计量方法与误差理论CH4.ppt

第二部分第二部分误差理论与数据处理误差理论与数据处理第四章第四章 经典误差理论经典误差理论————本章要点本章要点本章要点本章要点随机误差的随机误差的数字数字特征和精度指标特征和精度指标1非等精度测量非等精度测量2系统误差和粗大误差系统误差和粗大误差3误差合成与分配误差合成与分配4第第1节节 随机误差的性质和特点随机误差的性质和特点多次测量，残差呈现出的规律多次测量，残差呈现出的规律 残差残差对称性对称性单峰性单峰性抵偿性抵偿性有界性有界性一、随机误差的基本特点一、随机误差的基本特点正负误差概率基本相等正负误差概率基本相等 小误差出现概率大小误差出现概率大正负误差可相互抵消正负误差可相互抵消 误差不会超过一定界线误差不会超过一定界线 第第1节节 随机误差的性质和特点随机误差的性质和特点理论依据：中心极限定理理论依据：中心极限定理 只要构成随机变量总和的各独立随机变量的只要构成随机变量总和的各独立随机变量的数目足够多，而且每个随机变量对总量的影响都数目足够多，而且每个随机变量对总量的影响都足够小，那么，随机变量总和的分布规律为正态足够小，那么，随机变量总和的分布规律为正态分布分布二二. . 随机误差的分布特性随机误差的分布特性古典误差理论认为：随机误差服从正态分布古典误差理论认为：随机误差服从正态分布第第1节节 随机误差的性质和特点随机误差的性质和特点三、正态分布及特性三、正态分布及特性 测量数据的概率密度函数：测量数据的概率密度函数：真值真值随机误差的概率密度函数：随机误差的概率密度函数：误差误差 正态分布只能看作随机误差分布律的极限情况，若决定误差的因素有限，可能服从非正态分布。

第第1节节 随机误差的性质和特点随机误差的性质和特点正态分布曲线在正态分布曲线在 处很特殊：拐点！处很特殊：拐点！内，内，曲线向下弯曲；曲线向下弯曲；外，外，曲线向上弯曲；曲线向上弯曲；第第1节节 随机误差的性质和特点随机误差的性质和特点更一般的求解公式：更一般的求解公式：拉普拉斯函数（或称概率积分）拉普拉斯函数（或称概率积分）式中，式中，说明了什么？说明了什么？ 我们可以有我们可以有68.27%的把握认为测量值的误差不超出的把握认为测量值的误差不超出0.6827第第1节节 随机误差的性质和特点随机误差的性质和特点拉普拉斯函数的变形：拉普拉斯函数的变形：思考：若测量值必须具有思考：若测量值必须具有99%的可信度，其误差应放宽至多大？的可信度，其误差应放宽至多大？第第1节节 随机误差的性质和特点随机误差的性质和特点例：例：测量某基准电压测量某基准电压U0=10V，多次测量时的标准差为，多次测量时的标准差为0.020V，若某次测量的结果为，若某次测量的结果为10.016V，问对该次测试结果，问对该次测试结果有多大的把握性？若要对测试数据有有多大的把握性？若要对测试数据有99%的可信度，问测量的可信度，问测量数据应该落在哪个范围内？数据应该落在哪个范围内？第第1节节 随机误差的性质和特点随机误差的性质和特点 P=0.95( )，，一般精密测量，应用广泛；一般精密测量，应用广泛； P=0.9973( )，，用于较重要的科研工作和精密仪器；用于较重要的科研工作和精密仪器； P=0.9999( )，，用于个别对可靠性要求特别高的科研用于个别对可靠性要求特别高的科研 和精密测量工作；和精密测量工作；第第2节节 随机误差的数字特性随机误差的数字特性一、随机变量的数字特征一、随机变量的数字特征  描述随机变量分布特征的数值：随机变量的数字特征（理想化）描述随机变量分布特征的数值：随机变量的数字特征（理想化）数学期望：位置特征数学期望：位置特征方差：分散性指标方差：分散性指标标准差标准差随机变量关于其数学期望的偏离随机变量关于其数学期望的偏离程度比其他任何值的偏离程度都程度比其他任何值的偏离程度都小。

如果小如果x x是测量值，那么是测量值，那么ExEx就就是该被测量值最可信赖的值（或是该被测量值最可信赖的值（或称概然值）称概然值）数字特征如何估计？数字特征如何估计？数字特征如何估计？数字特征如何估计？第第2节节 随机误差的数字特性随机误差的数字特性二、数学期望的估计（算术平均值）二、数学期望的估计（算术平均值）要求估计值在参考量附近摆动，作为无偏估计，就要证明要求估计值在参考量附近摆动，作为无偏估计，就要证明估计值的数学期望正好等于未知量（真值）估计值的数学期望正好等于未知量（真值）解决了有限次等精度测量中，如何估计被测量真值的问题解决了有限次等精度测量中，如何估计被测量真值的问题第第2节节 随机误差的数字特性随机误差的数字特性三、标准偏差及其估计（标准差或方均根误差）三、标准偏差及其估计（标准差或方均根误差）例：两组测量值例：两组测量值平均值都是平均值都是20.0000，， 但是第但是第II 组更分散组更分散衡量的指标：标准差衡量的指标：标准差第第2节节 随机误差的数字特性随机误差的数字特性1 1、标准差的估计、标准差的估计 ——贝赛尔公式贝赛尔公式第第2节节 随机误差的数字特性随机误差的数字特性贝赛尔公式贝赛尔公式即即贝赛尔公式估算条件：测量次数贝赛尔公式估算条件：测量次数n比较大比较大 就是就是 的无偏估计的无偏估计第第2节节 随机误差的数字特性随机误差的数字特性2、标准偏差的其他估算方法、标准偏差的其他估算方法1）别捷尔斯法（）别捷尔斯法（Peters））第第2节节 随机误差的数字特性随机误差的数字特性第第2节节 随机误差的数字特性随机误差的数字特性贝塞尔公式和别捷尔斯公式均需要求贝塞尔公式和别捷尔斯公式均需要求 ，再求，再求 ，复杂！，复杂！第第2节节 随机误差的数字特性随机误差的数字特性2）） 极差法极差法 ω n＝＝xmax - xmin根据极差得分布函数，可以求出数学期望：根据极差得分布函数，可以求出数学期望： dn可查表得到，与测量次数有关：测量的次数越多，可查表得到，与测量次数有关：测量的次数越多，ωn大的概率高，故大的概率高，故dn应大。

