行程之相遇问题(六)环形跑道相遇问题.docx

张林整理行程问题 : 1914570527张林整理奥数：行程之相遇问题六、环形跑道相遇问题例 1.在一个圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，8 分钟后两人相遇，再过 6 分钟甲到 B 点，又过 10 分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要多久?解析：设跑到全长为 S，甲乙第一次相遇共同走了 AB，第二次相遇走了 S+AB，第一次相遇两人走了 8 分钟，第二次相遇又走了 6+10=16 分钟，故两人共同走 AB 时间是走全长 S 时间的一半，根据速度和不变情况下，时间与路程成正比，故 AB=0.5S，甲走 AB 用时 6+8=14 分钟，故甲环形一周用时 28 分钟16+6）÷8=2 （全程是 AB 的 2 倍）（6+8）×2=28（分钟）答：甲环行一周需要 28 分钟2.甲、乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端如果他们同时出发，并在甲跑完 60 米时第一次相遇，在乙跑一圈还差 80 米时两人第二次相遇，求跑道的长度?解析，由上题的方法可知，甲乙二人第二次相遇共跑了一圈半，而此时甲跑了60*3=180 米，已跑了全长减去 80 米，故 1.5S=S-80+180，解得全长 S 等于 200 米。

解：设全长为 x 米1.5x=x-80+60×3X=200答：跑道的长度为 200 米例 3.甲乙两人在相距 90 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟 3 米，乙的速度是每秒钟 2 米如果他们同时分别从直路的两端出发，10 分钟内共相遇了几次?分析：第一次相遇时行一个全程，用时：90÷(2+3)=18S；此后每次相遇都行两个全程，都用时 18×2=36 秒，(600-18)÷36=16……4，故 10 分钟内二者相遇了 16+1=17 次90÷(2+3)=18（秒）(10×60-18)÷（18×2）=16……416+1=17（次）答：10 分钟内共相遇了 17 次例 4.甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 2/3，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/5，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点 190 米，这条椭圆形跑道多长? 张林整理行程问题 : 1914570527张林整理奥数：行程之相遇问题解析：如下图所示，A 点为出发点，因跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 2/3，故第一次相遇点 B 距 A 为全程的 3/5，当甲跑完一圈到达 A 点时，乙到达 C 点，距离 A 点为 1/3，此时甲加速 1/3，甲乙速度比变为 2:1，故当乙跑完一圈到达 A 点时甲到达了 C点，二者距离为全程的 1/3，此时乙加速 1/5，甲乙速度比变为 4:12/5=5:3，此时变为路程为全长 1/3 的相遇问题，当甲乙第二次相遇时，乙走了全长 1/3 的 3/8，也就是全长的 1/8，所以两次相遇点之间距离 BD 为全长的 3/5-1/8=19/40，故椭圆形跑道全长为190÷19/40=400 米。

全程的 1/3 的相遇时乙返回的路程：【2×（1+ ） 】÷【3×（1+ ）+2×（1+ ） 】513151× =318190÷（ - ）=400（米）3281答：椭圆形跑道全长为 400 米例 5.在 400 米环形跑道上，A、B 两点相距 100 米甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发，按逆时针方向跑步甲 5 米/秒，乙 4 米/秒每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟那么，甲追上乙需要多少秒钟?分析：100÷(5-4)=100 秒，100×5=500（米） ，500÷100-1=4（次）一共休息 4 次用时 100+4×10=140 秒而乙行了 100×4=400 米，400÷100-1=3 次，用时 100+3×10=130 秒，乙休息 10 秒后刚要跑，此时甲追到，所以，甲追上乙用时 100+4×10=140（秒） 100÷(5-4)=100（秒）100+（100×5÷100-1）×10=140（秒）答：甲追上乙需要 140 秒钟例 5.有甲、乙、丙 3 人,甲每分钟行走 120 米,乙每分钟行走 100 米,丙每分钟行走80 米如果 3 个人同时同向,从同地出发,沿周长是 300 米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3 人又可以相聚在跑道上同一处?分析：甲走完一周需要时间：300÷120=2.5（分钟） ，乙走完一周需要时间：300÷100=3（分钟） ，丙走完一周需要时间：300÷80= （分钟） ，那么再次相聚在跑830道同一处的时间为这三个时间的最小公倍数：[2.5,3, ]=30(分钟)甲：300÷120=2.5（分钟） 乙：300÷100=3（分钟） 丙：300÷80= （分钟）830 张林整理行程问题 : 1914570527张林整理奥数：行程之相遇问题[2.5,3, ]=30(分钟)830答：30 分钟之后,3 人又可以相聚在跑道上同一处。

例 6.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行现在已知甲走一圈的时间是 70 分钟，如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?分析：甲行走 45 分钟，再行走 70-45=25 分钟即可走完一圈而甲乙两人行 45 分钟相遇即两人共同走完一圈，所以甲行 25 分钟的路程相当于乙行走 45 分钟的路程甲行走一圈需 70 分钟，所以乙需：70÷25×45=126（分钟） 70÷（70-45）×45=126（分钟）答：乙走一圈的时间是 126 分钟例 7.林琳在 450 米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑 5 米，后一半时间每秒跑 4 米，那么她的后一半路程跑了多少秒？解：设总时间为 x 秒×5＋ ×4=4502x9x=900x=100100× =50（秒）1答：她后一半路程跑了 50 秒例 8.甲、乙两人同时从 400 米的环形路跑道的一点 A 背向出发，8 分钟后两人第三次相遇已知甲每秒钟比乙每秒钟多行 0.1 米，两人第三次相遇的地点与 A 点沿跑道上的最短距离是多少？分析：甲、乙两人三次相遇，共行了三个全程，即是 3×400=1200（米） 。

