高一数学必修5数列经典例题(裂项相消法).docx

n1 2 3 2 6nn 3 1 3 23 nn3 2 6 3 41 21 11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn4 2 2n nnnnnn14 2 2n n1nn2．（2014•成都模拟）等比数列{a }的各项均为正数，且 2a +3a =1，a 2=9a a ， （Ⅰ）求数列{a }的通项公式；（Ⅱ）设 b =log a +log a +…+log a ，求数列{ }的前 n 项和．解：（Ⅰ）设数列{a }的公比为 q，由 a 2=9a a 有 a 2=9a 2 由条件可知各项均为正数，故 q= ．由 2a +3a =1 有 2a +3a q=1，∴a = ．，∴q2= ．故数列{a }的通项式为 a =．（Ⅱ）b =++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（ ﹣）则+ +…+=﹣2[（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣）]=﹣ ，∴数列{ }的前 n 项和为﹣．7．（2013•江西）正项数列{a }满足 （1）求数列{a }的通项公式 a ；﹣（2n﹣1）a ﹣2n=0．（2）令 b =，求数列{b }的前 n 项和 T ．解：（1）由正项数列{a }满足：﹣（2n﹣1）a ﹣2n=0，可有（a ﹣2n）（a +1）=0 （2）∵a =2n，b =∴a =2n．，∴b ===，T ===．数列{b }的前 n 项和 T 为 ．6．（2013•山东）设等差数列{a }的前 n 项和为 S ，且 S =4S ，a =2a +1． （Ⅰ）求数列{a }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b }满足=1﹣ ，n∈N *，求{b }的前 n 项和 T ．解（：Ⅰ）设等差数列{a }的首项为 a ，公差为 d，由 S =4S ，a =2a +1 有： 解有 a =1，d=2．∴ a =2n﹣1，n∈N*．，（Ⅱ）由已知当 n=1 时，+= ，+…+ =1﹣ ，n∈N*，有：当 n≥2 时，=（1﹣ ）﹣（1﹣ ）=，∴ ，n=1 时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a =2n﹣1，n∈N*．nnnnnn3 5 7nnn nnnn3 5 71nnnnnnnn1nnnnnn n 1 n+1nnnnnnn∴ b=，n∈N*．又 T = ++ +…+，∴T= ++…+ +，两式相减有： T = +（++…+）﹣= ﹣ ﹣∴ T=3﹣ ．28．（2010•山东）已知等差数列{a }满足：a =7，a +a =26．{a }的前 n 项和为 S ．（Ⅰ）求a 及 S ；（Ⅱ）令 （n∈N*），求数列{b }的前 n 项和 T ．解：（Ⅰ）设等差数列{a }的公差为 d，∵ a =7，a +a =26，∴ 有 ，解有 a =3，d=2，∴ a =3+2（n﹣1）=2n+1；S = =n2+2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知 a =2n+1，∴ b== ==，∴ T===，即数列{b }的前 n 项和 T =．25．（2008•四川）在数列{a }中，a =1，求数列{b }的前 n 项和 S ；（Ⅲ）求数列{a }的前 n 项和 T ．．（Ⅰ）求{a }的通项公式；（Ⅱ）令 ，解：（Ⅰ）由条件有，又 n=1 时， ，故数列构成首项为 1，公式为 的等比数列．∴，即．（Ⅱ）由有，，两式相减，有：，∴．（Ⅲ）由有．∴ T=2S +2a ﹣2a =．3．（2010•四川）已知等差数列{a }的前 3 项和为 6，前 8 项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a }的通项公式；（Ⅱ）设 b = （4﹣a ）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b }的前 n 项和 S ．解：（1）设{a }的公差为 d，由已知有1n﹣n﹣nn﹣nnnnn1 22m 1 2n 1 m+n 1﹣3 5n 2n+1 2n 1nn n+1 nnn3 2 15 3 12n+3 2n1 2n+12n+1+1 2n+112n+1 2n1n+1 nnn1 3 1n2n+1 2n 1nn+1n﹣nn﹣nnn﹣nnn3 62 7nnnnnnn2 7解有 a =3，d=﹣1故 a =3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n； （2）由（1）的解答有，b =n•qn S =1•q0+2•q1+3•q2+…+n•qn 1． 若 q≠1，将上式两边同乘以 q，有1，于是qS =1•q1+2•q2+3•q3+…+n•qn．上面两式相减，有（q﹣1）S =nqn﹣（1+q+q2+…+qn 1）=nqn﹣ 于是 S =若 q=1，则 S =1+2+3+…+n=∴ ，S =．4．（2010•四川）已知数列{a }满足 a =0，a =2，且对任意 m、n∈N*都有 a +a =2a +2（m﹣n）2（1）求﹣ ﹣ ﹣a ，a ；（2）设 b =a ﹣a （n∈N*），证明：{b }是等差数列；（3）设 c =（a ﹣a ）qn 1（q≠0，n∈N*），求数列{c }﹣的前 n 项和 S ．解：（1）由题意，令 m=2，n=1，可有 a =2a ﹣a +2=6再令 m=3，n=1，可有 a =2a ﹣a +8=20（2）当 n∈N*时，由已知（以 n+2 代替 m）可有a +a =2a +8﹣于是[a ﹣a ]﹣（a ﹣a ）=8 即 b ﹣b =8（ ） （ ）﹣ ﹣∴ {b }是公差为 8 的等差数列（3）由（1）（2）解答可知{b }是首项为 b =a ﹣a =6，公差为 8 的等差数列则 b =8n﹣2，即 a ﹣a =8n﹣2﹣另由已知（令 m=1）可有a =∴ a﹣a =﹣（n﹣1）2．﹣2n+1=﹣2n+1=2n于是 c =2nqn 1．当 q=1 时，S =2+4+6++2n=n（n+1） 当 q≠1 时，S =2•q0+4•q1+6•q2+…+2n•qn 1 两边同乘以 q，可有．qS =2•q1+4•q2+6•q3 上述两式相减，有+…+2n•qn．（1﹣q）S =2（1+q+q2+…+qn 1）﹣2nqn=2•﹣2nqn=2•∴ S=2•综上所述，S =．16．（2009•湖北）已知数列{a }是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a a =55，a +a =16（1）求数列{a }的通项公式；（2）数列{a }和数列{b }满足等式 a =解：（1）设等差数列{a }的公差为 d， 则依题意可知 d＞0 由 a +a =16，（n∈N*），求数列{b }的前 n 项和 S ．13 61111nnn 1 2 na =c +c +…+cn+1 n n+11 n+1 nn+1nn1 1nn 1 2 3 n有，2a +7d=16①由 a a =55，有（a +2d）（a +5d）=55② 由①②联立方程求，有d=2，a =1/d=﹣2，a =（排除）∴ a=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（2）令 c =，则有 a =c +c +…+cn+1 1 2 n+1两式相减，有a ﹣a =c ，由（1）有 a =1，a ﹣a =2 ∴ c =2，即 c =2（n≥2），即当 n≥2 时，b =2n+1，又当 n=1 时，b =2a =2∴ b=于是 S =b +b +b +…+b =2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6，n≥2，．。