极差法可简单迅速算出标准差，应大极差法可简单迅速算出标准差，n<10时适用第第2节节 随机误差的数字特性随机误差的数字特性例：例：序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225 表表1 1第第2节节 随机误差的数字特性随机误差的数字特性3) 最大误差法最大误差法查表查表真值未知时真值未知时第第2节节 随机误差的数字特性随机误差的数字特性例：例：表表1 1为例为例n n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.50 1.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.50 0.500.50 0.49 0.49n n16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3016 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300.48 0.48 0.480.48 0.47 0.47 0.470.47 0.46 0.46 0.460.46 0.45 0.45 0.450.45 0.450.45 0.44 0.44 0.440.44 0.440.44 0.440.44 0.43 0.43 0.430.43n n2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 302 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 301.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.441.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44第第2 2节节 随机误差的数字特性随机误差的数字特性3 3 3 3、四种计算方法的优缺点、四种计算方法的优缺点、四种计算方法的优缺点、四种计算方法的优缺点        ② ② 别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的贝氏公式的1.071.07倍；倍； ③ ③ 用极差法计算用极差法计算σσ，非常迅速方便，可用来作为校对公，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当式，当n<10n<10时可用来计算时可用来计算σσ，此时计算精度高于贝氏公式；，此时计算精度高于贝氏公式； ④ ④ 用最大误差法计算用最大误差法计算σσ更为简捷，容易掌握，当更为简捷，容易掌握，当n<10n<10时时可用最大误差法，计算精度大多高于贝氏公式，尤其是对于破可用最大误差法，计算精度大多高于贝氏公式，尤其是对于破坏性实验坏性实验(n=1)(n=1)只能应用最大误差法。

只能应用最大误差法 ① ① 贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要；和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要； 第第3节节 单次测量结果的精度指标单次测量结果的精度指标一、单次测量结果的置信度一、单次测量结果的置信度正态分布的概率积分正态分布的概率积分——误差函数误差函数1、误差、误差 出现在出现在 内的概率内的概率令令误差函数误差函数拉普拉斯拉普拉斯函数函数第第3节节 单次测量结果的精度指标单次测量结果的精度指标2、、 的含义的含义 标准差标准差σ是表征随机误差很重要的一个特征量，可是表征随机误差很重要的一个特征量，可用于描述测量列中各个测得值的误差因标准差用于描述测量列中各个测得值的误差因标准差σ甚为甚为重要，需进一步理解它的含义和对测量的作用重要，需进一步理解它的含义和对测量的作用 例如：对某一量测试例如：对某一量测试100次，得到测量值次，得到测量值标准差估计值标准差估计值可作为表征测量列中每一个测得值误差的参数可作为表征测量列中每一个测得值误差的参数第第3节节 单次测量的精度指标单次测量的精度指标单次测量是总体中的一次抽样，目前各国多采用以下精度指标：单次测量是总体中的一次抽样，目前各国多采用以下精度指标：1.1.标准差标准差2. 2. 平均误差平均误差含义：测得值的误差不超过含义：测得值的误差不超过 的置信概率为的置信概率为57.62%第第3节节 单次测量的精度指标单次测量的精度指标3. 3. 几率误差（概差、或然误差）几率误差（概差、或然误差） 如何求？如何求？与几率误差与几率误差 相应的置信概率为相应的置信概率为50％％4. 4. 极限误差极限误差 ；误差所能达到的极限值，置信度；误差所能达到的极限值，置信度99.73%ρ值的确定：测量误差落在值的确定：测量误差落在±ρ之内和之外的之内和之外的概率相等概率相等 在一个测量列中，是以算术平均值作为测量结果：（置信概率（置信概率P））因此必须研究算术平均值不可靠的评定标准！第第4节节 多次测量结果的精度指标多次测量结果的精度指标随机变量随机变量（一个测量列）（一个测量列） 对于对于m个测量列而言，每个测量列的均值都是个测量列而言，每个测量列的均值都是一个随机变量，如何计算算数平均值的标准差？一个随机变量，如何计算算数平均值的标准差？一、算数平均值的分布特性与标准差一、算数平均值的分布特性与标准差第第4节节 多次测量结果的精度指标多次测量结果的精度指标随机变量随机变量的取值的取值（多组测量列）（多组测量列）第第4节节 多次测量结果的精度指标多次测量结果的精度指标多次测量的算数平均值的标准差：多次测量的算数平均值的标准差：即用即用 作为测量结果比用单次测量结果精度提高了作为测量结果比用单次测量结果精度提高了 倍！倍！第第4节节 多次测量结果的精度指标多次测量结果的精度指标 增加测量次数，可以提高测量精度，但增加测量次数，可以提高测量精度，但测量精度是与测量精度是与n n的平方根成反比，因此要显著的平方根成反比，因此要显著提高测量精度，必须付出较大的劳动。

提高测量精度，必须付出较大的劳动 由图可知由图可知,σ,σ一定时，当一定时，当n>10n>10以后，以后， 的的减小很慢此外，由于增加测量次数难以保减小很慢此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因此一般情况下取此一般情况下取n=10n=10以内较为适宜总之，以内较为适宜总之，提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数取适当的测量次数 多次测量的算数平均值的标准差：多次测量的算数平均值的标准差：第第4节节 多次测量结果的精度指标多次测量结果的精度指标 例：例： 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为mm)： 75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08 求算术平均值及其标准差解：解：第第4 4节节 多次测量结果的精度指标多次测量结果的精度指标二、算数平均值的置信度二、算数平均值的置信度1. 一般表达式一般表达式一般写成几倍于一般写成几倍于标准差的形式标准差的形式两种求解方法！两种求解方法！这是一般的式子，这是一般的式子，和正态分布无联系和正态分布无联系即置信概率即置信概率等号成立的条件：等号成立的条件：测量次数测量次数n n较多时，此时较多时，此时可认为服从正态分布可认为服从正态分布第第4 4节节 多次测量结果的精度指标多次测量结果的精度指标2. 测量次数测量次数n较多时（通常较多时（通常n>20））拉普拉斯函数求解法！拉普拉斯函数求解法！第第4 4节节 多次测量结果的精度指标多次测量结果的精度指标例：测量某量值例：测量某量值例：测量某量值例：测量某量值2525次，得次，得次，得次，得 。

若要求置信概率若要求置信概率若要求置信概率若要求置信概率，，，，，求测量结果求测量结果求测量结果求测量结果0.950.002mm查表查表t=1.96误差限：误差限：误差限：误差限： 测量结果：测量结果：测量结果：测量结果： 第第4 4节节 多次测量结果的精度指标多次测量结果的精度指标3. 测量次数测量次数n较少时较少时——t分布求解分布求解当测量次数当测量次数n较少时：较少时：——不服从正态分布，而是服从自由度不服从正态分布，而是服从自由度n-1的的t分布分布( (伽玛函数伽玛函数) )t 分布数字特征：分布数字特征： 第第4 4节节 多次测量结果的精度指标多次测量结果的精度指标 当自由度趋向于无穷大时，当自由度趋向于无穷大时，t t分布就是标准的正态分布就是标准的正态分布实际上在测量次数足够大（分布实际上在测量次数足够大（n>20n>20））, ,可以近似用可以近似用正态分布代替正态分布代替第第4 4节节 多次测量结果的精度指标多次测量结果的精度指标利用利用t分布求解置信度的方法分布求解置信度的方法(测量次数较少时测量次数较少时)：： 第第4 4节节 多次测量结果的精度指标多次测量结果的精度指标例：测量某量值例：测量某量值例：测量某量值例：测量某量值5 5次，得次，得次，得次，得 。

