奥数奖牌得主，却没有人能够取得奖牌得主，却没有人能够取得像他们那样的杰出成就，有些像他们那样的杰出成就，有些人甚至远离了数学这是一个人甚至远离了数学这是一个值得思考的问题值得思考的问题南方周末南方周末7 7岁开始自学微积分，岁开始自学微积分，8 8岁半升入中学，岁半升入中学，1212岁获得奥数金牌，岁获得奥数金牌，2020岁获得普林斯岁获得普林斯顿大学博士学位，顿大学博士学位，2424岁被洛杉矶加州大学聘为正教授，岁被洛杉矶加州大学聘为正教授，3131岁获得菲尔兹奖。

岁获得菲尔兹奖他就像莫扎特，数学是从他身体中流淌出来的他就像莫扎特，数学是从他身体中流淌出来的…………研究天才教育的新南威尔士大学教授米那卡研究天才教育的新南威尔士大学教授米那卡··格罗斯（格罗斯（MiracaMiraca Gross Gross））在陶在陶哲轩哲轩1111岁时出版的一篇论文中写道，陶哲轩的智力明显超过班上其他孩子，岁时出版的一篇论文中写道，陶哲轩的智力明显超过班上其他孩子，但他不知道怎么与那些比自己大两岁的孩子相处，而学校的老师面对这种状但他不知道怎么与那些比自己大两岁的孩子相处，而学校的老师面对这种状况也束手无策况也束手无策第第第第1111届数学资优生教育国际论坛（届数学资优生教育国际论坛（届数学资优生教育国际论坛（届数学资优生教育国际论坛（2006.4.6-8,2006.4.6-8,韩国）韩国）韩国）韩国）2. 好、中、差三类学生的差异性研究好、中、差三类学生的差异性研究•克鲁切茨基的研究：根据能力结构分析三类学生的差异•匈菲尔德的研究：专家—新手的对比分析•青浦实验：几何能力差异性研究一个假设：一个假设：典型例题典型例题新问题新问题化归（策略）差生差生优生优生中等生中等生IV. 高等数学思维研究高等数学思维研究英国沃瑞克大学（英国沃瑞克大学（Warwick University）） Modern Records CentreUniversity of Warwick LibraryCoventry CV4 7AL一、斯根普的工作一、斯根普的工作March 10, 1919 – June 22, 1995代表作代表作1.The Psychology of Learning Mathematics (1971)in several different versions2.Intelligence Learning and Action (1979)3.Mathematics in the Primary School4.Understanding Mathematics (a series of text-books for secondard school)5.Structured Activities in Intelligent Learning (a series for Primary School).6.Further information about these and other publications will appear shortly.1.Instrumental Understanding and Relational Understanding 2.The Silent Music of Mathematics 3.Theoretical Foundations of Problem-Solving: A Position Paper (1993) 著著作作论论文文对斯根普的工作的评价对斯根普的工作的评价 斯根普（Richard Skemp）可以称得上是数学教育心理学的先驱之一。

在2002年出版的一本纪念斯根普的著作中，作为主编的韬尔与托马斯（Michael Thomas）在序言中写道：“理查德•斯根普是数学教育中的独一无二的人物——他是广大教师和教育者的一个思想先知，他们从他的工作中获得了启示；他也是创建国际数学教育心理学协作组（International Group for the Psychology of Mathematics Education）的精神领袖 “他走进的是一片空地，留下的却是伟大的建筑他走进的是一片空地，留下的却是伟大的建筑 （（Sfard, 2002）） 工具性理解与关系性理解工具性理解与关系性理解 前者是指“只管公式，不管理由” ，而后者则“不仅知道要做什么，而且知道理由”  工具性数学的优点工具性数学的优点 1.工具性数学一般比较容易理解工具性数学一般比较容易理解有些课题，如两个负数相乘，或分数相除，很难从关系上去理解 “负负得正”以及“除以分数等于乘以这个分数的倒数”是很容易记住的规则，但不易解释其原因如果想要的是正确的答案，工具性数学可以快速而轻易的提供2.教学的效果立竿见影，而且更明显教学的效果立竿见影，而且更明显首先，学生如果能够迅速地得出正确的答案，当然是一件好事；其次，我们不能低估学生从中得到成功感受的重要性。

在调查中，斯根普经常听到学生说自己是“笨蛋”，老师也这样说这些学生这使他很难受，他觉得，对这些学生来说，最重要的是需要成功的体验来恢复自信心，而在工具性数学上，将比在关系性数学上更容易获得成功3.由于比起关系性数学来牵涉的知识较少，因此，由于比起关系性数学来牵涉的知识较少，因此，用工具性数用工具性数学思考，可以更快速而且可靠的得到正确答案学思考，可以更快速而且可靠的得到正确答案以至于一些数学家也常运用机械式数学思考关系性数学的优点关系性数学的优点 1.比较适应新的任务比较适应新的任务关系性理解不仅会知道那种方法有用而且知道为什么有用，能够把方法和问题加以关联，而且还可以调整方法来处理新问题而工具性理解则需要学生记住哪些问题可以用哪种方法来解而哪些问题不行，并且对不同的问题要学不同的方法2.比较容易记住比较容易记住理解概念间的相互关系让人能记得它们是整体的关联部份，就变得比较容易，而且能减少重新学习的时间3.关系性知识本身可以成为有效的目标关系性知识本身可以成为有效的目标这可以增加学生的学习动机，而减低对外界奖惩的需要水平4.关系性图式是一个高质量的有机体关系性图式是一个高质量的有机体。

