2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷（含解析）.docx

第 1 页，共 16 页 2023-2024 学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.在 中，内角，的对边分别为，已知=5，=2，=3，则=()A.2 6 B.39 C.29 D.19 2.已知向量 =(2,0)，=(1,1)，则下列结论正确的是()A.=3 B./C.(+)D.|=|3.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若角的终边绕着原点按顺时针方向旋转4后经过点(1,2)，则=()A.3 B.13 C.13 D.3 4.若向量，满足|=4，|=3，且(2 3)(2 +)=53，则 在上的投影向量为()A.43 B.43 C.34 D.49 5.在 中，为边上一点，=6，=3，=45，则sin的值为()A.2+33 B.1+24 C.1+74 D.34 6.化简 3220 220所得的结果是()A.14 B.12 C.32 D.2 7.如图，在 中，点是边上一点，点是边的中点，与交于点，有下列四个说法：甲：=2；乙：=3；丙：=1：3；丁：2+=3；若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8.在 中内角，的对边分别为，设 的面积为，若2=3(+)，则下列命题中错误的是()第 2 页，共 16 页 A.若=6，且=7，则有两解 B.若=2，且 为锐角三角形，则的取值范围为(6 2,6 3)C.若=2，且=2，则 的外接圆半径为2 3 D.若=2，则的最大值为6 3 二、多选题：本题共 3 小题，共 15 分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.在 中，内角，的对边分别为，下列命题中正确的是()A.若 ，则 B.若 为锐角三角形，则 C.若=，则 一定是等腰直角三角形 D.若=60，2=，则 一定是等边三角形 10.在 中，内角，的对边分别为，.下列条件能推出=3的是()A.=+2 B.+2=C.|=|=1，且|+|=33 D.|=|=1，设向量=2，=+，在 上的投影向量为2 11.在 中，内角，的对边分别为，点，分别是 的重心，垂心，外心.若：=2：3：5，则以下说法正确的是()A.2：2：2=16：21：25 B.2：2：2=12：7：3 C.：=8：7：5 D.2：2：2=15：12：10 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12.在 中，点是边上(不包含端点)的动点，若实数，满足=+，则1+3的最小值为_ 13.如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，测得的长为12千米，在点处测得=75，=120，在点处测得=30，=45.则，两点间的距离为_千米.(设，四点在同一平面 第 3 页，共 16 页 内)14.设，为实数，已知+=23，+=13，则sin()的值为_ 四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题12分)已知函数()=sin2+2 3 cos2(1)若 0,2，求()的取值范围；(2)设为实数，若(2)=12，求(+6)的值 16.(本小题12分)在以下三个条件中任选一个补充到下面的横线上，并给出解答.(注：如果选择多个条件份分别进行解答，则按第一个解答计分)2 =2；sin(+6)=+12；向量 =(+,)，=(,)，在 中，内角，的对边分别为，且_(1)求；(2)若=3，求 周长的最大值 17.(本小题12分)已知1，2为单位向量，设向量 =1+2，=31+2(1)若 =2，求 与 +的夹角；(2)若|21 2|2，设向量，的夹角为，求cos2的最小值 18.(本小题12分)在扇形中，圆心角=23，半径=10，点在弧上(不包括端点)，设=(1)求四边形的面积关于的函数解析式；(2)求四边形的面积的取值范围；(3)托勒密所著天文学第一卷中载有弦表，并且讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：在圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.先分别段，上取点，使得 为等边三角形，求 面积的最小值 第 4 页，共 16 页 19.(本小题12分)在 中，内角，的对边分别为，cos()=1+，的面积为 3(1)求；(2)若点在 内部，满足=23，求2 的值；(3)若 所在平面内的点满足=12=3，求(+)的值 第 5 页，共 16 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】【解析】解：=5，=2，=3，则2=2+2 2 =25+4 2 5 2 12=19，解得=19 故选：根据已知条件，结合余弦定理，即可求解 本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题 2.【答案】【解析】解：=(2,0)，=(1,1)，=2，选项错误；2 (1)0 (1)0，与不平行，选项错误；(+)=(1,1)(1,1)=1+1=0，(+)，选项正确；|=2，|=2，选项错误 故选：根据向量的坐标运算，针对各个选项分别求解即可 本题考查向量的坐标运算，属基础题 3.【答案】【解析】解：设旋转后的角为，则=4，=2，所以=tan(+4)=2+1121=3 故选：设旋转后的角为，则=4，再根据三角函数的定义求出，再根据两角和的正切公式即可得解 本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题 4.【答案】【解析】解：(2 3)(2 +)=53，则4 2 4 62=64 4 3 32=53，解得 =4，故 在上的投影向量为：|2=49 第 6 页，共 16 页 故选：先求出 =4，再结合投影向量的公式，即可求解 本题主要考查投影向量的公式，属于基础题 5.