若要求置信概率若要求置信概率若要求置信概率若要求置信概率，，，，，求测量结果求测量结果求测量结果求测量结果 0.050.005mm查查t分布表分布表ta=2.78误差限：误差限：误差限：误差限： 测量结果：测量结果：测量结果：测量结果： 说明说明第第4 4节节 多次测量结果的精度指标多次测量结果的精度指标 t t分布在数理统计中称为小子样分布在精密测量中，测分布在数理统计中称为小子样分布在精密测量中，测分布在数理统计中称为小子样分布在精密测量中，测分布在数理统计中称为小子样分布在精密测量中，测量次数很少有超过量次数很少有超过量次数很少有超过量次数很少有超过2020次的，因此，次的，因此，次的，因此，次的，因此，在理论上应按在理论上应按在理论上应按在理论上应按t t分布来计分布来计分布来计分布来计算相应的误差限；算相应的误差限；算相应的误差限；算相应的误差限；只有在测量次数较多（只有在测量次数较多（只有在测量次数较多（只有在测量次数较多（n n>20>20）的情况时，）的情况时，）的情况时，）的情况时，或其测量量不甚重要时，或其测量量不甚重要时，或其测量量不甚重要时，或其测量量不甚重要时，才可近似应用正态分布的理论来处才可近似应用正态分布的理论来处才可近似应用正态分布的理论来处才可近似应用正态分布的理论来处理。

理 事实上，当事实上，当事实上，当事实上，当n n无限增大时，无限增大时，无限增大时，无限增大时，t t分布曲线和正态分布曲线基分布曲线和正态分布曲线基分布曲线和正态分布曲线基分布曲线和正态分布曲线基本重合，即按两个分布理论来处理测量数据，所得的结果差本重合，即按两个分布理论来处理测量数据，所得的结果差本重合，即按两个分布理论来处理测量数据，所得的结果差本重合，即按两个分布理论来处理测量数据，所得的结果差异是极小的异是极小的异是极小的异是极小的第第4 4节节 多次测量结果的精度指标多次测量结果的精度指标三、算数平均值的精度指标（常用的有三、算数平均值的精度指标（常用的有4 4个）个）1、标准差：、标准差： 2、平均误差、平均误差T：： 3、几率误差、几率误差R：： 4、极限误差：、极限误差： 估计的精度问题估计的精度问题 第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量一、什么是非等精度测量一、什么是非等精度测量 测量条件（测量条件（人员、方法、测量次数、环境条件等人员、方法、测量次数、环境条件等））部分或者全部改变，导致测量的精度和可信赖程度不一部分或者全部改变，导致测量的精度和可信赖程度不一样。

这种测量称为样这种测量称为非等精度测量非等精度测量 客观上，由于条件限制，所有的测量都是非等精度测客观上，由于条件限制，所有的测量都是非等精度测量但是条件差别不大的测量，一般都当成等精度处理但是条件差别不大的测量，一般都当成等精度处理等精度测量特点等精度测量特点：具有同一标准差：具有同一标准差随机变量随机变量的取值的取值第第5节节 非等精度测量非等精度测量1、多组重复测量，仅测量次数不一样；、多组重复测量，仅测量次数不一样；思考：单次测量精度是否一样？多次测量精度是否一样？思考：单次测量精度是否一样？多次测量精度是否一样？2、多组重复测量，改变不同组之间单次测量的精度（更一般情形）；、多组重复测量，改变不同组之间单次测量的精度（更一般情形）；思考：单次测量精度是否一样？多次测量精度是否一样？思考：单次测量精度是否一样？多次测量精度是否一样？第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量 在一些重要的测量中，往往有意要采用非等精度测量以在一些重要的测量中，往往有意要采用非等精度测量以获取更精确的测量结果通常有两种情况：获取更精确的测量结果通常有两种情况：（（1 1）用不同的测量次数进行对比测量：）用不同的测量次数进行对比测量：（（2 2）用不同精度的仪器进行对比测量：互比核对目的。

用不同精度的仪器进行对比测量：互比核对目的如何确定不等精度测量的最终结果？如何确定不等精度测量的最终结果？第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量用三种方法测量某未知频率如下用三种方法测量某未知频率如下求被测频率的数值求被测频率的数值第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量二、二、“权权”的概念和加权平均的概念和加权平均1. “权权”的概念的概念 ——“权权”可以理解为各组测量结果相对的可以理解为各组测量结果相对的可信赖可信赖程度程度，测量结果越可靠，其，测量结果越可靠，其“权权”越大，即可靠性越越大，即可靠性越大的测量结果在最后结果中所占的比重越大大的测量结果在最后结果中所占的比重越大例：对于两组重复测量，例：对于两组重复测量，第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量2. “权权”的确定（的确定（权与方差的关系权与方差的关系））显然：方差越大，测量结果越不可靠，权应该越小显然：方差越大，测量结果越不可靠，权应该越小以多组重复测量为例，测量次数决定权值，即以多组重复测量为例，测量次数决定权值，即第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量 权与方差成反比！权与方差成反比！权表示相对可靠程度，是一权表示相对可靠程度，是一个无量纲的数，允许给各组的权数同时增大或者减个无量纲的数，允许给各组的权数同时增大或者减小若干倍，而比例关系不变。

小若干倍，而比例关系不变以上推导为单次测量精度相等情况，如何得到以上推导为单次测量精度相等情况，如何得到更一般的情形？更一般的情形？第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量3. 加权平均（加权平均（一般情况下的推导一般情况下的推导））设设则这些误差同时出现的概率为：则这些误差同时出现的概率为：利用最大似然估计法：利用最大似然估计法：等价于等价于仅一个测量列仅一个测量列每次精度不同每次精度不同第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量对对EX进行微分，并令其等于进行微分，并令其等于0：：第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量更一般的加权平均表达式：更一般的加权平均表达式：对于多组重复测量亦有上述结论对于多组重复测量亦有上述结论：：第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量例：例：用三种方法测量某未知频率如下用三种方法测量某未知频率如下求被测频率的数值求被测频率的数值解：解：精度如何？精度如何？第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量三、加权平均的精度参数三、加权平均的精度参数1. 根据测量数据的标准差求解（根据测量数据的标准差求解（一般情况一般情况））（误差合成原理）（误差合成原理）第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量例：例：用普通仪表和高精度仪表测电压如下用普通仪表和高精度仪表测电压如下求被测量电压的数值及精度（均方差）。