关系性理解使人们不满足于对已有材料的理解，还会主动去找寻新的材料并探索新的领域理论的发展理论的发展在斯根普研究的基础上，他的学生赫斯科维斯(N. Herscovics)和维纳(S. Vinner)等人进一步的提出了工具性工具性、关系性关系性、直觉性直觉性和形式性理解形式性理解等模式，并进行了工具性理解与准工具性理解的差异性研究斯根普本人也在1982年将原来的两种理解模式扩充为工具性工具性、逻辑性逻辑性和符号性理解符号性理解三种不同的理解模式，还提出了“直觉与分析”是两种获得理解的主要智力活动 与其说他是一位研究者，不如说是一位实践者与其说他是一位研究者，不如说是一位实践者 斯根普不是一位多产的作家，他所公开发表的有关数学教斯根普不是一位多产的作家，他所公开发表的有关数学教育的文章只有三篇，但让他自豪的是这些论著的质量事实上，育的文章只有三篇，但让他自豪的是这些论著的质量事实上，他的那篇题为他的那篇题为“工具性理解与关系性理解工具性理解与关系性理解”的经典论文在正式的经典论文在正式发表之前已经经过了几年的演讲与修改他有两句经常挂在嘴发表之前已经经过了几年的演讲与修改他有两句经常挂在嘴边的名言：一句是边的名言：一句是“再好的理论也不如实践再好的理论也不如实践”；另一句是；另一句是“最最简单的理论才是最好的理论简单的理论才是最好的理论”，他认为，他认为“要把一件简单的事情要把一件简单的事情弄复杂并不难，难的是把复杂的事情弄简单弄复杂并不难，难的是把复杂的事情弄简单”（（Tall & Thomas, 2002）。

他的这两句名言很好地反映了他的学术态）他的这两句名言很好地反映了他的学术态度，同时也成为他的弟子们的座右铭度，同时也成为他的弟子们的座右铭 斯根普是一位演讲大师，许多人都从他的演讲中获得过灵斯根普是一位演讲大师，许多人都从他的演讲中获得过灵感二、二、David Tall等人的主要研究成果等人的主要研究成果http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/代表作代表作 截至到2005年，有他署名的各类著作与教材达35部，其中包括著名的《高等数学思维》（Tall, 1991）和《智力、学习与理解》（Tall & Thomas, 2002）；在各类学术期刊或国际会议（主要是PME）上发表论文近250篇；指导了近30名数学教育方向的博士生；编制了大量的计算机辅助教学软件更令人称奇的是，他还是一位造诣颇高的作曲家，发表了近30篇音乐方面的文章和曲谱 理论的形成理论的形成 人类三种最基本的认知活动是人类三种最基本的认知活动是“感知感知”、、“行动行动”与与“反思反思”，因此，有关学习的理论都离不开这些认知活动的研究因此，有关学习的理论都离不开这些认知活动的研究。

在数学学习心理领域也是如此，其中的一些研究者侧重于对在数学学习心理领域也是如此，其中的一些研究者侧重于对各种数学认知活动的特征或者过程的剖析（如斯根普的行为各种数学认知活动的特征或者过程的剖析（如斯根普的行为图式），还有一些则尝试把各种活动组合成一个特殊的序列，图式），还有一些则尝试把各种活动组合成一个特殊的序列，从而形成教学的模式（如杜宾斯基的从而形成教学的模式（如杜宾斯基的APOS理论，范希尔理理论，范希尔理论）论） 三种不同的数学认知（三种不同的数学认知（Tall, 1995）） 数学思维发展的一个基本框架数学思维发展的一个基本框架 认知根源认知根源认知根源（Cognitive Root）的概念最初是David Tall在一篇谈论“概念表象”、“一般组织者”及计算机辅助教学的文章中提出的，当时的定义是“一个学习者容易理解、又可以作为整个理论基础的抛锚式概念”上述说法后来经过了几次修改，特别是在提出“认知单元”的概念之后，David Tall开始把认知根源作为认知单元的一个特别类型，其基本特征是： Ø对某个学习序列的初学者来说是一个意义丰富的核心知识的认知单元；Ø可以在这个认知单元的基础上通过一些认知扩充策略得到初步的发展而不必进行认知的重构；Ø在后继的发展中具有长期的意义；Ø在发展更复杂的理解时仍具有重要的作用。

