复数问题中的错误辨析.pdf

奠基·理齑幸辨析 i 复数问题中的错误辨析 孙兆芬 在数学发展史上，虚数被认为是“人类 意识的创造物”的典型之一．虽然在高斯等 数学家建立了复平面(又称高斯平面)后，复 数(虚数)已经被赋予了明确的几何意义，成 为“可感可见”的点或向量，但是人们仍然延 续了先前的习惯，称虚部不为零的复数为 “虚数”．这里我们可以知道，虚数是复数，实 数也是复数．用集合的语言说，实数集是复 数集的真子集． 现在，复数已经在多个科学部门和高科 技领域(比如航天、电子等)得到应用，复数 已经成为非常重要的工具．当然就中学生而 言，只要求掌握复数的最基础知识，即复数 的概念、代数形式的四则运算和简单的几何 意义，会做简单题就可以了(用高考试题的 标准看，就是会解“容易题”)．但是，由于复 数概念的抽象度较高、同学们对复数接触较 少，又加上我们的“实数观念”非常强大，所 以对复数概念的理解、法则的应用、意义的 辨识往往会出现不到位、不准确、不明晰的 现象．所以有必要进行有针对性的专门训 练．下面我们通过典型错误的辨析，来达到 对相关内容的复习与强化． 一、复数的概念：包含实数不同 于实数 例1 复数z满足 一 ，求z的 虚部． 错解 z=== 一 1(3+i)，则 的虚 部等于 i． 分析 复数的概念不清，形如z— + bi(a，bE R)，其中b叫做复数z的虚部，不 是bi． 正解 由z一 一 1(3+i)，则z的 虚部等于 ． 例2 已知复数z一 +(口z一 5a一6)i(口E R)，试求实数日为什么值时， 为纯虚数? 错解由 一0得n一1或口 一6． 分析 复数z=aq-bi(a，bE R)为纯虚 数的充要条件是 二者缺一不可， ● l6≠0， 上述解法缺少条件6≠0． fa 一7a+6—0， 正解 由{口+1≠0， 得n一1．所 ln2～5三一6≠o 以，当a一1时，z为纯虚数． 例3 在复数集内解关于z的方程 奠基·理解辛l}析 (z 一3x+2)+(z 一4z+3)i一0． 分析 立的前提是a，b，C，d∈R，但本题中的z不一 定是实数，也可能是虚数． 正解 由(z 一3z+2)+(X 一4x+ 3)i一0得(z一1)[(z一2)+(z一3)i3—0，解 出z一1或(-z一2)+(z一3)i一0，即有 —l 正解＼1l一+ii) +, ,~而q-,v／3i—i + ± ± 一一i+i一0． 例5关于z的方程z z+(n+2i)z+4 +ai一0(口∈R)有实根，求a的取值范围． 错解 判别式△一(a+2i) 一4(4+ 口i)一口 一20≥0，解得口≥2 或口≤一2 ． 分析 系数为实数的一元二次方程根 的情况判定，可以用判别式来判断，但本题 是系数为复数的一元二次方程，对于复数集 E的一元二次方程＆-z +6z+c—o(nvaO)是 或z一 ． 否存在实数根，条4~-A=bz一4ac4ac≥o既不是 戥z一— ． 省仔仕头烈恨，余 一 U耽小是 对于复数概念题，弄清虚部概念、复数 充分的，也不是必要的，此类题目应利用复 分类标准、复数相等的充要条件，将复数问 数的运算法则来计算· 题转化为实数问题．这是解决复数问题一种 正解 设方程的一个实根为尼，则有 行之有效的方法． 忌。