求被测量电压的数值及精度（均方差）解：解：若若单次测量精度未知时单次测量精度未知时如何处理？如何处理？第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量2. 根据根据“权权”求解（求解（不知单次测量精度时不知单次测量精度时））（问题：转化成单次测量精度相同）（问题：转化成单次测量精度相同）假设进行假设进行m组测量，各组测量次数为组测量，各组测量次数为单次测量权为单次测量权为1第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量（（1）单位权概念）单位权概念假设进行假设进行m组测量，各组测量次数为组测量，各组测量次数为P=1单位权单位权注：这里的单位权考虑的单次精度相同，仅测量次数不同的情况注：这里的单位权考虑的单次精度相同，仅测量次数不同的情况组内等精度，组间非等精度）（组内等精度，组间非等精度） 第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量 定义：定义：值为值为1的权称为的权称为单位权单位权，具有同一方差，具有同一方差 的的等精度单次测得值的权数为等精度单次测得值的权数为1即 为具有单位权的测为具有单位权的测得值方差得值方差 思考：如何根据单位权求加权平均值精度？思考：如何根据单位权求加权平均值精度？单位化权值！单位化权值！第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量（（2）单位化权）单位化权单位化权的实质单位化权的实质：任何一个测量值乘以自身权数的平方根，得到：任何一个测量值乘以自身权数的平方根，得到 新的量值的权数为新的量值的权数为1证明证明：：令：令：取方差：取方差：单位权化以后得到的新值的权数为单位权化以后得到的新值的权数为1 1！！可使不等精度测量列转化为等精度测量列！可使不等精度测量列转化为等精度测量列！第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量（（3 3）根据权值求加权平均值的标准差）根据权值求加权平均值的标准差已知各组测量结果的残差：已知各组测量结果的残差：将各组将各组 单位权化：单位权化：第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量总结：加权平均的精度参数总结：加权平均的精度参数（一般情况，常用于（一般情况，常用于组内不等精度）组内不等精度） （已知权值情况，常（已知权值情况，常用于组间不等精度）用于组间不等精度） 第第5 5节节 非等精度测量非等精度测量例：例：工作基准米尺长度鉴定：工作基准米尺长度鉴定：999.9425mm（（3次测量）次测量）999.9416mm（（2次测量）次测量）999.9419mm（（5次测量）次测量）求测量结果及其精度？求测量结果及其精度？第第6 6节节 随机误差的其他分布随机误差的其他分布一、评定非正态分布随机误差的方法（一、评定非正态分布随机误差的方法（4 4个特征量个特征量））1. 理论均值理论均值 和标准偏差和标准偏差 和正态分布的计算方法一样和正态分布的计算方法一样 第第6 6节节 随机误差的其他分布随机误差的其他分布2. 相对分布系数相对分布系数K分布范围（误差极限）为：分布范围（误差极限）为：相对分布系数：相对分布系数：评定实际分布曲线相对于正态分布曲线的差异程度。

评定实际分布曲线相对于正态分布曲线的差异程度t为实际分布在极限处的置信系数）为实际分布在极限处的置信系数）第第6 6节节 随机误差的其他分布随机误差的其他分布3. 相对不对称系数相对不对称系数实际曲线的不对称程度：实际曲线的不对称程度： 第第6 6节节 随机误差的其他分布随机误差的其他分布二、均匀分布二、均匀分布数字表征：数字表征：例：例： • •仪器最小分辨率误差（在分辨仪器最小分辨率误差（在分辨率率范范围内出现的所有测量值实际上是以不同围内出现的所有测量值实际上是以不同的值等概率出现在分辨力范围内的任意的值等概率出现在分辨力范围内的任意位置上）位置上） •仪器表盘刻度误差所产生的误差仪器表盘刻度误差所产生的误差; ; •平衡指示器调零不准产生的误差平衡指示器调零不准产生的误差; ; •测量数据四舍五入的舍入误差测量数据四舍五入的舍入误差第第6 6节节 随机误差的其他分布随机误差的其他分布三、三角形分布三、三角形分布(辛普生分布辛普生分布,simpson) 概率论证明：概率论证明：当两个误差限相同且服从均匀当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误差求和时分布的随机误差求和时, ,其结果服从三角分布。

其结果服从三角分布例：例： •多次测量过程时，数据凑整的误差；多次测量过程时，数据凑整的误差； •用代替法检定标准电阻、多次校零不准所引用代替法检定标准电阻、多次校零不准所引起的误差；起的误差；第第6 6节节 随机误差的其他分布随机误差的其他分布四、反正弦分布四、反正弦分布随机误差与某一角度成正弦关系，即：随机误差与某一角度成正弦关系，即：例子：例子： •电子测量中谐振的振幅误差；电子测量中谐振的振幅误差； •微波测量中由传输线、元器件或系统失微波测量中由传输线、元器件或系统失配引起的不确定度配引起的不确定度 •齿轮传动机构中，主动齿轮的偏心方向齿轮传动机构中，主动齿轮的偏心方向往往在内呈均匀分布，则从动轮的位移误往往在内呈均匀分布，则从动轮的位移误差服从反正弦分布差服从反正弦分布第第6 6节节 随机误差的其他分布随机误差的其他分布五、偏心分布五、偏心分布(瑞利分布瑞利分布,rayleigh) 当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。

射击中枪弹与靶心的偏心误态分布时，这个向量的模呈瑞利分布射击中枪弹与靶心的偏心误差分布；雷达杂波包络分布）差分布；雷达杂波包络分布）第第6 6节节 随机误差的其他分布随机误差的其他分布1、概率密度函数：、概率密度函数：为随机变量在直角坐标为随机变量在直角坐标x与与y方向上分量的标准偏差方向上分量的标准偏差第第6 6节节 随机误差的其他分布随机误差的其他分布2、极限误差：、极限误差：积分变换积分变换通常可认为通常可认为5.25σ即为偏心误差的分布范围即为偏心误差的分布范围第第6 6节节 随机误差的其他分布随机误差的其他分布故：极限误差故：极限误差相对不对称系数：相对不对称系数：相对分布系数：相对分布系数：练习：练习：测量电压测量电压20次，得均值次，得均值5V，单次测量时的，单次测量时的 为为0.1V，，求测量值置信概率为求测量值置信概率为50%的置信区间的置信区间第第7 7节节 系统误差系统误差 一、系统误差产生原因一、系统误差产生原因计量校准后发现的偏差、仪器设计计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。

确等测量时的实际温度对标准温度的偏测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差等定规律变化的误差等采用近似的测量方法或计算公式引采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等起的误差等测量人员固有的测量习性引起的误测量人员固有的测量习性引起的误差等① ① 测量装置方面的因素测量装置方面的因素② ② 环境方面的因素环境方面的因素③③ 测量方法的因素测量方法的因素④④ 测量人员的因素测量人员的因素第第7 7节节 系统误差系统误差 二、系统误差的分类和特征二、系统误差的分类和特征1 1、定值系统误差、定值系统误差 在同一条件下，多次测量同在同一条件下，多次测量同在同一条件下，多次测量同在同一条件下，多次测量同一测量值时，误差的绝对值和正一测量值时，误差的绝对值和正一测量值时，误差的绝对值和正一测量值时，误差的绝对值和正负符号保持不变负符号保持不变负符号保持不变负符号保持不变 如测长仪读数装置的调零误如测长仪读数装置的调零误如测长仪读数装置的调零误如测长仪读数装置的调零误差、量块或其它标准件尺寸的偏差、量块或其它标准件尺寸的偏差、量块或其它标准件尺寸的偏差、量块或其它标准件尺寸的偏差、示波器差、示波器差、示波器差、示波器偏转系统及示波管边偏转系统及示波管边偏转系统及示波管边偏转系统及示波管边缘效应缘效应缘效应缘效应等，均为恒定系统误差。