 过程与概念过程与概念         过程（process）与概念（concept）是学习理论中的两个基本概念，但在数学中，人们发现，同一个数学符号常常具有双重的意义：既可以作为过程，也可以作为概念（Gray & Tall, 1991; 1994; Sfard, 1989; 1991）例如，符号“3＋2”就可以同时看作为一个（加法）过程，与一个（和）的概念        为了把这种概念与其它概念区别开来，格雷（Eddie Gray）与韬尔各取了“process”（过程）和“concept”（概念）的一部分而造出了一个新词“procept”  具有过程与概念两重性的数学符号具有过程与概念两重性的数学符号 过程性概念的发展过程性概念的发展 数学中不同类型的过程与概念数学中不同类型的过程与概念 数数学学的的三三个个世世界界 需要进一步研究的问题需要进一步研究的问题 1.数学认知单元是如何数学认知单元是如何“压缩压缩”的？的？ 2.过程性概念的教学有什么特点？过程性概念的教学有什么特点？ 3.如何用如何用“三个世界三个世界”理论去分析数学概念的认知发展理论去分析数学概念的认知发展过程？过程？ 4.初等数学思维是如何向高等数学思维过渡的？初等数学思维是如何向高等数学思维过渡的？ 5.如何诊断学生的数学思维？如何诊断学生的数学思维？ 6.高等数学思维与高层次数学思维有什么联系与区别？高等数学思维与高层次数学思维有什么联系与区别？ 7.计算机对高等数学思维有什么影响？计算机对高等数学思维有什么影响？ V. ACT-R理论理论John R. Anderson Department of PsychologyCarnegie Mellon UniversityPittsburgh, PA 15213Telephone: (412) 268-2788Facsimile: (412) 268-2844E-Mail: ja+@cmu.edu 什么是什么是ACT-R理论？理论？ACT-R之所以被称为之所以被称为““学习与认知的简单理论学习与认知的简单理论”” ，，是因为它的一个基本观点是：复杂认知是由是因为它的一个基本观点是：复杂认知是由相对简单的知识单元（相对简单的知识单元（knowledge units））所所组成的，而这些知识单元则是通过相对简单的组成的，而这些知识单元则是通过相对简单的原理（原理（principles））而获得的。

人类的认知活而获得的人类的认知活动的复杂性表现在基本元素和原理的复杂组合动的复杂性表现在基本元素和原理的复杂组合上，就像计算机通过简单的（二进制）运算可上，就像计算机通过简单的（二进制）运算可以完成复杂的任务一样以完成复杂的任务一样 ACT-R的各种版本的各种版本PredecessorHAM(Anderson & Bower 1973)Theory versionsACT-E (Anderson, 1976)ACT* (Anderson, 1978)ACT-R(Anderson, 1993)ACT-R 4.0(Anderson & Lebiere, 1998)ImplementationsGRAPES(Sauers & Farrell, 1982)PUPS(Anderson & Thompson, 1989)ACT-R 2.0(Lebiere & Kushmerick, 1993)ACT-R 3.0ACT-R 4.0(Lebiere, 1998)ACT-R/PM (Byrne, 1998)ACT-R理论的理论的生理基生理基础础ACR-R理论实际上基于三个简单的二分法1.两类知识两类知识：关于事实的陈述性知识（：关于事实的陈述性知识（declarative knowledge）和关于如何完成各种认知活动的程序性）和关于如何完成各种认知活动的程序性知识（知识（procedural knowledge）；）；2.两个假设两个假设：关于：关于ACT-R如何运用已有知识去解决问题如何运用已有知识去解决问题的操作假设的操作假设(performance assumptions)和关于如和关于如何获得新知识的学习假设何获得新知识的学习假设 (learning assumptions)；；3.两个水平两个水平：有关离散知识结构的符号水平：有关离散知识结构的符号水平 (symbolic level)和有关神经系统激活过程的亚符号水平和有关神经系统激活过程的亚符号水平(sub-symbolic level)，这一水平决定符号结构的可用状态。

这一水平决定符号结构的可用状态两类知识 陈述性知识陈述性知识（（declarative knowledge）：是指那些人们）：是指那些人们知道并可以表达的真实信息在知道并可以表达的真实信息在ACT-R中，陈述性知识表征中，陈述性知识表征为一些小的原始知识单元的网路，称为信息块，例如，下面为一些小的原始知识单元的网路，称为信息块，例如，下面的图的图1表示由加法事实表示由加法事实“3+4=7”及一些相关事实组成的信息及一些相关事实组成的信息块（编码）块（编码）程序性知识程序性知识是指用于提取陈述性信息块的规则性单元，称为是指用于提取陈述性信息块的规则性单元，称为产生式（产生式（productions）一个产生式规则（）一个产生式规则（production rules）就是一个）就是一个“条件条件——反应反应”的单元，即针对特定的问的单元，即针对特定的问题解决条件采取特定的认知操作在产生式系统中，典型的题解决条件采取特定的认知操作在产生式系统中，典型的思维流程就是一系列的产生式被思维流程就是一系列的产生式被“触发触发”（在（在ACT-R理论中，理论中，用用“fire”来表示）的过程来表示）的过程。

陈述性知识的获得陈述性知识的获得陈述性信息块的获得有两条途径：陈述性信息块的获得有两条途径：–通过环境信息的编码；通过环境信息的编码；–对先前操作结果的储存对先前操作结果的储存 也就是说，也就是说，ACT-R认为，陈述性知识的获得不外乎是两种模式：认为，陈述性知识的获得不外乎是两种模式：一种是被动的、接受式的（源自环境的编码）；一种是主动的、一种是被动的、接受式的（源自环境的编码）；一种是主动的、建构式的（先前心理操作结果的储存）这两种模式都有优势建构式的（先前心理操作结果的储存）这两种模式都有优势与不足被动接受的优势是效率（与不足被动接受的优势是效率（efficiency））与准确性与准确性（（accuracy），），阅读阅读3+4的结果比计算更容易，而且也不会有算的结果比计算更容易，而且也不会有算错的危险但另一方面，通过练习获得的知识不仅储存了结果错的危险但另一方面，通过练习获得的知识不仅储存了结果目标，还附带储存了相关的策略，便于回忆失败时运用目标，还附带储存了相关的策略，便于回忆失败时运用 研究与思考研究与思考研究：研究：大量的实验表明，上述两种模式在记忆上并没有实质的大量的实验表明，上述两种模式在记忆上并没有实质的区别，实际上，自我探究知识的附带信息并不总是有的，即区别，实际上，自我探究知识的附带信息并不总是有的，即使有，也往往是难以捉摸的，只有当探究过程中产生了多种使有，也往往是难以捉摸的，只有当探究过程中产生了多种信息提取途径时，这种附带信息才是有用的，因此，自我探信息提取途径时，这种附带信息才是有用的，因此，自我探究的知识并没有什么神奇的特征。