ale+4+(2k+a)i一0，即有 f是 +ak+4—0 二、复数的运算：四则运算法则与实 2忌+ 一0， 解得n一±4· 数相同分数指数幂有本质区别 例4计算： 11_I／-+-i'~ ~，3#g一+√2i,／gi． 三、复数的几何意义：联系向量 来认识 错解 1一+ii) +,而／g+vgi一 r(14-i) ] ． ， 、 ，． 四边形ABCD的对角线BD所对应的复数． 1丽J F ‘ 错解1 设D(32， )，由已知条件 分析 错误原因是将实数的指数运算 A(一3，一2)，B(一4，5)，C(2，1)，因为四边 推广到了复数范围内，而对于分数指数幂， 这是不允许的．作为中学生，虚数运算仅仅 限制在加、减、乘、除四则运算范围之内，不 要求进行虚数的分数指数运算． 22基 一 “￡ 弦 y 弧t “： 形ABCD是平行四边形， 则有 一 ，即有(z+3， +2)一(6， 一4)，从而z一3， 一一6．所以，BD所对应 的复数为3—6i． 得 件 条 的 等 相 数 复 z 由 ，贝， 一 一 解++ 错 成 f 一 一 口 6 r●● 、l 甘 + C 一 6 卜 口 数 复 错解2 利用一4十5i一(一3—2i)+2 +i一1+8i． 分析 对于本题错解1将复数a+bi (n，b∈11)与复平面内点(a，6)一一对应，利 用复数对应的点坐标(a，6)满足的条件进行 解题，但审题不清，错将D点对应的复数作 为解题结果．对于错解2的情况，原因在于 弄不清楚题意，读不懂题目，同时不能利用 图形合理解题，思维混乱． 正解 设D(32，3，)，由已知条件 A(一3，一2)，B(一4，5)，C(2，1)，因为四边 形ABCD是平行四边形， 则有 一 ，即有(z+3， +2)一(6， 一4)，从而-z一3，Y一一6． 所以，商一(7，一11)，则平行四边形 ABCD的对角线BD所对应的复数为7 —11i． { ， 例7 复数z满足条件l z一2i I— f 3+4iI，求复数z在复平面上对应点的轨迹． 错解 由}z一2i l—l 3+4i l得，复数 在复平面上对应点的轨迹是点(0，2)和点 (3，4)的垂直平分线． 分析 解题过程中将条件错当成l z一 2il—I 一(3+4i)I，这类复数题可以用复数 的代数形式来解决，也可以用复数减法的几 何意义来解决． 正解1 设 — + i( ，YE R)，则代 人l z一2i l—I z一(3+4i)l可得z。

一2) 奠基·理解释析… 一25，所以，复数 在复平面上对应点的轨 迹是以(0，2)为圆心，5为半径的圆． 正解2 由l z一2i l表示复数 所对应 的点与(0，2)之间的距离，由{34-4iI表示(3， 4)与(0，0)之间的距离，则I 3+4i l===5．所以， 复数 在复平面上对应点的轨迹是以(0，2) 为圆心，5为半径的圆． 目前我们学习过的最大数系就是复数 系，它是实数系的自然扩充．扩充为复数系 后，保留了实数的许多基本性质，也带来了 许多新的性质，因而一些实数集内无法解决 的问题可以得到解决．但是，对于纯粹的两 个实数之间的关系，原有的实数性质都是保 留的(这也是所有的数学推广所遵循的一个 原则)．而对于实数，我们是非常熟悉的．因 此，解决复数问题有一个重要的法则，就是 “复数问题实数化”，也就是把复数的问题化 为实数问题来解决．但是，在复数集内不可 以随意使用实数的性质． 总结一下，复数问题解决方法主要有四 种：(1)实数化：利用复数相等的条件，将复 数问题转化为实数问题；(2)坐标化：实数与 数轴上的点是一一对应的；类似地，复数a+ bi(a，bEli)与复平面内点(a，6)是一一对应 的，这样可由复数对应的点的坐标(口，6)满 足的条件进行解题；(3)向量化：复数n+bi (＆，bEIi)与复平面内点Z(a，6)是一一对应 的，故与复平面内的向量0 也是一一对应 的，由此理解复数加减法的几何意义；(4)图 形化：利用数形结合的思想，将复数问题转 化为几何图形问题求解．做好上述几点，复 数问题就可以得到解决． 黼■ 黛 黛黛 ㈣Ⅲ ^ _ {{ } # _ {^ f}… ll P “ “ “川f“ 。