等，均为恒定系统误差等，均为恒定系统误差等，均为恒定系统误差第第7 7节节 系统误差系统误差 2 2、变值系统误差、变值系统误差 变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大小和方向随测试变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大小和方向随测试变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大小和方向随测试变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大小和方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化，可分为三种：的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化，可分为三种：的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化，可分为三种：的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化，可分为三种： ①① 线性系差（累进系差）线性系差（累进系差）：在：在整个测量过程中，随某因素而线性整个测量过程中，随某因素而线性递增或递减的系统误差如温度线递增或递减的系统误差如温度线性变化引起的误差性变化引起的误差 第第7 7节节 系统误差系统误差 ②②周期系差周期系差：在整个测量过程中，：在整个测量过程中，随某因素作周期变化的系统误差如齿随某因素作周期变化的系统误差。

如齿轮转动引起的正弦误差轮转动引起的正弦误差 ③③复杂系差复杂系差：：在整个测量过程中，在整个测量过程中，在整个测量过程中，在整个测量过程中，随某因素变化，误差按确定的更为复杂随某因素变化，误差按确定的更为复杂随某因素变化，误差按确定的更为复杂随某因素变化，误差按确定的更为复杂的规律变化，称其为复杂规律变化的系的规律变化，称其为复杂规律变化的系的规律变化，称其为复杂规律变化的系的规律变化，称其为复杂规律变化的系统误差第第7 7节节 系统误差系统误差 三、系统误差对测量结果的影响三、系统误差对测量结果的影响1 1、定值系差的影响、定值系差的影响第第7 7节节 系统误差系统误差 2 2、变值系差的影响、变值系差的影响第第7 7节节 系统误差系统误差 定值系差：定值系差：不影响随机误差分布曲线的形状及分布范围，不影响随机误差分布曲线的形状及分布范围， 只引起分布密度函数的位置变化（平移只引起分布密度函数的位置变化（平移 ）变值系差：变值系差：不仅使随机误差的分布密度曲线平移，同时也不仅使随机误差的分布密度曲线平移，同时也 改变了曲线的形状和分布范围。

改变了曲线的形状和分布范围结论：结论：第第7 7节节 系统误差系统误差 四、系统误差的发现四、系统误差的发现1 1、定值系差的发现、定值系差的发现（由于不影响残差，无法从测量原始数据自身判定）（由于不影响残差，无法从测量原始数据自身判定） （（1 1）对比检定法（校准法））对比检定法（校准法） 改变测量条件进行测量，一般换更精密的仪器，求改变测量条件进行测量，一般换更精密的仪器，求出两次测量的算术平均值之差，即为定值系差出两次测量的算术平均值之差，即为定值系差第第7 7节节 系统误差系统误差 （（2 2）均值与标准差比较法）均值与标准差比较法改变测量次数或仪器改变测量次数或仪器第第7 7节节 系统误差系统误差 如果测量次数足够多，服从正态分布时：如果测量次数足够多，服从正态分布时：服从正态分布服从正态分布第第7 7节节 系统误差系统误差 第第7 7节节 系统误差系统误差 如果测量次数较少，用两样本如果测量次数较少，用两样本 t 检验法进行检验检验法进行检验（（3 3））t 分布检验法分布检验法见见《《概率论与数理统计概率论与数理统计》》，，北京北京:人民教育出版社，人民教育出版社，1979第第7 7节节 系统误差系统误差 2 2、变值系差的发现、变值系差的发现两种基本方法：两种基本方法：观察残差的变化观察残差的变化或者或者检验是否服从已知的规律检验是否服从已知的规律（（1））马林科夫判据马林科夫判据——前后分组核算残差法（线性系差）前后分组核算残差法（线性系差） 按先后顺序将测量数据分两组，前一半和后一半的残差分别求按先后顺序将测量数据分两组，前一半和后一半的残差分别求和，然后求其差值。

如果不存在累进性系差，该差值应近似为和，然后求其差值如果不存在累进性系差，该差值应近似为0；否；否则，可能比较大不适于检验周期性系差则，可能比较大不适于检验周期性系差第第7 7节节 系统误差系统误差 第第7 7节节 系统误差系统误差 如果测量服从正态分布，则：如果测量服从正态分布，则：阿贝判据为：阿贝判据为：计算时以残差代替真差：计算时以残差代替真差：可以证明：可以证明： 修正：阿贝修正：阿贝—赫梅特判据赫梅特判据（（2 2））阿贝阿贝- -赫梅特准则赫梅特准则（周期系差）（周期系差）第第7 7节节 系统误差系统误差 （（3 3）标准偏差不同公式检算法（类型不能确定））标准偏差不同公式检算法（类型不能确定）第第7 7节节 系统误差系统误差 第第7 7节节 系统误差系统误差 六、系统误差的减小和消除六、系统误差的减小和消除主要途径：主要途径： 1、从测量方法上消除；、从测量方法上消除； 2、测量数据的处理，掌握系差的大小，引入修正值测量数据的处理，掌握系差的大小，引入修正值第第7 7节节 系统误差系统误差 1 1、定值系差消除、定值系差消除A A、替代法、替代法 对被测量进行一次测量，使仪器上得到某一状态对被测量进行一次测量，使仪器上得到某一状态（如指（如指针指示零位，显示某一示值）针指示零位，显示某一示值）。

然后在相同的测量条件下，然后在相同的测量条件下，以标准量代替被测量，调整标准量值的大小，尽量使仪器达以标准量代替被测量，调整标准量值的大小，尽量使仪器达到与被测量相同的状态，此时的标准量就等于被测量到与被测量相同的状态，此时的标准量就等于被测量 如：用电桥测电阻，用标准可变电阻代替被测量如：用电桥测电阻，用标准可变电阻代替被测量第第7 7节节 系统误差系统误差 B B、交换法、交换法 在一次测量后，将某些测量条件交换一下，再进行一次测量在一次测量后，将某些测量条件交换一下，再进行一次测量 抵消法抵消法或或反向补偿法反向补偿法就属于一种交换法，即先在有定值系差状态就属于一种交换法，即先在有定值系差状态下进行一次测量，再在该定值系差相反的状态下进行第二次测量两下进行一次测量，再在该定值系差相反的状态下进行第二次测量两次测量的平均值使定值系差完全被抵消次测量的平均值使定值系差完全被抵消补偿计量法和调换计量法补偿计量法和调换计量法第第7 7节节 系统误差系统误差 C C、零示法、零示法 将待测量与标准的已知量比较，当二者作用相等时，测量装置的将待测量与标准的已知量比较，当二者作用相等时，测量装置的指示器读数为零。