究的知识并没有什么神奇的特征 在相同的条件下，我们在相同的条件下，我们当然选择通过自我探究的模式去获得知识，但实际上，由于当然选择通过自我探究的模式去获得知识，但实际上，由于自我探究的困难及误入歧途的危险，我们更主张把知识告诉自我探究的困难及误入歧途的危险，我们更主张把知识告诉学生 思考：思考：对学生错误的新认识：只有当学生的错误成为一个对学生错误的新认识：只有当学生的错误成为一个““教教学点学点””时，这个错误对他才是有益的，否则，学生的错误也时，这个错误对他才是有益的，否则，学生的错误也可能会积少成多，而成为一种习惯（老毛病），特别在大班可能会积少成多，而成为一种习惯（老毛病），特别在大班教学情况下，学生的错误并不总是能够及时纠正，因此，要教学情况下，学生的错误并不总是能够及时纠正，因此，要尽可能的少犯错误，较少的错误才会引起较多的关注尽可能的少犯错误，较少的错误才会引起较多的关注程序性知识的获得程序性知识的获得 在ACT-R理论中，产生式规则的获得主要依靠类比（analogy）的过程类比要发生作用有两个前提：有一个解决某个目标的情境，及一个解决类似目标的范例例如，在加法的产生式中，学习者首先必须有解决一个加法问题的意愿，同时，还需要一个已经获得的样例（如4+5）。

在这种情况下，ACT-R类比机制会从样例中抽象出原理，进而形成用于当前情境的产生式规则，新的产生式规则一旦形成，又可以用于其它的情境也就是说，按照ACT-R理论，程序性技能是在参照老问题去解决新问题的过程中获得的因此，这一理论实际上是“做中学”（learning by doing）和“范例学习”（learning by example）的理论 程序性知识获得的三个阶段程序性知识获得的三个阶段1.1.陈陈述述性性阶阶段段学学习习者者获获得得有有关关步步骤骤或或程程序序的的陈陈述述性性知知识识比比如如陈陈述述分分数数加加法法的的规规则则或或者者能能够够描描述述在在驾驾驶驶汽汽车车时时该该如如何何换换档档在在此此阶阶段段，，学学习习者者对对活活动动的的完完成成是是非非常常艰艰辛辛的的，，需需要要逐逐条条记记忆忆每每一一项项规规则则，，并并缓慢地操作每一步骤缓慢地操作每一步骤2.2.联联合合阶阶段段在在这这一一阶阶段段，，学学习习者者仍仍需需思思考考各各个个步步骤骤的的规规则则，，但但经经过过练练习习和和接接收收到到的的反反馈馈，，学学习习者者已已能能将将各各个个步步骤骤联联合合起起来来，，流流畅畅地地完完成有关的活动成有关的活动3.3.自自动动化化阶阶段段。

随随着着进进一一步步的的练练习习，，学学习习者者最最终终进进入入自自动动化化阶阶段段在在此此阶阶段段，，学学习习者者常常常常无无需需意意识识的的控控制制或或努努力力就就能能够够自自动动完完成成有有关关的的活活动动步步骤骤例例如如，，一一个个人人在在开开车车时时可可以以一一边边说说话话，，一一边边流流利利地地换换挡挡，，在在交交通通拥拥挤挤的的路路面面上上连连续续地地改改变变方方向向；；或或者者一一个个学学生生不不用用想想着着分分数数加加法法的的各各项项规规则则就就能能快快速速准准确确地地计计算算分分数数加加法法题题，，表表明明他他们们已已达达到到自动化阶段，即获得了有关的程序性知识或技能自动化阶段，即获得了有关的程序性知识或技能 安德森（安德森（J.Anderson,1990)和加涅和加涅(E.Gagne et al.,1993)从从双基看两类双基看两类知识知识ACT-R对知识对知识的分类的分类陈述性知识陈述性知识策略性知识策略性知识程序性知识程序性知识基础基础知识知识基本技能基本技能双基双基典型典型例题例题两个需要探讨的问题：两个需要探讨的问题：1.陈述性知识陈述性知识=基础知识？程序性知识基础知识？程序性知识=基本技能？基本技能？2.典型例题在双基教学中的作用是什么？典型例题在双基教学中的作用是什么？知识体系与经验系统四边形平行四边形矩形菱形正方形两组对边平行有一个直角并且一组邻边相等知识体系知识体系中点四边形原四边形对角线垂直且相等经验系统经验系统认知结构认知结构目标层级（goal stack） 目标层级的更新目标层级的更新聚焦聚焦G4G4G1跳出跳出G1G2初始状态初始状态G1嵌入嵌入G2G2嵌入嵌入G3G1G3结论结论1：：练习是掌握双基的必由之练习是掌握双基的必由之路路 ACT-RACT-R对对教教学学的的建建议议，，那那就就是是练练习习、、练练习习、、再再练练习习。

