哈工大概率论答案-习题五.doc

·55·习 题 五1．假设有 10 只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差解 设 为已取出的废品只数，则 的分布为XX012889P即012845X所以，29E28,451X248().50D2．假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作，若 1 周 5 个工作日里无故障，可获利 10 万元；发生一次故障仍可获利5 万元，发生两次故障所获利润零元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元求 1 周内期望利润是多少？解 设一周所获利润为 （万元） ，则 的可能值为 .T10,5又设 为机器一周内发生故障的次数，则 ，于是，X~(.)XB5(0)()(0.8.327PT145)96C类似地可求出 的分布为20.79.480.96.327所以一周内的期望利润为.5.10.ET（万元）2·56·3．假设自动线加工的某种零件的内径 （毫米）服从正态分布 ，X(,1)N内径小于 10 或大于 12 为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润 （元）与零件的内径 有如下关系：T1,0,2125,.X若若若问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大.解 1(0)2(12)5(12)ETPPPX[0][]25()()121dT2(0)(1)250ee@即221[()(10)]5两边取对数得ln25即.1l时，平均利润最大.4．从学校到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ，设 为途中遇到红灯的次数，求随机变量25X的分布律、分布函数和数学期望.X解 ，分布律为~(3,)B332()()0,123.5kkPC即·57·012327546815XP的分布函数为0,,27158(),2,7,3,125.xFxxx4065EX5．设随机变量服从几何分布，其分布列为，1()(kPp,1,2k求 与 D解 1 111 1()()kkkkk xqxqEXqpp其中 qp由函数的幂级数展开有，01kx所以21.()xqxqEXppp因为，221 211()(1)kkxqxqkp 2p所以222().DXEp·58·解 2 213kEXPpqpq (1), 设（1）21,kS 则（2）3,k （1）–（2）得，21(1)kSq 所以，2(1)qp从而，得.2EXpSp2 213n ，(1)pS  @2 ,q 211 2)5(,nS 32 ), ，21((n qp ，221Sp于是，213q所以，22321()EXpp故得 的方差为 22221() .qpD·59·6．设随机变量 分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差.X（1） ；|()2xfe（2） 1|,|1,0;（3）25(),2,()6,xxf其 他（4）01,()2,.fxx其 他解 （1） ， （因为被积函数为奇函数）|xEXed22| 201xxDed0xee0[]2.xe（2） 1(|),EXd.34122231010|()[]6xDxxd（3） 35405()66,245011xx，26540()EXd 276505487xx所以.2281()7D（4） ,23120118) 1xEXxdxd,233 4((8)(6)42·60·所以.1426DX7．在习题三第 4 题中求 1EX解 因 的分布为0231148P所以.671239EX8．设随机变量 的概率密度为,02,()4,axfcb其 他 .已知 ，求32,(1)EXP（1） 的值abc（2）随机变量 的数学期望和方差.XYe解 （1） 2402()()fxdaxcbdx24026,acb420()()xfxcx，8563ac，231235()42xdbdxacb解方程组8156332abc·61·得，14a，b.c（2） ，2420211()()()(1)4XxxxEYefdeed222202()()()4Xxxxef 11[)]4e.222()(DYE9．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第 5 分钟，25分钟和 55 分钟从底层起行。

假设一游客在早八点的第 分钟到达底层候梯处，X且 在 上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.X[0,6]解 设候梯时间为 ，则T5,5,22(),60.Xg601[()]()()ETXxfdgxd5255600 251 ()6 xd   .[2.437.]1610．设某种商品每周的需求量 是服从区间 上均匀分布的随机变X[0,3]量，而经销商店进货量为区间 中的某一个整数，商店每销售一单位商[0,]品可获利 500 元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损 100 元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利 300 元，为使商店所获利润期望值不少于 9280 元，试确定最小进货量 解 设商店获得的利润为 ，进货量为 ，则Ty·62·50()30,30,()1.yXyXTg32,,6由题意9280()ETgxfd30106)(2)y yxxyd   27.535,即..403y解不等式得，2063即使利润的期望值不少于 9280 元的最少进货量为 21 个单位.11．设 与 同分布，且 的概率密度为XYX2,0,()8.xf其 他（1）已知事件 和事件 独立，且 ，{}Aa{}BYa3{}4PAB求常数 ；a（2）求 。

