现代控制理论 3-3 线性系统的可观性 3-4 可控可观标准型.pdf

1caetcycaetcy建模建模建模建模分析分析分析分析设计设计设计设计状态空间 表达式状态空间 表达式状态反馈状态反馈状态观测器状态观测器最优控制最优控制可控性可控性可观性可观性稳定性稳定性求解求解建立建立转换转换现代控制理论提纲现代控制理论提纲线性连续系统线性连续系统线性离散系统线性离散系统返回返回caetcycaetcy第三章第三章第三章第三章 线性系统的可控性与可观性线性系统的可控性与可观性线性系统的可控性与可观性线性系统的可控性与可观性§§1 可控、可观测性的概念§可控、可观测性的概念§2 线性系统的可控性线性系统的可控性§§3 线性系统的可观测性线性系统的可观测性§§4 线性系统的可控与可观测标准型线性系统的可控与可观测标准型2caetcycaetcy举例举例1xu ∫2y=∫11x &2x &2x−−y＝＝x1，故故 x1 可观测；可观测；x2 与与 y 之间没有任何联系，之间没有任何联系， x2不可观不可观测系统不完全可观不完全可观！！caetcycaetcy一，线性一，线性一，线性一，线性连续连续连续连续系统的可观测性系统的可观测性系统的可观测性系统的可观测性定义定义定义定义二二二二, , , , 线性线性线性线性定常定常定常定常连续连续连续连续系统的可观测性系统的可观测性系统的可观测性系统的可观测性判据判据判据判据三，线性三，线性三，线性三，线性离散离散离散离散系统的可观测性系统的可观测性系统的可观测性系统的可观测性定义定义定义定义四，线性四，线性四，线性四，线性定常定常定常定常离散离散离散离散系统的可观测性系统的可观测性系统的可观测性系统的可观测性判据判据判据判据返回返回3caetcycaetcy给定初始时刻，如果存在有限时刻给定初始时刻，如果存在有限时刻tTt ∈0011,ttTtt>∈向量的向量的初值初值，则称系统在内完全可观测。

则称系统在内完全可观测 )0tx[]10,tt一、线性连续系统可观测性的定义一、线性连续系统可观测性的定义一、线性连续系统可观测性的定义一、线性连续系统可观测性的定义( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎩⎨⎧ ==∈=00,, xxxCyxAx ttttTttttt&对于所有的，系统输出能对于所有的，系统输出能唯一地唯一地确定状态确定状态[]10,ttt∈( )ty返回返回caetcycaetcy( )( ) ( )( )⎩⎨⎧ == tttt CxyAxx &( )( )00ttCxy=( )( )11ttCxy=M当当输出输出个数与个数与状态状态个数个数相等相等，且，且C 阵可逆时，状态观测值可以立刻获得：阵可逆时，状态观测值可以立刻获得：( )( )ttnnyCx1− ×=说 明说 明说 明说 明当当输出输出个数个数少于少于状态状态个数时，状态观测值需要一定的时间来确定，即：个数时，状态观测值需要一定的时间来确定，即：()( )001tettxCA−=——由由输出输出测量值求测量值求状 态初值状 态初值，再由状态初值 求，再由状态初值 求状态任意时刻的值状态任意时刻的值。

)()( )00tetttxxA−=( )( )( )tttxxy⇒⇒0定义定义4caetcycaetcy二、线性定常连续系统的可观测性判据二、线性定常连续系统的可观测性判据二、线性定常连续系统的可观测性判据二、线性定常连续系统的可观测性判据? 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据线性定常连续系统完全可观线性定常连续系统完全可观⇔使格拉姆矩阵非奇异使格拉姆矩阵非奇异)∫Δ101, 0ttTtdteetTAACCM存在存在01>t返回返回caetcycaetcy? 秩判据秩判据阶阶可观测性矩阵可观测性矩阵nnq×nrankranknT==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−ACACACVdim1M多多输出：输出：阶阶可观测性矩阵可观测性矩阵nn×nrankranknT==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−AcAcAcVdim1M单单输出：输出：条件满足即可， 不必写出所有的行条件满足即可， 不必写出所有的行条件满足即可，条件满足即可， 不必写出不必写出所有的行所有的行返回返回5caetcycaetcyxyxx⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡−= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=121110,342100010 &例：判别下列系统的可观性。