实实际际上上，，并并非非只只有有ACT-RACT-R一一家家““拍拍卖卖””这这个个主主张张，，大大量量的的研研究究都都表表明明，，高高层层次次的的能能力力只只能能通通过过高高强强度度的的练练习习特特别别地地，，研研究究表表明明，，学学生生花花在在数数学学上上的的时时间间与与他他们们的的数数学学能能力力有有很很高高的的相相关关性性许许多多国国际际比比较较研研究究也也都都表表明明，，美美国国学学生生数数学学表表现现糟糟糕糕的的一一个个重重要要原原因因是是他他们们花花在在数数学学上上的的时时间间远远远远不不如如亚亚洲洲的的学学生生（（Stigler Stigler and Perryand Perry，，19901990；；White, 1987White, 1987） Ericsson等人的研究表明，不同的练习的效果是不一样的，等人的研究表明，不同的练习的效果是不一样的，而只有所谓的而只有所谓的““精致的练习精致的练习””（（deliberate practice））才能导致才能导致真正的学习他们把真正的学习他们把““精致的练习精致的练习””界定为具有良好的动机、界定为具有良好的动机、接受有意义的反馈、及仔细的不断的指导与监督。

接受有意义的反馈、及仔细的不断的指导与监督 通过反复练习才能通过反复练习才能牢固牢固掌握技能掌握技能单纯拥有符号性知识并不等于能够成功地运用知识的运用还依赖一系列的激活程序Anderson and Fincham (1994) and Anderson, Fincham, and Douglass (in press)研究了产生式规则如何通过练习而逐渐生效的过程，他们发现，一个规则在练习了40次次左右后变得稳定和可靠 下面的公式描述了练习、遗忘和倍乘关系的指数律下面的公式描述了练习、遗忘和倍乘关系的指数律   表现表现 = = ANANc cT T-d-d （（表现方程）表现方程）其中，其中，N是练习的总量，是练习的总量，T是保持的时间间隔，两个因素是保持的时间间隔，两个因素的倍乘关系意味着增加练习可以弥补时间造成的记忆衰减的倍乘关系意味着增加练习可以弥补时间造成的记忆衰减（相关实验见（相关实验见Anderson, 1995a） 结论2：典型例题在双基教学中的作用：典型例题在双基教学中的作用–一是影响范例的选择在已有的产生式不能解决当前的问题时，ACT-R会搜寻先前的解决类似问题的范例。

显然，在这个过程中，当前的任务及先前范例的表征方式都会对选择哪个范例产生影响–二是范例的理解深度会影响到由类比而形成的产生式例如，在竖式减法中，8-3=5既可以理解为“上面的数字减去下面的数字”，也可以理解为“大的数字减去小的数字”只有前者才能形成正确的产生式上述两个因素都说明了样例在教学中的重要性Chi, Bassok, Lewis, Reimann, and Glaser等人（1989）的研究表明，一个好的学习者往往更关注样例，总是努力去理解样例范例对问题解决的影响：范例对问题解决的影响：结论结论3：：为什么熟能生巧为什么熟能生巧？？技能技能错误的错误的技能技能正确的正确的技能技能错误的错误的方法方法正确的正确的方法方法熟能生巧熟能生巧熟能生笨熟能生笨熟能生厌熟能生厌熟练熟练熟练熟练熟练熟练----ACT-R对对“熟能生巧熟能生巧”的解释的解释----“熟熟”能提高解题效率能提高解题效率 根据学习指数律学习指数律，一个特殊的技能是通过练习逐渐地、系统地改进的这一规律在许多实验中都得到了证实，见下面的图2（Neves & Anderson, 1981） 解题时间问题个数学生投入大量的时间才能保证所需要的产生式和信息块学生投入大量的时间才能保证所需要的产生式和信息块有足够的激活水平和强度。

有足够的激活水平和强度 “熟熟”有助于有助于掌握解题策略掌握解题策略选择策略时，有两个因素特别重要：选择策略时，有两个因素特别重要：1.1.实施策略所需要付出的努力，也就是说，最容易实施的策略实施策略所需要付出的努力，也就是说，最容易实施的策略也最容易被选取；也最容易被选取；2.2.策略的准确性，最精确的策略用得也最多这样往往就形成策略的准确性，最精确的策略用得也最多这样往往就形成一个循环：容易的、精确的策略有更多的练习机会，而随着一个循环：容易的、精确的策略有更多的练习机会，而随着不断的练习，这些策略又进一步提高了简易性与精确性例不断的练习，这些策略又进一步提高了简易性与精确性例如，记忆是最省事也是最精确的，因此，大多数人都倾向于如，记忆是最省事也是最精确的，因此，大多数人都倾向于运用记忆运用记忆Reder and Ritter (1992) 的研究也表明，大多的研究也表明，大多数成人在做两位数的乘法（如数成人在做两位数的乘法（如23 x 19））时，也倾向于运用记时，也倾向于运用记忆的乘法事实忆的乘法事实 思考：思考：策略选择问题所产生的一个重要的教学现象是：学生往往倾向于用自己的方法去解决问题，而不是采用课堂上所教的方法，因为后者是没有经过练习的，用起来较慢，也更容易出错。

