二节坐标曲线积分.ppt

高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一一 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.变力沿曲线所作的功设一个质点在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B.在移动过程中,这质点受到力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用,其中函数P(x,y),Q(x,y)在L上连续,要计算在上述移动过程中变力F(x,y)所作的功. 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系力F作的功W等于两个向量F和AB的数量积我们知道,如果力F是常力,且质点沿直线从A到B点，则常现在是一个变力,力在变化,方向也在变化，要解决这种变力使物体做曲线运动时所做的功，我们按定积分的思路和方法做. 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 可看成直线段,即质点沿小弧段的运动可为沿直线段的运动.上可视为常数.力在小弧段所作的功为(1)分割从A到B将曲线分成n个小弧段.由于每个小弧段很小,(2)取近似由于F的变化的连续性,及直线段很小,F在小弧段 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系xyABMi-1MiF(ξ,η)再设点Mi的坐标为(xi,yi)(i=1,2...n),记是F(x,y)在x轴和y轴上的投影.设F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，其中P(x,y)和Q(x,y)在x轴,y轴上的投影为则 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(3)求和(4)取极限令这就是变力沿曲线所做的功. 现在我们抽去问题的物理意义,于是则得到下面的定义: 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系在L上有界,按L的方向顺序用分点 把L分成n个小弧段 (i=1,2...n)，小弧段在x,y轴上的取任意点定义定义:设L是从点A到B的一条有向光滑曲线,函数P(x, y)和Q(x, y)坐标增量记为 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分.记作若和式值为函数P(x,y)，Q(x,y)沿曲线L从A到B的对坐标的曲线积分.当各小弧段长度的最大值时极限总存在，则称此极限 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系当Q=0 时,为P(x,y)对坐标x的曲线积分；当P=0 时,为Q(x,y)对坐标y的曲线积分. 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系上述定义可推广到空间曲线Γ的情况： 按定义,变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j沿曲线L从A到B对质点做的功,可表示为曲线积分 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系性质1 性质2若光滑曲线L=L1+L2 ，则性质3 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系设L是有向曲线，L--是与L方向相反的有向曲线，则性质4说明,对坐坐标的曲的曲线积分与分与积分曲分曲线的方向有关，的方向有关，性质4这是区别对弧长的曲线积分的重要特征这是区别对弧长的曲线积分的重要特征. 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二二 对坐标的曲线积分的计算方法对坐标的曲线积分的计算方法定理设P(x, y), Q(x, y)在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为当参数t单调地由α变到β时, 点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B, φ(t)和ψ(t)在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且则曲线积分存在，且 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系根据对坐标的曲线积分的定义，有它们对应于一列单调变化的参数值在L上取一点列证 之间.与在其中即对应于参数值设点 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 应用微分中值定理，有由于之间，于是与在其中)上的一致连续性,可将上式(或在利用从而换成中的点 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系连续，这个定积分存在，因此由于函数上式右端的和的极限就是定积分存在，并且有同理可证： 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(1)式推广到空间曲线,得到如下公式：P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)是定义在空间曲线上的连续函数. 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系,其中L为抛物线y2=x上从点A(1,-1)到点B(1,1)的一段弧.解法一解法一：把x作为参数,利用对x的定积分来计算,把L分成AO和OB两段,被积函数可用积分路线的方程来处理.A(1,-1)B(1,1)xyo例1 计算 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系解法二：把y作为参数,利用对y的定积分来计算, x=y2, dx=2ydy， y: -1→1，则 注意: 对弧长的曲线积分的上限必须大于下限.对坐标的曲线积分的上,下限是按积分的起点为下限,而积分的终点为上限的.不管对弧长或对坐标的曲线积分,都应该把积分曲线方程代入被积函数中计算. 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例2 计算其中C是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB.解:直线段AB的方程是化为参数方程得到 x=3t，y=2t，z=t，t从1变到0，所以 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例3 计算其中L为xA(a,0)B(-a,0)y(1)半径为a，圆心为原点，按逆时针方向绕行的上半圆周；(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段.解: (1)L是参数方程为 x=acosθ, y=asinθ参数θ从0到π的曲线弧 (按逆时针方向)，故注意：θ从0到π是按逆时针方向. 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系由于曲线积分的被积函数和积分路线有关，所以尽管被积函数相同，积分的起点和终点也相同，但积分路径不同，得到的值也不同.(2) L的方程为y=0，x从a变到-a，所以 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例4 计算其中C为(1)抛物线y=x2上从(0,0)到B(1,1)的一段弧；(2)抛物线x=y2上从 (0,0)到B(1,1)的一段弧；(3)有向折线OAB，这里O，A，B的坐标为(0,0)，(1,0)，(1,1)x=y2y=x2B(1,1)A(1,0)xy解:(1)化为对x的定积分，C：y=x2，x从0变到1，所以 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(3)在OA上，y=0，x从0变到1，故(2)化为对y的定积分，C：x=y2，y从0变到1，所以 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系从例4中可以看出，虽然积分路线不同，曲线积分的值可能相等.在AB上，x=1，dx=0，y从0到1，所以 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系三三 两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系设有向曲线弧L的参数方程为L的起点A、终点B分别对应参数 ，在以为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且P(x, y)，Q(x, y)在L上连续. 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系根据对坐标的曲面积分公式有 ，，其方向余弦为有向线段L的切向量为由对弧长的曲线积分的计算公式可得： 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系由此可见，两类曲线积分之间有如下联系：方向角.为有向线段L上点(x, y)处的切线向量的其中推广到空间曲线Γ上的两类曲线积分之间的联系:其中为空间有向曲线Γ在点(x,y,z)处的切向量的方向角.。