例：判别下列系统的可观性⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡−= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=121110,342100010CA= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ =2CACAC V3== nrankV系统系统完全可观！完全可观！（后续元素不必计算）（后续元素不必计算）解:解: ? 秩判据秩判据前三行已使前三行已使 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−M442121110caetcycaetcy例：判别下列系统的可控性和可观性例：判别下列系统的可控性和可观性⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ −=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡−+⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡2121212121 1101,01121111 xxyyuuxxxx &&=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ CACrank[]=ABBrank解:解: ? 秩判据秩判据系统系统可观可观！系统！系统可控可控！！⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ −−−13011112rank⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−20111101rank2=2=6caetcycaetcy? PBH 秩判据秩判据ninranki,, 2 , 1 dimL===⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ −AAIC λA 的特征值的特征值⇔线性定常连续系统完全可观或者线性定常连续系统完全可观或者nsrank==⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ −AAICdimPopov-Belevitch-Hautus TestsPopov-Belevitch-Hautus Tests返回返回caetcycaetcy? PBH 特征向量判据特征向量判据A 不能有与不能有与C 所有的所有的行行正交的非零正交的非零右右特征向量特征向量0 0 ,≡⇒==αCααAαλ⇔线性定常连续系统完全可观线性定常连续系统完全可观Popov-Belevitch-Hautus Eigenvector TestsPopov-Belevitch-Hautus Eigenvector Tests返回返回7caetcycaetcy? 特殊形式判据特殊形式判据BuΛxx+=&(1) A 为对角阵为对角阵(2) A 为约当阵为约当阵BuJxx+=&返回返回caetcycaetcyDuCxyBuΛxx +=+=&⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nλλλLMMMMLL00000021Λ(1) A 为对角阵为对角阵? C 矩阵的列不全为零矩阵的列不全为零? C 矩阵矩阵的的列列不全为零不全为零返回返回8caetcycaetcyubb ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡+⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=2121xxλλ&ubxxubxx22221111 +=+=λλ &&[]x01cy =11xcy =y1c1x1x &∫1λ2x &2x∫2λu2b1b系统系统不可观测！不可观测！y与无任何联系与无任何联系2x与无任何联系既未直接反映在中，也未通过间接反映在中与无任何联系既未直接反映在中，也未通过间接反映在中2xy1xycaetcycaetcy对角阵含有相同元素时，要求更高！对角阵含有相同元素时，要求更高！⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211λλλ注 意注 意A 的的两重两重特征值有特征值有两个两个 独立的独立的特征向量特征向量? C 矩阵的列线性无关矩阵的列线性无关? C 矩阵矩阵的的列列线性无关线性无关or:秩判据or:秩判据nrankn=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−1CACACM返回返回9caetcycaetcy有全零列系统有全零列系统不可观不可观！！[]⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ −−=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡212121011002xxyxxxx &&1，，[]⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡212121111001xxyxxxx &&2，，2dim11111=∈ ,( )ky[]ml ,唯一地确定，则称系统在时刻唯一地确定，则称系统在时刻完全可观测完全可观测。

l0x14caetcycaetcy四、线性定常离散系统的可观测性判据四、线性定常离散系统的可观测性判据四、线性定常离散系统的可观测性判据四、线性定常离散系统的可观测性判据? 秩判据秩判据()( )( ) ( )( )( )⎩⎨⎧ +=+=+ kkkkkk DuCxyHuGxx1多多输出：输出：nrankn==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−GCGCGCdim1M阶阶可观测性矩阵可观测性矩阵nnq×条件满足即可，不必写出所有的行条件满足即可，不必写出所有的行条件满足即可，条件满足即可，不必写出不必写出所有的行所有的行caetcycaetcy单单输出：输出：nrankn==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−GcGcGcdim1M阶阶可观测性矩阵可观测性矩阵nn×15caetcycaetcy例：判别下列线性定常离散系统的可观性例：判别下列线性定常离散系统的可观性)( )( )[]( )kkykkxxx010 ,203120101 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ −− =+= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2cGcGcrank系统系统可观可观！！? 秩判据秩判据返回返回= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ −043120010rank3解:解:caetcycaetcy解:解:( )[]( )kkyx010=——第第k步可由输出确定状态变量步可由输出确定状态变量( )ky( )kx2物理含义：物理含义：返回返回( )kx2=例：判别下列线性定常离散系统的可观性。

例：判别下列线性定常离散系统的可观性)( )( )[]( )kkykkxxx010 ,203120101 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ −− =+系统系统可观可观！！()=+1ky( )( )kxkx322+−=()12+kx——第第k +1步可以确定状态变量步可以确定状态变量( )kx3 返回返回16caetcycaetcy解:解:物理含义：物理含义：返回返回例：判别下列线性定常离散系统的可观性例：判别下列线性定常离散系统的可观性)( )( )[]( )kkykkxxx010 ,203120101 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ −− =+系统系统可观可观！！()()222+=+kxky( )( )[]( )( )kxkxkxkx31322322+++−−=( )( )kxkx1234+=——第第k +2步可以确定状态变量步可以确定状态变量( )kx1()()11232+++−=kxkx前页前页前页前页caetcycaetcy( )ky( )kx1( )kx2( )kx3()1+ky()2+ky( )kxk1+k2+k前页前页三阶系统，最多三步可由输出的测量值确定三个状态变量。

三阶系统，最多三步可由输出的测量值确定三个状态变量 )()()21++kykyky、、( )( )( )kxkxkx321、、题题17caetcycaetcy注 意：注 意：连续系统可控或可观，连续系统可控或可观，离散化离散化后后不一定不一定可控、可观！可控、可观！例：已知连续系统动态方程，讨论其可控、可观性例：已知连续系统动态方程，讨论其可控、可观性[]⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡+⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ −=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡2121 2 2101 ,10 010 xxyuxx xxω&&[]20110==⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=nrankrankAbb系统系统可控可控！该系统是！该系统是可控标准型可控标准型，一定可控！，一定可控！21001==⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡nrankrankcAc系统系统可观可观！！解:解:caetcycaetcy将该连续系统离散化，再讨论其可控、可观性将该连续系统离散化，再讨论其可控、可观性。