它可以消除指示器不准所造成的系统误差指示器读数为零它可以消除指示器不准所造成的系统误差例：用零示法测电压例：用零示法测电压 第第7 7节节 系统误差系统误差 实际测量中标准量不一定是连续可调的，这时只要标实际测量中标准量不一定是连续可调的，这时只要标准量与被测量的差别较小，那么它们的作用相互抵消的结果准量与被测量的差别较小，那么它们的作用相互抵消的结果也会使指示仪表的误差对测量的影响大大减弱也会使指示仪表的误差对测量的影响大大减弱利用微差（利用微差法可以达到很高的精度，即使测量精度不高法可以达到很高的精度，即使测量精度不高D D、微差法、微差法第第7 7节节 系统误差系统误差 仪表误差被大大仪表误差被大大的缩小了的缩小了误差关系误差关系误差关系误差关系 第第7 7节节 系统误差系统误差 例：用微差法对标称值例：用微差法对标称值Ex=9V的电池进行测量，标准稳压源的电池进行测量，标准稳压源Es=9V，相对误差，相对误差±0.2％；指示电压表％；指示电压表A的相对误差的相对误差±5％，当电压表％，当电压表A指指示值为示值为+0.1V时，问该电池电压为多少？测量误差多大？时，问该电池电压为多少？测量误差多大？本例说明，用误差为本例说明，用误差为5％的电压表进行测量，可得％的电压表进行测量，可得0.3%的测量精确度。

的测量精确度第第7 7节节 系统误差系统误差 2 2、线性系差消除、线性系差消除 线性误差一般多随时间呈线性变化，因此将测量顺序线性误差一般多随时间呈线性变化，因此将测量顺序对某一时刻对称地进行测量，再通过计算，可达到消除线性对某一时刻对称地进行测量，再通过计算，可达到消除线性系差的目的系差的目的第第7 7节节 系统误差系统误差 周期性系差一般出现在由圆周运动的情况下，多周期性系差一般出现在由圆周运动的情况下，多呈现正弦形式因此，在相距呈现正弦形式因此，在相距180180度的两个位置上做两度的两个位置上做两次测量，取两次读数平均值，即可有效的消除周期性次测量，取两次读数平均值，即可有效的消除周期性系差3 3、周期性系差消除、周期性系差消除对于系差对于系差 周期：周期： 所有时刻的测量值可写成：所有时刻的测量值可写成： 再经再经T/2时刻可得到时刻可得到 两式相加两式相加即可消除系差即可消除系差 可得可得第第7 7节节 系统误差系统误差 第第8 8节节 粗大误差粗大误差 粗大误差：疏忽误差、过失误差粗大误差：疏忽误差、过失误差。

不能不知原因不加分析就轻易舍弃测量列中最大或不能不知原因不加分析就轻易舍弃测量列中最大或最小的数据最小的数据 对怀疑是粗大误差而又不明原因的数据，应按照对怀疑是粗大误差而又不明原因的数据，应按照统计统计学方法学方法进行判别进行判别第第8 8节节 粗大误差粗大误差 1. 莱特准则莱特准则——3σ准则准则最常用、最简单判别粗大误差的准则（有资料推荐最常用、最简单判别粗大误差的准则（有资料推荐n>50次）次）具体剔除办法：先计算，然后计算每次测量的残差具体剔除办法：先计算，然后计算每次测量的残差剔除完后，重新按准则计算，直至没有数据剔除为止剔除完后，重新按准则计算，直至没有数据剔除为止若若 ，则剔除，则剔除第第8 8节节 粗大误差粗大误差 2. 肖维勒（肖维勒（chauvenet）准则）准则 以随机误差服从正态分布为前提，思路与莱特准则相似以随机误差服从正态分布为前提，思路与莱特准则相似若残差若残差 ，则剔除该数据则剔除该数据肖维勒准则规定了一种确定肖维勒准则规定了一种确定 的方法的方法:显著度显著度: 第第8 8节节 粗大误差粗大误差 与莱特准则的区别：置信度与测量次数相关。

数据量越大，判据越严格！与莱特准则的区别：置信度与测量次数相关数据量越大，判据越严格！将将 的误差中的最大一个剔除的误差中的最大一个剔除重新计算，再次用肖维勒准则判断，直至全部符合判据重新计算，再次用肖维勒准则判断，直至全部符合判据注意：肖维勒准则以大数据量为前提，注意：肖维勒准则以大数据量为前提，n<10时，不适宜采用时，不适宜采用莱特准则和肖维勒准则都是基于莱特准则和肖维勒准则都是基于 这个前提，这个前提，n较小时都不可靠较小时都不可靠第第8 8节节 粗大误差粗大误差 3. 格罗布斯（格罗布斯（grubbs）准则）准则 如果样本观测值中存在异常数据，它一定是最大值或最小值如果样本观测值中存在异常数据，它一定是最大值或最小值将测量数据从小到大顺序排序（将测量数据从小到大顺序排序（x(1)最小，最小， x(n)最大）构造异常值最大）构造异常值的检验统计量，通常可按照描述样本极值与样本主体之间的差异的的检验统计量，通常可按照描述样本极值与样本主体之间的差异的原则来进行原则来进行第第8 8节节 粗大误差粗大误差 第第8 8节节 粗大误差粗大误差 4. 罗曼诺夫斯基准则罗曼诺夫斯基准则—— t 检验准则检验准则 当测量次数较少时，按当测量次数较少时，按 t 分布的实际误差分布范围剔除分布的实际误差分布范围剔除粗大误差。

先剔除一个可疑的测量值粗大误差先剔除一个可疑的测量值xj，然后按，然后按 t 分布检验是分布检验是否含粗大误差否含粗大误差根据测量次数根据测量次数 n 和选取的显著度和选取的显著度 α，查，查 t 分布检验系数分布检验系数 若若 ，则剔除正确！，则剔除正确！ 如狄克松等其他准则，这些方法都是人为主观拟定，没有统如狄克松等其他准则，这些方法都是人为主观拟定，没有统一规定，都是以随机误差服从正态分布为前提，否则，可靠性一规定，都是以随机误差服从正态分布为前提，否则，可靠性受影响受影响5. 其他方法其他方法第第8 8节节 粗大误差粗大误差 第第8 8节节 粗大误差粗大误差 第第8 8节节 粗大误差粗大误差 (3)按按格罗布斯准则（格罗布斯准则（grubbs））按测得值大小排列：按测得值大小排列： 则：则： 首先怀疑首先怀疑x(1)可能含有粗大误差：可能含有粗大误差： 查表得：查表得： 由于：由于： 因此第因此第8个测量值含有粗大误差，应剔除个测量值含有粗大误差，应剔除 余下的余下的14个数据做同样的处理，直至没有粗大误差的数据。

