
圆的切线证明的常用方法与技巧.docx
5页圆的切线证明的常用方法与技巧 胡玉华摘 要:圆与生活息息相关,太阳从海平面升起,把海平面看成一条直线包含了圆与直线的三种关系,相交、相切、相离而切线是当中最特殊的,因为只有一个交点,如地面与自行车轮胎等都是相切的实际情况,圆的切线证明方法很多,就如何证明圆的切线谈谈方法技巧Key:圆;切线;垂直;半径证明一条直线是圆的切线除通过交点个数判断外,通常还有两种情况:(1)未已知切点,用作垂直,证半径的方法2)已知切点,连半径,证垂直下面具体说说这两种方法的应用一、利用定义来证明当题目中未出现直线与圆的交点(即切点未出现)时,我们需要过圆心作直线的垂线段,再利用定义,到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线,证明这条直线是圆的切线例如:利用角平分线性质证明例1.如图1,△ABC中AB=AC,D是BC边的中点,以点D为圆心的圆于AB相切于点E,求证:AC与⊙D相切分析:本题中,AC与圆的交点未告知,即不知道切点,所以需要作垂直,通过角平分线性质证明d=r,得出AC是⊙D的切线证明:连AD,DE,过D作DF⊥AC∵AB=AC,BD=CD ∴∠BAD=∠CAD∵AB与圆相切于点E ∴DE⊥AB∵DF⊥AC∴DE=DF ∴DF是圆的半径,又DF⊥AC ∴AC是圆的切线二、运用切线的判定定理证明1.利用角度转化证垂直利用角度转化,得到角+角=90°例2.已知:△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF。
1)如图2,AB为直径,要使EF为⊙O的切线,还需添加的条件是什么(只需写出三种情况)?(2)如图3,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是⊙O的切线分析:第一问是证明切线的最简单情况,已经连接半径,直接证明垂直即可第二问在第一问的基础上迁移,首先还是要想到连半径证垂直,进而利用同弧所对圆周角相等进行转化,进而证明垂直解:(1)①BA⊥EF;②∠CAE=∠B;③∠BAF=90°(2)连接AO并延长交⊙O于点D,连接CD,则AD为⊙O的直径,∴∠D+∠DAC=90°∵∠D与∠B同对弧AC,∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°∴EF是⊙O的切线2.利用全等证垂直例3.如图4,AB是⊙O的直径,BC⊥AB于B点,连接OC,交⊙O于点E,弦AD//OC,求证:CD是⊙O的切线分析:要证CD为切线,就要证明∠ODC=90°,即要证明两个三角形全等证明:(1)由AD//OC,得∠1=∠2弧BD所对应圆心角和圆周角:∠BOD=2∠1而∠BOD=∠2+∠3=∠1+∠3,则∠2=∠3又OB=OD=半径,OC是公共边,所以△COB≌△COD以及BC⊥AB,所以∠ODC=∠OBC=90°即CD⊥DO于D,即CD是圆O的切线。
总之,几何证明题目千变万化,关键是掌握方法,灵活做出辅助线,合理利用判定定理,掌握好方法技巧,才能以不变应万变,对圆的切线加以判定Reference:[1]曹文喜.圆的切线的证明[J].考试,2004(12).[2]王晓峰.巧构圆解题[J].数学月刊,2005(12).编辑 孙玲娟 新课程·教师2016年10期新课程·教师的其它文章试论高中英语教学中互动教学模式的运用高中英语阅读教学中支架式教学模式的应用探究式学习模式在高中物理教学中的应用浅析高中物理自主创新教学研究论学生合作性学习的培养实施高中化学生活化教学的有效途径 -全文完-。












