Matlab高等代数四.doc

怀化学院数学系 《高等代数》 省精品课程 实验报告四 Xie le ping 《Matlab→高等代数》 实验四学号： 姓名： 年级专业班级： 实验时间： 年 月 日 时— 时 实验地点： 实验教师：谢乐平实验四 内积与正交、化二次型为标准形一、实验目的1、了解Matlab中内积，长度的求法及正交性的判断；2、掌握Matlab中向量组的正交规范化及矩阵的相似对角化3、掌握Matlab中用正交线性替换化二次型为标准型 二、实验内容四、内积与正交、化二次型为标准形1、向量的内积和长度向量的内积：dot(x,y)或x'﹡y(x,y是列向量), 若dot(x,y)=0，则x和y正交例：>> clear>> a=[1 2 3];b=[1 0 -1]>> dot(a,b) %a,b的内积>> a*b' %a,b的内积说明：MATLAB中内积默认为两个向量的对应分量的乘积之和向量的长度 norm(x)或者sqrt（x'﹡x）(其中x是列向量)。

例如：>> A=[1 1 1]'>> b=norm(A) %向量A的长度>> c=sqrt(A'﹡A) %向量A的长度例：判断向量和是否正交.>> clear>> a=[2 -1 4]'>> b=[-4 -4 1]'>> c=dot(a,b) %求向量a，b的内积，说明：c =0，则a和b正交.2、向量组的正交规范化向量组的正交规范化命令为orth(A)，将矩阵A的列向量组正交规范化 B=orth(A), A和B的列向量等价，且B的列向量为两两正交的单位向量，满足B’*B=E，B'*B = eye(rank(A))为1的个数等于rank(A)的对角矩阵例：将矩阵的列向量组正交规范化>> A=[1 1;0 0;1 -1]>> B=sym(orth(A)) %将A的列向量组正交规范化，并以符号的形式输出>> dot(B(:,1),B(:,2)) %选B第1列与第2列作内积ans = 0，B第1列与第2列正交>> B'﹡B 3、实（对称）矩阵的对角化实对称矩阵的对角化：[P,D]= eig(A)，函数eig求出二次型矩阵A的特征值为对角元的对角矩阵D和特征向量作为列的正交矩阵P，如果A是二次型的矩阵，则求的D即为系数矩阵A的二次型的标准形的矩阵，矩阵P即为二次型的变换矩阵例：求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断能否对角化。

>> clear>> A=[-1 2 0;-2 3 0;3 0 2] %实矩阵A>> [v d]=eig(A) %求A的特征值与特征向量>> rank(v) %求特征向量为列的矩阵V的秩rank(v)=2，不可相似对角化例：求矩阵的特征值与特征向量 ，并将其对角化.  解法一：>>clear>> A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];>> d=eig(A) %求全部特征值所组成的向量>> [V,D]=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵>> inv(V)*A*V %验证A可对角化，且对角矩阵为D解法二：>> clear>> A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];>> p=poly(A) %矩阵A的特征多项式的向量表示形式>> roots(f) %矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值解法三：>> clear>> A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1]>> E=eye(3)>> syms x>> f=det(x*E-A) %矩阵A的特征多项式>> solve(f) %矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值为x1=5,x2=x3=-1%（1）当x1=5时，求解（x1*E—A）X=0，得基础解系>> syms y>> y=5>> B=y*E-A>> b1=sym(null(B)) %b1为（x1*E—A）X=0基础解系也是属于特征值5的特征向量在基下的坐标%（2）当x2=-1时，求解（x2*E—A）X=0，得基础解系>> y=-1>> B=y*E-A>> b2=sym(null(B)) %b1为（x2*E—A）X=0基础解系null(A)齐次线性方程组 A*Z=0的基础解系：>> b21=b2(:,1),b22=b2(:,2) %b21，b22是特征值-1的特征向量在基下的坐标>> T=[b1,b2] %所有特征向量在基下的坐标所组成的矩阵>> D=T^-1*A*T %将矩阵A对角化，得对角矩阵D 4、化二次型为标准形及正定性的判别例：正交线性替换化二次型为标准形.先写出二次型矩阵，再将其正交规范化。

>> clear>> A=[1 -2 0;-2 2 -2;0 -2 3]; %二次型矩阵A>> [V,D]=eig(A) %将矩阵A正交规范化>> V'﹡V %验证V是正交阵>> inv(V)*A*V %验证V^-1AV=D%下面写出二次型的标准形>> syms y1 y2 y3>> y=[y1,y2,y3]>> X=V*y' %作正交线性替换X=Vy>> f=y*D*y' %二次型的标准形，其中y1*conj(y1)为y1与其共轭的乘积5、相关调用函数的注释：P=Poly(A) 求A 的特征多项式roots(P ) 求多项式P的零点 orth(A) 求出矩阵A的列向量构成空间的一个规范正交基[V,D]=eig(A) A的特征值与特征向量，V为A的单位特征向量，D为A的特征值构成的对角矩阵 第 - 2 - 页 共 3 页。