二阶微分方程类型及其解法.pdf

二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求 解问题， 关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解 本节讨 论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法 先§§7.1 7.1 22dxyd ＋pdxdy ＋qy＝0 (7.1) 其中 p、q 是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任 意两个线性无关的特解 y1,y２ 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dxyd ，dxdy ， y 各乘以常数因子后相加等于零， 如果能找到一个函数 y，其22dxyd ，dxdy ，y 之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数 erxy＝erx(其中 r 为待定常数) 将 y＝erx， dxdy ＝rerx， 22dxyd ＝r2erx代入方程(7.1)得 r2erx＋prerx＋qerx＝0或 erx（r2＋pr＋q）＝0因为 erx≠0r2＋pr＋q＝0由此可见，若 r r2＋pr＋q＝0 (7.2)的根，那么 erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。

称(7.2)式为微分方程(7.1) 特征方程(7.2)是一个以 r 为未知函数的一元二次代数方程特征方程的两 个根 r１，r2，称为特征根，由代数知识，特征根 r1，r2有三种可能的情况，下面(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根 r１， r2， 此时 er１x， er2x是方程(7.1)因为 xrxr21ee ＝ex)rr (21所以 er1x，er2x为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1)y＝C1er1x＋C 2er2x(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根 r1＝r2，此时 p2－4q＝0，即 有 r1＝r2＝2p ，这样只能得到方程(7.1)的一个特解 y１＝er１x，因此，我们还要设法找出另一个满足12 yy ≠常数，的特解 y2，故12 yy 应是 x 的某个函数，设12 yy ＝u，其中 u＝u(x) y2＝uy1＝uer１x 对 y2 dxdy2 ＝dxdu er1x＋r １uer1x＝( dxdu ＋r1u)er1x222dxyd ＝(r2 １u＋2r1dxdu ＋22dxud )er1x将它们代入方程(7.1) (r2 1u＋２r1dxdu ＋22dxud )er1x＋p( dxdu ＋r1u)er1x＋quer1x＝0［22dxud ＋(2r1＋p) dxdu ＋(r２ １＋pr1＋q)u］er1x＝0因为 er1x≠0， 且因 r 1是特征方程的根， 故有 r２ １＋pr１＋q＝0， 又因 r1＝－2p故有 2r1＋p＝0 22dxud ＝0 显然满足22dxud ＝0 u(x)＝x 则 y2＝xerx是方程(7.1)的另一个特解，且 y1，y2是两个线性无关的函数， 所以方程(7.1) y＝C1er1x＋C 2xer1x＝(C 1＋C2x)er1x(3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根 r1＝α＋iβ，r2＝α－i 此时方程(7.1) y1＝e(α＋iβ)xy2＝e（α－iβ）xy＝C1e（α＋iβ）x＋C 2e（α－iβ）x其中 C1，C2为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。