个数据做同样的处理，直至没有粗大误差的数据 第第8 8节节 粗大误差粗大误差 第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 问题的提出：问题的提出： 误差？误差？合成合成合成合成：间接测量如何得到结果的误差？：间接测量如何得到结果的误差？：间接测量如何得到结果的误差？：间接测量如何得到结果的误差？ 分配分配分配分配：已知测量结果误差，如何分配单项误差？：已知测量结果误差，如何分配单项误差？：已知测量结果误差，如何分配单项误差？：已知测量结果误差，如何分配单项误差？ 电压测量误差电压测量误差(如如1.0级精度级精度)电流测量误差电流测量误差(如如0.5级精度级精度)测量误差的合成测量误差的合成间接计量间接计量——频标对比中的比相法测量频率频标对比中的比相法测量频率第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 一、误差的合成一、误差的合成间接测量间接测量为各直接测量参数为各直接测量参数取全微分：取全微分：误差误差 较小时：较小时：误差传递公式（绝对误差形式）误差传递公式（绝对误差形式）误差误差传递系数传递系数1、误差传递公式、误差传递公式第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 由于：由于：误差传递公式（相对误差形式）误差传递公式（相对误差形式）两端同除以两端同除以y：：第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 当测量函数为当测量函数为和、差和、差关系，求总和绝对误差关系，求总和绝对误差比较方便。

比较方便 当测量函数为当测量函数为积、商、开方、乘方积、商、开方、乘方关系时，关系时，求总和相对误差比较方便求总和相对误差比较方便第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 例例1：：例例2：：第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 系系统统误误差差分分类类按误差出现规律按误差出现规律按对误差掌握程度按对误差掌握程度定值系统误差定值系统误差变值系统误差变值系统误差已定系统误差：已定系统误差：未定系统误差：未定系统误差：线性系差线性系差周期系差周期系差复杂系差复杂系差误差绝对值和符误差绝对值和符号已经确定号已经确定误差绝对值和符号误差绝对值和符号未能确定，但可估未能确定，但可估计出误差范围计出误差范围上述讲解上述讲解的合成类型的合成类型合成复杂、难以计合成复杂、难以计算，修正或消除算，修正或消除一般按随机误一般按随机误差合成方法差合成方法二、系统误差的合成二、系统误差的合成第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 合成方法：合成方法：（（1）定值系差：）定值系差：（（2）变值系差：）变值系差：不是常数，合成复杂，难以计算不是常数，合成复杂，难以计算对于未定系差：对于未定系差：通常按随机误差的合成方法。

通常按随机误差的合成方法第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 三、随机误差的合成三、随机误差的合成 随机误差通常用随机误差通常用标准差标准差σ或或极限误差极限误差δlim来来表示，随机误差的合成主要是在一定测量条件表示，随机误差的合成主要是在一定测量条件下的下的标准差标准差或或极限误差极限误差的合成换成换成第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 1、随机误差传递公式、随机误差传递公式对对xi多次重复测量多次重复测量n次：次：纵向归纳可得纵向归纳可得(根据误差传递公式根据误差传递公式)：： 第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 将以上各式一一平方后得：将以上各式一一平方后得：第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 将各式相加后再除以将各式相加后再除以n得：得：第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 由于相关系数由于相关系数 为：为：代入上式：代入上式： 相关系数相关系数ρ反映了各随机误差分量相互间的关联对函数反映了各随机误差分量相互间的关联对函数总误差的影响总误差的影响 若若n适当大，且各测量值的随机误差相互独立时，相关适当大，且各测量值的随机误差相互独立时，相关系数系数ρij为零，则独立测量的合成误差为：为零，则独立测量的合成误差为：第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 随机误差传递公式随机误差传递公式 ：： （（ρρ=0=0））（（ρ≠0））第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 2、随机误差的合成方法、随机误差的合成方法Ø标准差合成标准差合成Ø极限误差合成极限误差合成随机误差的合成形式包括：随机误差的合成形式包括：第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 A、标准差合成、标准差合成§ q个单项随机误差，标准差个单项随机误差，标准差 § 误差传递系数误差传递系数 Ø由间接测量的显函数模型求得由间接测量的显函数模型求得 Ø 根据实际经验给出根据实际经验给出 Ø知道影响测量结果的知道影响测量结果的误差因素误差因素　　　　 而不而不知道每个　知道每个　 和和 第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 B、极限误差合成、极限误差合成单项极限误差单项极限误差: : § 单项随机误差的标准差 § 单项极限误差的置信系数 合成极限误差合成极限误差: : § 合成标准差 § 合成极限误差的置信系数 合成极限误差计算公式合成极限误差计算公式单项极限误差单项极限误差第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 应用极限误差合成公式时，应注意：应用极限误差合成公式时，应注意：§根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成即可进行极限误差的合成 §各个置信系数各个置信系数 、、 不仅与置信概率有关，而且与随不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关机误差的分布有关 §对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同的各个置信系数相同 §对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同的各个置信系数也不相同 第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 当各个单项随机误差均服从正态分布、各项误差相互当各个单项随机误差均服从正态分布、各项误差相互独立时，此时合成的总误差接近于正态分布独立时，此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差：合成极限误差： 若和§各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式广泛使用的极限误差合成公式 时：此时第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 例例1：： ，三个测量量相互独立，求结果的随机误差，三个测量量相互独立，求结果的随机误差 重复重复30次测量，次测量， 重复重复8次测量，两个测量量独立。