MacLaren and Koedinger (1996) 的研究表明，在解决数学应用题时，学生更喜欢用试误的方法，而不是代数公式但问题是，这些试误的方法往往不能适用于复杂的问题，因此，他们不得不放弃这些方法，而重新去学习那些当初就应该学习的复杂的技能 “熟熟”是发展高层次能力的基是发展高层次能力的基础础在在ACT-RACT-R中中，，基基本本的的信信息息加加工工步步骤骤触触发发一一个个用用于于提提取取某某些些陈陈述述性性知知识识并并问问题题解解决决的的产产生生式式规规则则提提取取过过程程的的成成败败与与速速度度取取决决于于被被提提取取的的信信息息块块的的激激活活水水平平和和产产生生式式的的强强度度，，同同时时它它又又影影响响到到操操作作的的流流畅畅性性知知识识表表征征的的流流畅畅性性是是一一个个重重要的教育目标，其原因是：要的教育目标，其原因是：首先，在实际情境中，犯错和反应迟钝是不容许的；首先，在实际情境中，犯错和反应迟钝是不容许的；其次，高层次能力的发展需要基础能力的流畅性；其次，高层次能力的发展需要基础能力的流畅性；第三，流畅的表现可以强化学生的学习动机，增加自信心第三，流畅的表现可以强化学生的学习动机，增加自信心。

在在ACT-R中，有一些数学模型用来描述激活水平与强度如何中，有一些数学模型用来描述激活水平与强度如何影响表现的流畅性影响表现的流畅性 改进双基教学改进双基教学数学双基数学双基数学双基数学双基创造创造创造创造聚焦聚焦Big Ideas探究教学探究教学降低技巧降低技巧精致练习精致练习教育目标是关键教育目标是关键 ACT-RACT-R理理论论的的运运用用取取决决于于教教育育目目标标的的定定位位一一方方面面，，如如果果定定位位在在培培养养学学生生的的一一般般能能力力上上，，那那么么学学习习和和遗遗忘忘的的指指数数律律、、及及对对应应的的表表现现方方程程就就显显得得非非常常重重要要，，而而不不是是像像一一些些研研究究人人员员那那样样强强调调学学习习的的初初始始条条件件及及不不同同背背景景的的效效果果在在ACT-RACT-R理理论论中中，，控控制制背背景景j j与与信信息息块块i i之之间间的的相相关关强强度度S Sji ji的的因因素素并并不不重重要要，，因因为为我我们们不不能能总总是是指指望望特特殊殊的的元元素素j j会会一一定定出现在其他的背景中出现在其他的背景中 但另一方面，如果我们关注学生的但另一方面，如果我们关注学生的应试能力应试能力，那么先，那么先前的学习与记忆就是一个关键的因素，因为，这里的学习前的学习与记忆就是一个关键的因素，因为，这里的学习不必延续终身，或者迁移到广泛的背景。

在这种目标之下，不必延续终身，或者迁移到广泛的背景在这种目标之下，一些特殊的学习技能，如外语单词测试中的记忆术一些特殊的学习技能，如外语单词测试中的记忆术（（mnemonics））就显得非常有效（就显得非常有效（Atkinson & Raugh, 1975） VI. APOS理论理论Ed Dubinsky http://www.math.kent.edu/~edd/publications.htmlProfessor,  Georgia State University           1996-00 Visiting Professor,  Kent State University    2000- edd@mcs.kent.edu 数学是困难的，不管数学是困难的，不管用什么教学方法都无法改用什么教学方法都无法改变这个事实所以，在数变这个事实所以，在数学的学习上，我们必须抱学的学习上，我们必须抱持一种欣赏的心态来学习持一种欣赏的心态来学习数学，只有这样才能逐渐数学，只有这样才能逐渐发现数学的美发现数学的美 ED Dubinsky 简介简介 和和David Tall一样，一样，杜宾斯基（杜宾斯基（Ed Dubinsky）也是一）也是一位数学家，直到位数学家，直到80年代末期才开始从事数学教育的研究，而年代末期才开始从事数学教育的研究，而他的关于他的关于APOS的文章（的文章（Dubinsky, 1991）） 也最早出现在由也最早出现在由韬尔主编的韬尔主编的《《高等数学思维高等数学思维》》（（Tall, 1991）上。

上 按照杜宾斯基自己的说法，按照杜宾斯基自己的说法，APOS理论是对皮亚杰的反理论是对皮亚杰的反思性抽象（思性抽象（Reflective abstraction）的一种扩展其中的四）的一种扩展其中的四个字母分别表示理解数学概念（特别是抽象数学概念）的四个字母分别表示理解数学概念（特别是抽象数学概念）的四个阶段：个阶段：A—Action (活动活动)，，P—Process (过程过程)，，O—Object (对象对象)，，S—Schema（图式）大学数学教育研究小组（大学数学教育研究小组（RUMEC ））RUMEC研究的三个基本环节研究的三个基本环节：：•对某个特定数学概念的理论分析；对某个特定数学概念的理论分析；•在理论分析的基础上发展和应用一系列的教学设计（其在理论分析的基础上发展和应用一系列的教学设计（其中包括一些非标准的教学策略如合作学习、计算机辅助中包括一些非标准的教学策略如合作学习、计算机辅助教学等）；教学等）；•收集和分析测试的数据以便修改原先的理论分析和教学收集和分析测试的数据以便修改原先的理论分析和教学设计有关程序有关程序—对象两重性的理论对象两重性的理论 1.程序性概念（程序性概念（procept））2.APOS理论理论3.结构结构—操作性（操作性（structural-operational）理论。