在实际eix＝cosx＋isinx，e－ix＝cosx－isinx有 21(eix＋e－ix)＝cosxi 21(eix－e－ix)＝sinx21(y1＋y２)＝21 eαx(eiβx＋e－iβx)＝eαxcosβxi 21(y1－y2)＝i 21 eαx(eiβx－e－iβx)＝eαxsinβx由上节定理一知，21(y1＋y2)，i 21(y1－y2)是方程(7.1)的两个特解，也即eαxcosβx，eαxsinβx 是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.1) y＝C1eαxcosβx＋C 2eαxsinβx或 y＝eαx(C 1cosβx＋C2sinβx) 其中 C1，C2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分 别是特征方程(7.2)复数根的实 综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须先求出其特征方 程(7.2) 特征方程 r2＋pr＋q＝0 的根 微分方程22dxyd ＋pdxdy ＋qy＝0 的通解 有二个不相等的实根 r1，r2 y＝C1er1x＋C 2er2x 有二重根 r1＝r2 y＝(C1＋C2x)er1x 有一对共轭复根irir21y＝eαx(C 1cosβx＋C2sinβx) 例 1. (1) 22dxyd ＋3dxdy －１０y＝0 (2) 22dxyd －4dxdy ＋4y＝0 (3) 22dxyd ＋4dxdy ＋7y＝0 解 (1)特征方程 r2＋3r－10＝0r1＝－5，r2＝2 所求方程的通解 y＝C1e －5rC2e2x (2)特征方程 r2－4r＋4＝0r1＝r2＝2 所求方程的通解 y＝(C1＋C2x)e2x (3)特征方程 r2＋4r＋7＝0r1＝－2＋3i r2＝－2－3i 所求方程的通解 y＝e－2x(C 1cos3x＋C2sin3x) §§7.2 7.2 22dxyd ＋pdxdy ＋qy＝f(x) (7.3) 的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而 后 相加就得到非齐次方程的通解， 而且对应的齐次方程的通解的解法， 前面已经解 决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3) 方程(7.3)的特解形式，与方程右边的 f(x)有关，这里只就 f(x)的两种常见一、f(x)＝pn(x)eαxpn(x)是 n 次多项式，我们先讨论当α＝0 时，即当f(x)＝pn（x 22dxyd ＋pdxdy ＋qy＝pn(x) (7.4) (1)如果 q≠0，我们总可以求得一 n 次多项式满足此方程，事实上，可设特~ y＝Qn(x)＝a0xn＋a 1xn－1＋…＋a na0，a1，…an是待定常数，将~ y及其导数代入方程(7.4)，得方程左右两边都是 n 次多项式，比较两边 x 的同次幂 系数，就可确定常数 a0，a1，…an 例 1. 求22dxyd ＋dxdy ＋2y＝x2－3解 自由项 f(x)＝x2－3 是一个二次多项式，又 q＝2≠0，则可设方程的特~ y＝a0x2＋a 1x＋a2 求导数 ~ ' y＝2a0x＋a1 ~ “y＝2a0 代入方程有 2a0x2＋(2a 0＋2a1)x＋ （2a0＋a1＋2a２） ＝x2－33a2aa20a2a21a2210100解得 47a21a21a210所以特解~ y＝21 x2－ 21 x－47(2)如果 q＝0，而 p≠0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时~ y＝Qn(x)不能满足方程，但它可以被一个(n＋1)次多项式所满足，此时我们可设~ y＝xQn(x)＝a0xn＋1＋a 1xn＋…＋a nx 代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常数 a0，a1，…an 例 2. 求方程22dxyd ＋4dxdy ＝3x2＋2解 自由项 f(x)＝3x2＋2 是一个二次多项式，又 q＝0，p＝４≠0，故设特解 ~ y＝a0x3＋a 1x2＋a 2x 求导数 ~ ' y＝3a0x 2＋2a 1x＋a2 ~ “y＝6a0x＋2a1 12a0x2＋（8a 1＋6a0）x＋（２a1＋4a2）＝3x2＋2，比较两边同次幂的系数 2a4a20a6a83a1221010解得 3219a163a41a210所求方程的特解 ~ y＝41 x3－ 163 x2＋ 3219 x (3)如果 p＝0，q＝0，则方程变为22dxyd ＝pn(x)，此时特解是一个(n＋2)次~ y＝x2Q n(x) 下面讨论当α≠0 时，即当 f(x)＝pn(x)eαx22dxyd ＋pdxdy ＋qy＝pn(x)eαx (7.5)的一个特解的求法，方程(7.5)与方程(7.4)相比，只是其自由项中多了一个 指数函数因子 eαx，如果能通过变量代换将因子 eαx去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，问题即可解决，为此设 y＝ueαx，其中 u＝u(x)是待定函数，对 y＝ueαxdxdy ＝eαx dxdu ＋αueαx求二阶导数 22dxyd ＝eαx 22dxud ＋2αeαx dxdu ＋α2ueαx代入方程(7.5) eαx［ 22dxud ＋2αdxdu ＋α2u］＋peαx［ dxdu ＋αu］＋queαx＝p n(x)eαx消去 eαx22dxud ＋(2α＋p) dxdu ＋(α2＋pα＋q)u＝p n（x） (7.6) 由于(7.6)式与(7.4)形式一致，于是按(7.4) (1)如果α2＋pα＋q≠0， 即α不是特征方程r2＋pr＋q＝0的根， 则可设(7.6)的特解 u＝Ｑn(x)，从而可设(7.5) ~ y＝Qn(x)eαx(2)如果α2＋pα＋q＝0，而２α＋p≠0，即α是特征方程 r2＋pr＋q＝0 的单根，则可设(7.6)的特解 u＝xQn(x)，从而可设(7.5) ~ y＝xQn(x)e αx (3)如果 r2＋pα＋q＝0，且２α＋p＝0，此时α是特征方程 r2＋pr＋q＝0的重根，则可设(7.6)的特解 u＝x2Q n(x)，从而可设(7.5) ~ y＝x2Q n(x)e αx 例 3. (1)22dxyd ＋5dxdy ＋6y＝e3x (2) 22dxyd ＋5dxdy ＋6y＝3xe －2x (3) 22dxyd ＋αdxdy ＋y＝－(3x2＋1)e －x解 (1)因α＝3 不是特征方程 r2＋5r＋6＝0 的根，故方程具有形如 ~ y＝a0e3x (2)因α＝－2 是特征方程 r2＋5r＋6＝0~ y＝x(a0x＋a1)e －2x (3)因α＝－1 是特征方程 r2＋2r＋1＝0~ y＝x2(a 0x2＋a 1x＋a２)e －x 例 4. 求方程22dxyd ＋y＝(x－2)e3x解 特征方程 r２＋1＝0特征根 r＝±i 得，对应的齐次方程22dxyd ＋y＝0 Y＝C1cosx＋C２sinx 由于α＝3 不是特征方程的根，又 pn(x)＝x－2 为一次多项式，令原方程的特解~ y＝(a0x＋a1)e3x 此时 u＝a0x＋a1，α＝3，p＝0，q＝1，求 u 关于 x 的导数dxdu ＝a0，22dxud ＝0 22dxud ＋(２α＋p) dxdu ＋(α2＋αp＋q)u＝(x－2)10a0x＋10a1＋6a0＝x－2 比较两边 x  2a6a101a10010解得 a0＝101 ，a1＝－5013~ y＝(101 x－5013 )e3x所以原方程的通解是 y＝Y＋~ y＝C1cosx＋C2sinx＋（101 x－5013 ）e3x例 5. 求方程22dxyd －2dxdy －3y＝(x２＋1)e－x解 特征方程 r2－2r－3＝0特征根 r1＝－1，r2＝3 所以原方程对应的齐次方程22dxyd －2dxdy －3y＝0 的通解 Y＝C1e－x＋C 2e3x,由于α＝－1 是特征方程的单根，又 pn(x)＝x2＋1 为二次多项式，令原方程的特解~ y＝x(a0x2＋a 1x＋a2)e－x此时 u＝a0x3＋a 1x2＋a 2x，α＝－1，p＝－2，q＝－3 对。