根据题意，甲乙两人的速度和为 1200÷8=150（米/分）因为甲乙两人的每分速度差为 0.1×60=6（米/分） ，所以甲的速度为（150+6）÷2=78（米/分）甲 8 分钟行的路程为 78×8=624（米） ，离开原点 624-400=224 米，因为 224>400/2，所以 400-224=176（米）即为答案0.1×60=6（米/分）甲速：（3×400÷8+6）÷2=78（米/分）78×8-400=224 米>400/2400-224=176（米）答：两人第三次相遇的地点与 A 点沿跑道上的最短距离是 176 米基本习题：1.在一个圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，10 分钟后两人相遇，再过 8 分钟甲到 B 点，又过 12 分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要多久?2.甲、乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端如果他们同时 张林整理行程问题 : 1914570527张林整理奥数：行程之相遇问题出发，并在甲跑完 120 米时第一次相遇，在乙跑一圈还差 160 米时两人第二次相遇，求跑道的长度?3.甲乙两人在相距 180 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟 5 米，乙的速度是每秒钟 4 米。

如果他们同时分别从直路的两端出发，10 分钟内共相遇了几次?1.解析：设跑到全长为 S，甲乙第一次相遇共同走了 AB，第二次相遇走了 S+AB，第一次相遇两人走了 10 分钟，第二次相遇又走了 8+12=20 分钟，故两人共同走 AB 时间是走全长 S 时间的一半，根据速度和不变情况下，时间与路程成正比，故 AB=0.5S，甲走 AB 用时 6+8=14 分钟，故甲环形一周用时 28 分钟12+8）÷10=2 （全程是 AB 的 2 倍）（10+8）×2=36（分钟）答：甲环行一周需要 36 分钟2. 解析，由上题的方法可知，甲乙二人第二次相遇共跑了一圈半，而此时甲跑了 120×3=360 米，已跑了全长减去 160 米，故 1.5S=S-160+360，解得全长 S 等于 400 米解：设全长为 x 米1.5x=x-160+120×3X=400答：跑道的长度为 400 米3.分析：第一次相遇时行一个全程，用时：180÷(5+4)=20S；此后每次相遇都行两个全程，都用时20×2=40 秒，(600-20)÷40=14……20，故 10 分钟内二者相遇了 14+1=15 次180÷(5+4)=20（秒）(10×60-20)÷（20×2）=14……2014+1=15（次）答：10 分钟内甲乙共相遇了 15 次。

4.甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 3/5，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/5，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点 218 米，这条椭圆形跑道多长?5.在 400 米环形跑道上，A、B 两点相距 200 米甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发，按逆时针方向跑步甲 5 米/秒，乙 4 米/秒每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟那么，甲追上乙需要多少秒钟? 张林整理行程问题 : 1914570527张林整理奥数：行程之相遇问题6. 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行现在已知甲走一圈的时间是 140 分钟，如果在出发后 90 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?4.解析：如下图所示，A 点为出发点，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 3/5，故第一次相遇点B 距 A 为全程的 5/8，当甲跑完一圈到达 A 点时，乙到达 C 点，距离 A 点为 2/5，此时甲加速 1/5，甲乙速度比变为 2:1，故当乙跑完一圈到达 A 点时甲到达了全程的 4/5 点，二者距离为全程的 1/5，此时乙加速 1/3，乙甲速度比变为【3×（1+ ） 】:【5×（1+ ） 】=2:3。

此时变为路程为全长 1/5 的相遇问3151题，当甲乙第二次相遇时，乙走了全长 1/5 的 2/5，也就是全长的 2/25，所以两次相遇点之间距离 BD为全长的 5/8-2/25=109/200，故椭圆形跑道全长为 218÷109/200=400 米下图中的数据不同，但可以判断出它们之间的关系全程的 1/5 的相遇时乙返回的路程：【3×（1+ ） 】÷【5×（1+ ）+3×（1+ ） 】× =31513512218÷（ - ）=400（米）352答：椭圆形跑道全长为 400 米5.分析：200÷(5-4)=200 秒，100×5=500（米） ，500÷100-1=4（次）一共休息 4 次用时100+4×10=140 秒而乙行了 100×4=400 米，400÷100-1=3 次，用时 100+3×10=130 秒，乙休息 10 秒后刚要跑，此时甲追到，所以，甲追上乙用时 100+4×10=140（秒） 100÷(5-4)=100（秒）100+（100×5÷100-1）×10=140（秒）答：甲追上乙需要 140 秒钟6.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行现在已知甲走一圈的时间是140 分钟，如果在出发后 90 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?6.分析：甲行走 90 分钟，再行走 140-90=50 分钟即可走完一圈。

而甲乙两人行 90 分钟相遇即两人共同走完一圈，所以甲行 50 分钟的路程相当于乙行走 90 分钟的路程。