理论在讨论数学概念的两重性时，上述三个理论基本类似例如，在讨论数学概念的两重性时，上述三个理论基本类似例如，程序性概程序性概念理论念理论同时把分数看作是程序和概念；在同时把分数看作是程序和概念；在结构结构—操作性理论操作性理论中，有中，有理数可以看作是一个结构理数可以看作是一个结构——数对，也可以看作是一种操作数对，也可以看作是一种操作——两两个整数相除个整数相除——的结果；而在的结果；而在APOS理论理论中，分数概念同样被区分中，分数概念同样被区分为为“程序程序”和和“对象对象”两种形式两种形式三个理论的差别主要反映在三个理论的差别主要反映在“程序程序”与与“对象对象”的关系上的关系上Tall对对“程程序序”和和“对象对象”是如何发展的，以及在发展过程中涉及什么数学思是如何发展的，以及在发展过程中涉及什么数学思想并没有特别的说明而想并没有特别的说明而APOS理论理论和和结构结构—操作性理论操作性理论则指出则指出“对象对象”概念一般起源于概念一般起源于“程序程序”概念：这中间有一个概念：这中间有一个“压缩压缩（（encapsulation））”或者或者“对象化（对象化（reification））”的过程。

根据的过程根据APOS理论，理论， “压缩过程的完成取决于个体能否在整体上把握一个压缩过程的完成取决于个体能否在整体上把握一个程序，把它作为一个整体进行变换，并有能力构造这种变换程序，把它作为一个整体进行变换，并有能力构造这种变换 而在结构结构—操作性理论中，操作性理论中，“对象化过程是一个从量变到质变的过程，对象化过程是一个从量变到质变的过程，在这个过程中，程序凝聚成对象，成为一种静态的结构在这个过程中，程序凝聚成对象，成为一种静态的结构 APOS理论模型理论模型行动行动对对 象象协调协调反演反演程序程序压缩压缩解压缩解压缩内化内化行动行动 “行动行动”是指个体通过一步一步的外显性是指个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象例如，个体一开始对例如，个体一开始对“左陪集左陪集”的的“行动行动”通常通常局限于一些具体的集合，如自然数局限于一些具体的集合，如自然数20的剩余类的剩余类Z20，他可以通过将，他可以通过将Z20中每个元素都乘以中每个元素都乘以4的方的方法得到一个子集法得到一个子集H={0,4,8,12,16}，然后写出，然后写出5的的左陪集左陪集5+H={1,5,9,13,17}，这个集合中的所有元，这个集合中的所有元素除以素除以4的余数均为的余数均为1。

行动的内化行动的内化 在在APOS理论中，理论中，行动的内化行动的内化（（interiorization））是数学课堂的一种是数学课堂的一种“日常活动日常活动”例如，在代数课程例如，在代数课程中，为了考察一个二次函数在某个区间上的单调性，中，为了考察一个二次函数在某个区间上的单调性，学生首先在一些特殊点上利用特定的规则（如函数表学生首先在一些特殊点上利用特定的规则（如函数表达式）的比较函数值的大小，这属于处于离散状态的达式）的比较函数值的大小，这属于处于离散状态的“行动行动”阶段上述阶段上述“行动行动”经过多次重复后，慢慢经过多次重复后，慢慢地就内化为一种心理结构，称为地就内化为一种心理结构，称为“程序程序”，它的功能，它的功能就是实施相应的就是实施相应的“行动行动”在“行动行动”阶段，学生只阶段，学生只能单个地计算函数值，再比较函数值的大小，而在能单个地计算函数值，再比较函数值的大小，而在“程序程序”阶段，学生则可以同时考虑多个函数值的大小阶段，学生则可以同时考虑多个函数值的大小关系及变化趋势关系及变化趋势 程序程序 当当“行动行动”经过多次重复而被个体熟悉后，就可以经过多次重复而被个体熟悉后，就可以内化为一种称之为内化为一种称之为“程序程序（（process））”的心理操作。

的心理操作有了这种有了这种“程序程序”，个体就可以想象这个，个体就可以想象这个“行动行动”，而，而不需要通过外部的刺激；他可以在头脑中实施这个程序不需要通过外部的刺激；他可以在头脑中实施这个程序，而不需要具体操作；进而，他还可以对这个程序进行，而不需要具体操作；进而，他还可以对这个程序进行逆转以及与其它程序进行组合例如，当上述例子中的逆转以及与其它程序进行组合例如，当上述例子中的集合变成四元置换集集合变成四元置换集S4，子集变成一个由正方形的，子集变成一个由正方形的8种种刚体变换所组成的集合刚体变换所组成的集合H时，类似上面的时，类似上面的“左陪集左陪集”的的“行动行动”就变得比较困难而当集合就变得比较困难而当集合S4变成集合变成集合Sn时，时，这种困难会进一步加大这时，关键的是个体必须把置这种困难会进一步加大这时，关键的是个体必须把置换换p的左陪集看作是的左陪集看作是p与集合与集合H中元素中元素h的乘积的乘积ph所产生所产生的集合这样，就得到了产生左陪集的的集合这样，就得到了产生左陪集的“程序程序” 压缩与解压缩压缩与解压缩 在学生多次运用在学生多次运用“程序程序”后，一旦他们对整个区间上的函数后，一旦他们对整个区间上的函数值随自变量变化的趋势有了整体的认识，我们就说，上述值随自变量变化的趋势有了整体的认识，我们就说，上述“程程序序”已经被已经被“压缩压缩（（encapsulation））”为一种为一种“对象对象”。