次测量，两个测量量独立 例例2：： 求置信概率求置信概率95%时的时的 t分布分布正态分布正态分布第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 代入下式求解：代入下式求解： 项数项数q较小，且第较小，且第2项误差不服从正项误差不服从正态分布故计算态分布故计算k时按时按t分布计算分布计算第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 3、误差间的相关关系和相关系数、误差间的相关关系和相关系数（（1）误差间的线性相关关系）误差间的线性相关关系 误差间的线性关系是指它们具有线性依赖关系，这种依误差间的线性关系是指它们具有线性依赖关系，这种依赖关系有强有弱，强弱关系由相关系数决定赖关系有强有弱，强弱关系由相关系数决定正相关，一误差增大，另一误差的取值也增大正相关，一误差增大，另一误差的取值也增大 负相关负相关 完全正相关完全正相关 完全负相关完全负相关 完全不相关完全不相关 第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 a)观察法：观察法：b) 用多次测量的用多次测量的对应值（对应值（xi, xj）作）作图图（（2）相关系数的确定）相关系数的确定第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 b) 简单计算法（点阵计算法）：简单计算法（点阵计算法）：（点数太少时不精确）（点数太少时不精确）（点数左右均分）（点数左右均分）点点数数上上下下均均分分第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 c) 直接计算法：直接计算法：第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 四、系统误差与随机误差的合成四、系统误差与随机误差的合成不同性质的多项系统误差与随机误差的综合问题不同性质的多项系统误差与随机误差的综合问题1、按标准差合成（只考虑、按标准差合成（只考虑未定系统误差未定系统误差和和随机误差随机误差）） 设设s个未定系统误差项，个未定系统误差项，q个随机误差，误差的传递系数均为个随机误差，误差的传递系数均为1，各误差之间互不相关，则，各误差之间互不相关，则测测量量结结果果总总的标准差的标准差第第i项项未未定定系系统统误误差的标准差差的标准差第第j项项随随机机误误差的标准差差的标准差若若n次重复测量，需次重复测量，需除以次数除以次数n第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 2、按极限误差合成、按极限误差合成r个单项已定系统误差，误差值为个单项已定系统误差，误差值为 s个单项未定系统误差，极限误差为个单项未定系统误差，极限误差为 q个单项随机误差，极限误差为个单项随机误差，极限误差为 若各误差传递函数均为若各误差传递函数均为1，且互不相关则：，且互不相关则：合合成成后后总总极极限限误误差的置信系数差的置信系数各各单单项项极极限限误误差的置信系数差的置信系数第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 若各测量值是采用多次重复测量获得，合成中的随若各测量值是采用多次重复测量获得，合成中的随机误差项应除以机误差项应除以n，而未定系统误差不具有此特点：，而未定系统误差不具有此特点：第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 例：例： 用用TC328B型天平，型天平， 3个标准砝码称一不锈钢球质量，一个标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量次称量得钢球质量M＝＝14.004g，分析测量结果的标准差。

分析测量结果的标准差解：解： 测量结果的主要误差分析如下：测量结果的主要误差分析如下：1、随机误差、随机误差 天平示值变动性（如读数不准）所引起的误差，通过多次重复测天平示值变动性（如读数不准）所引起的误差，通过多次重复测量同一球的质量，用贝赛尔公式可计算量同一球的质量，用贝赛尔公式可计算σ1 （假设为（假设为0.05mg）；）；2、未定系统误差、未定系统误差       标准砝码误差标准砝码误差和和天平示值误差天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差均属未定系统误差 计算如下：计算如下： 第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 ①①　砝码误差　砝码误差: : 天平称量时所用的标准砝码有三个，天平称量时所用的标准砝码有三个，即即10g10g的一个，的一个，2g2g的两个，标准差分别为的两个，标准差分别为: :故三个砝码组合使用时，质量的标准差为故三个砝码组合使用时，质量的标准差为 ② ② 天平示值误差天平示值误差 该项标准差为该项标准差为: : 三项误差互不相关，且各个误差传递系数均为三项误差互不相关，且各个误差传递系数均为1 1，因此误，因此误差合成后可得到测量结果的总标准差为差合成后可得到测量结果的总标准差为 最后测量结果应表示为（１倍标准差）：最后测量结果应表示为（１倍标准差）： 第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 五、误差分配五、误差分配　 给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差，是给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差，是误差合成的反问题（在误差分配时，误差合成的反问题（在误差分配时，随机误差随机误差和和未定系统误差未定系统误差同等看待）。

同等看待） 假设各误差因素皆为假设各误差因素皆为随机误差（已修正定系差）随机误差（已修正定系差），且互不，且互不相关，有：相关，有： 若已经给定　若已经给定　 ，如何确定，如何确定 Di 或相应的或相应的  i , ,使其满足使其满足式中，式中， 称为部分误差，或局部误差称为部分误差，或局部误差第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 1 1、按等影响原则分配误差、按等影响原则分配误差 等影响原则等影响原则： 各分项误差对函数误差的影响相等，即 由此可得： 或用极限误差表示： § 函数的总极限误差 § 各单项误差的极限误差 进行误差分配时，一般应按照下述步骤：进行误差分配时，一般应按照下述步骤：第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 　　 调整思路：调整思路：在等影响原则分配误差的基础在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整对上，根据具体情况进行适当调整对难以实现难以实现测量的误差项适当扩大测量的误差项适当扩大，对，对容易实现的误差项容易实现的误差项尽可能缩小尽可能缩小，其余误差项不予调整。

其余误差项不予调整 2 2、按可能性进行各分项误差的调整、按可能性进行各分项误差的调整 第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 例：一圆柱体直径例：一圆柱体直径D标称值标称值20mm，高，高h标称值标称值50mm，，测量圆柱体的测量圆柱体的实际实际体积体积, 要求相对误差不超过要求相对误差不超过1%【解】【解】 计算体积 体积的绝对误差: 第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 ①① 等作用分配：等作用分配： 测量直径测量直径D的精度要求高，而测高度精度要求低可根的精度要求高，而测高度精度要求低可根据上述计算选择合适精度的测量仪器据上述计算选择合适精度的测量仪器得到测量直径得到测量直径 D 与高度与高度 h 的极限误差的极限误差:第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 用这两种量具测量的体积标准误差合成为用这两种量具测量的体积标准误差合成为: : 因为: 　 查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测高　　 　 ，在50mm测量范围内的极限误差为　　 　；用0.02mm的游标卡尺测直径　　　 　，在20mm范围内的极限误差为　 　　 。

　综合考虑仪器精度和测量范围后选定的两个测量仪器，显然采用的量具准　综合考虑仪器精度和测量范围后选定的两个测量仪器，显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整确度偏高，选得不合理，应作适当调整第第9 9节节 误差合成与分配误差合成与分配 　 若改用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度，在50mm测量范围内的极限误差为　 　　此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿 ②② 调整后的测量极限误差：调整后的测量极限误差：调整后的实际测量极限误差为：因为： 调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度 本章小节本章小节 1 1、标准差的四种估计法、标准差的四种估计法2 2、单次测量结果的精度指标、单次测量结果的精度指标3 3、多次测量结果的精度指标、多次测量结果的精度指标4 4、、不等精度测量的均值和精度的求解不等精度测量的均值和精度的求解( (重点重点) )5 5、定值系差的发现方法两种（对比检定法、均值与标准差比较法）、定值系差的发现方法两种（对比检定法、均值与标准差比较法）6 6、变值系差的发现（马林科夫、阿贝、标准偏差不同公式检算法）、变值系差的发现（马林科夫、阿贝、标准偏差不同公式检算法）7 7、粗大误差的发现（、粗大误差的发现（3σ3σ准则、肖维勒准则、格罗布斯准则、准则、肖维勒准则、格罗布斯准则、t t检验检验 准则）准则）8 8、系统误差的合成、随机误差的合成、以及二者之间的合成公式、系统误差的合成、随机误差的合成、以及二者之间的合成公式9 9、误差分配方法（按等影响原则分配误差、误差分配方法（按等影响原则分配误差 、按可能性进行各分项、按可能性进行各分项 误差的调整）误差的调整） 练习：练习：用两种方法测量电流如下用两种方法测量电流如下 求被测量电流的数值及精度？问测量数据是否存求被测量电流的数值及精度？问测量数据是否存在定值系差（置信概率在定值系差（置信概率95%）？）？。