2EX解 （1） 2331()[8]aPxda3{}()()4ABPAB，332[8][]64即有方程323()1()80,a即，[8][4]a·63·可见或 ，3812a384a解之得 或 （不合题意） 故 .434a（2） .20EdxX12．于习题四第 15 题中求 的数学期望.()sin2XYZ解 的分布为,Y()0,(,1)0(,1),0(2,1)..5...5.ijxypsnsin2sin2EZ3i0.10.1.5513．设 的分布律为(,)XYYX –1 0 1 ip1230.20.100.100.30.10.10.10.40.20.4jp0.3 0.4 0.3解 （1） .4.230.4,E；Y（2） 1()1.2(/)0.3jiiyZpXx；10..0.235（3） ()EWY2 2()()()DEDXYEXYE2 2[][()][0]4ijiIJXxyp0.4.90.4.30(..1.1318645或22222()[]EWYEXYEXY（1）求 ,EXY（2）设 ，求Z（3）设 ，求2()WE·64·0.4.290.4(.20.120.13.)3865或，先求 的分布2()XY10..304P.495EW14．设离散型二维随机变量 在点(,)XY取值的概率均为 ，求11(,),(,)214.XYD解 ，0424E，2115668所以 ；58X110,44EY；27632D11()()()44X19.48115．设 的概率密度为(,)Y2(),0,,0.xyeyfxy其 他求 的数学期望.2XZ解 2()2204xyEYxyed204cosinrred2420sinrd·65·2232001cos[3]rreed20[3()]rrd2204rrede 22134tr ted令3.16．设二维随机变量 的概率密度为(,)XY1|,01,,0,.yxfx其 它求 .,(2)EXYD解 ；112003xEXdyxd；xY；10y，11223002xEXdyxd于是；2()318D故4().9X17．假设随机变量 服从参数为 的指数分布，随机变量Y10,,,2.1kk若若求（1） 的联合分布， （2） .12,X1()EX解 （1） 的分布：()20,(1,2)PPY，()e，1,,0y0 x120eX2X1·66·12(,0)(1,2)PXPYe（2） .1212()EXEe18．设连续型随机变量 的所有可能值在区间 之内，证明：[,]ab（1） ；ab（2）2().4D证 （1）因为 ，所以 ，即 ；XEaXbaEXb（2）因为对于任意的常数 有C，2()取 ，则有abC 2222()()()().4abababDXEE19．一商店经销某种商品，每周进货量 与顾客对该种商品的需求量 是XY相互独立的随机变量，且都服从区间 上的均匀分布。

商店每售出一单[10,]位商品可得利润 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500 元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值解 设 为一周内所得利润，则T10, ,(,)5(),.YXYgX,,5().[,](,),ETgYgxyfdxy其中 1,02,10,(,).fxy其 他所以1 2050()1DDETydxxydxD2 D1y2010 20100 x·67·2020115()yydxdx2003()50dy（元）.467320．设 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为,XY2,01();xf其 他 (5),,()0.yYef求 (,ED解 ，1203Xxd6Y（注：因为参数为 1 的指数分布的数学期望为 1，而 是前指数分布向右()Yfy平移了 5 个单位，所以 ）56E因 独立，所以,X.243Y今求 D方法 1 22()EXY13206[()]16xdDYE.75[13]22方法 2 利用公式：当 独立时,XY2()()DEYX14361.58921．在长为 的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差.L解 以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为 ，则,XY它们均在 上服从均匀分布，且 相互独立.[0,],XY220011|||(,)()()LxLxEXYxyfdydyd·68·22201()3LLxdx222001|| LEXYyxdyxdy 4236L所以.22||918DXY22．设 随 机 变 。