就就“压缩压缩”过程而言，有两点要注意：一是根据过程而言，有两点要注意：一是根据APOS理论，只有当理论，只有当个体主动地反复运用个体主动地反复运用“程序程序”去实施相应的去实施相应的“行动行动”时，时，“压压缩缩”过程才可能出现；二是在数学活动中，过程才可能出现；二是在数学活动中，“解压缩解压缩（（de-encapsulate））”的过程同样十分重要的过程同样十分重要 运用运用“压缩压缩”和和“解压缩解压缩”的过程去实施某个的过程去实施某个“行动行动”是数是数学思维的一个基本特点例如，在两个函数学思维的一个基本特点例如，在两个函数f和和g相加得到一个新相加得到一个新的函数的函数f + g的过程中，必须把原来的两个函数和结果函数都看的过程中，必须把原来的两个函数和结果函数都看作是作是“对象对象”，但在实际变换或者讨论函数的性质时又必须先，但在实际变换或者讨论函数的性质时又必须先把它们把它们“解压缩解压缩”为原先的为原先的“程序程序”而分别操作，然后再形成而分别操作，然后再形成新的新的“程序程序”在新的“程序程序”中，将涉及更多的其它数学概中，将涉及更多的其它数学概念，如原来两个函数的定义域与新函数的定义域的关系等，这念，如原来两个函数的定义域与新函数的定义域的关系等，这样，围绕这个样，围绕这个“对象对象”就逐渐形成了一个关联的认知结构，称就逐渐形成了一个关联的认知结构，称为为“图式图式”。

对象对象 当个体能够把当个体能够把“程序程序”作为一个整体进行操作，作为一个整体进行操作，这一程序就变成了一种心理这一程序就变成了一种心理“对象对象（（object））”例如，在上面的例子中，当个体能够计算某个特殊例如，在上面的例子中，当个体能够计算某个特殊集合的陪集数，能够比较两个陪集的势和等价性，集合的陪集数，能够比较两个陪集的势和等价性，或者能够对一个子集的所有陪集所组成的集合进行或者能够对一个子集的所有陪集所组成的集合进行二元运算时，就表示他已经把陪集当作了一个二元运算时，就表示他已经把陪集当作了一个“对对象象” 图式图式 一个数学概念的一个数学概念的“图式图式”是指由相应的是指由相应的“行动行动”、、“程程序序”、、“对象对象”以及与某些一般原理相联系的其它以及与某些一般原理相联系的其它“图式图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架，它可以用于解决与这所形成的一种个体头脑中的认知框架，它可以用于解决与这个概念相关的问题从这个意义上看，个概念相关的问题从这个意义上看，APOS理论中的理论中的“图图式式”有点类似于韬尔的有点类似于韬尔的“概念意象概念意象”（（Tall & Vinner, 1981）。

Piaget and Garcia (1989) 用用“三位一体三位一体（（triad））”的的概念来描述概念来描述图式图式的发展过程，其中包含三个发展阶段：的发展过程，其中包含三个发展阶段：Intra, Inter和和Trans在图式发展的在图式发展的“Intra”阶段，学习者一般只阶段，学习者一般只关注个别的、相互隔离的行动、程序和对象；在关注个别的、相互隔离的行动、程序和对象；在“Inter”阶阶段，学习者开始建构这些认知成分之间的关系与转换，他们段，学习者开始建构这些认知成分之间的关系与转换，他们有时会把一些相关的认知成分组合在一起而用一个统一的名有时会把一些相关的认知成分组合在一起而用一个统一的名称；到了称；到了“Trans”阶段，学习者侧重于在各种关系的基础上阶段，学习者侧重于在各种关系的基础上建立一个内隐或者外显的底层结构，使图式具有明确的外延建立一个内隐或者外显的底层结构，使图式具有明确的外延 APOS理论理论的应用的应用APOS理论有两个方面的作用：理论有两个方面的作用：1.提供有效的教学设计提供有效的教学设计例如，例如，Asiala et al. (1997) 和和 Repo (1996)都发现，利用都发现，利用APOS理论设计的微积分理论设计的微积分课程显著优于传统的课程。

课程显著优于传统的课程2.用于分析学生的理解用于分析学生的理解例如，例如，Santos and Thomas (2003)构建了一个微积分知识的表征框架，在这个框构建了一个微积分知识的表征框架，在这个框架中，他们把符号表征、图像表征和数表征进一步划架中，他们把符号表征、图像表征和数表征进一步划分为以下几个类型：程序定向的（分为以下几个类型：程序定向的（procedure-oriented）、过程定向的（）、过程定向的（process-oriented）、对）、对象定向的（象定向的（object-oriented）和概念定向的）和概念定向的（（concept-oriented） 结束语结束语 构建符合中国学生特点的数学学习理论！构建符合中国学生特点的数学学习理论！谢谢！谢谢！。