【答案】【解析】解：因为 中，为边上一点，=6，=3，=45，由正弦定理得，3sin=645，所以sin=24，因为 ，所以 45，所以cos=144，则sin=sin(+45)=22(24+144)=1+74 故选：由已知结合正弦定理先求出sin，然后结合同角平方关系求出cos，再由三角形外角及诱导公式，两角和的正弦公式展开可求 本题主要考查了正弦定理，同角平方关系，两角和的正弦公式的应用，属于中档题 6.【答案】【解析】解：3220 220=322020 220=320220 220=32042020220=320240220=3202(6020)220=3202(32201220)220=20220=12 故选：由已知利用三角函数恒等变换的应用即可计算求解 本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，属于基础题 7.【答案】【解析】解：若=2，则点是 的重心，则有=2，所以甲乙中必有一个是错误的，所以丙丁正确，由丁：2+=3知，2()=，即2=，此时点不是边的中点，所以甲说法错误 故选：第 7 页，共 16 页 结合三角形重心性质及向量线性运算进行合情推理即可判断 本题考查了三角形重心性质及向量线性运算，属于基础题 8.【答案】【解析】解：若2=3(+)=6(+)=12，由=12=122 2 =22，可知42=12，即=3，从而=2=6 若=6，则2=2 =2=22(+)=22(+)=3(+)，从而条件等价于=6 对于，若=6，且=7，由余弦定理得2=2+2 2，即36=49+2 7 3，解得=7 3+952或7 3 952，由于当三角形的三边确定后，三角形唯一确定，故 只有两种可能 经验证，的以下两种情况都是可能的：=6，=7，=7 3+952，=32，=9512，=7 28524；=6，=7，=7 3 952，=32，=9512,=7+28524，故 B 有两种可能，选项 A正确；对于，若=2，且 为锐角三角形，由于=2=2=12，而 为锐角三角形即2 2，=3 2，解得6 4，从而的范围是(6,4)，故=12的范围是(6 2,6 3)，选项 B正确；对于，若=2，且=2，则=2，且=2=2=2+22，故2=2+2 3，从而2()=(+)()而=2 ，故2=(+)=(2+)=32，从而=3=2 3，=2=4 3，这意味着=6，=4 3，=2 3，所以2+2=12+36=48=2，从而=2，故=12=2 3，选项 C 正确；对于，若=2，由于2 5 6 2 5+20=4 5，故存在使得=6，=4 5，=2 5的，此时=6，=2，满足条件 第 8 页，共 16 页 在此情况下，有=2+222=80+203680=6480=45，故=35，从而=12=12 4 5 2 5 35=12=6 2 6 3，从而此时 6 3，这表明不可能以6 3为最大值，选项 D错误 故选：首先证明题干中的条件等价于=6，然后逐个选项判断：对于，直接解出两种可能的情况即可判断选项正确；对于，用正弦定理证明=12，然后求的范围即可判断选项正确；对于，求出 的三边，然后说明是直角，从而得到=12，即可判断选项正确；对于，直接给出使得 6 3的一个满足条件的例子，即可说明选项错误 本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题 9.【答案】【解析】解：对于，中，若 ，则 ，即2 2(为 外接圆的半径)，可得 ，故 A项正确；对于，若 是锐角三角形，则+=2，可得0 2 ，即 ，故 B项正确；对于，若=，则=，可得2=2，而、是三角形的内角，故2=2或2+2=，即=或+=2，所以 是等腰三角形或直角三角形，故 C 项不正确；对于，由=60，2=，根据余弦定理得2=2+2 260=，整理得()2=0，所以 =0，=，结合=60可知 是等边三角形，故 D 项正确 故选：根据三角形中“大角对大边”，结合正弦定理加以判断，可得项的正误；利用锐角三角形的性质与余弦函数的单调性，判断出项的正误；利用正弦定理化简=，得到 是等腰三角形或直角三角形，从而判断出项的正误；根据=60，2=，利用余弦定理证出=，从而判断出 是等边三角形，可得项的正误 本题主要考查正弦定理和余弦定理、三角恒等变换公式及其应用、余弦函数的性质等知识，属于中档题 10.【答案】第 9 页，共 16 页 【解析】解：对于，由=+2，得=+12，结合=sin(+)=+，化简得+12=0，因为 0，所以+12=0，可得=12，结合为三角形内角，可知=23，故 A 项不正确 对于，由+2=，得(22)=，因为 0，所以sin(22)=，结合为三角形内角，可知22=或22+=，当22=时，解得=3；当22+=时，解得=，不符合题意，舍去 因此，若+2=，则=3，故 B项正确；对于，若|+|=33，则|+|=3|，可得(+)2=3()2，整理得|2 4+|2=0，结合|=|=1，解得=12，所以=|=12，可得=3，故 C 项正确；对于，向量 在向量 上的投影向量为|=2，可得|2=12，结合=2，=+，得(2)(+)(+)2=12，化简得2=2，恒成立，因此，由向量 在向量 上的投影向量为2不能推出=3，故 D项不正确 故选：根据正弦定理化简=+2，结合两角和的正弦公式算出=12，可判断出项的正误；根据正弦定理化简+2=，推导出sin(22)=，由此算出角的大小，可判断出项的正误；根据平面向量数量积的定义与运算性质，化简|+|=33得到=12，可判断出项的正误；根据向量投影的定义，化简所给条件得到2=2，从而判断出项的正误 本题主要考查正弦定理及其应用、三角恒等变换公式、平面向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题 11.【答案】【解析】解：设=2，=3，=5，由=+1=2+3621=5，解得=33，第 10 页，共 16 页 即=2 33,=3,=5 35，可求得=2 7,=32,=52 7，所以2：2：2=47：34：2528=16：21：25，故 A正确；不妨取=4,=21,=5，由外心性质可知，中面积比等价于：=2：2：2=4 37：32：5 314=8：7：5，故 C正确；设外心到边的距离为，由三角形中的欧拉线定理知三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离。