
复变函数与积分变换.ppt
18页 §4.3 §4.3 泰勒级数泰勒级数z0Kzrz按柯西积分公式, 有且z0Kzrz由解析函数高阶导数公式,上式可写成z0Kzrzz0Kzrz在K内成立, 即 f (z)可在K内用幂级数表达.q与积分变量z无关, 且0q<1. K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.因此, 下面的公式在K内成立:称该等式为f (z)在z0点的泰勒展开式, 它右端的级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数. 圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0点的泰勒展开式在圆域 |z-z0| 即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)例如:推论推论3 3::例如:而如果把函数中的x换成z, 在复平面内,函数它有两个奇点i, 且都在此函数展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1 因此,即使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制 在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复变函数中就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式的成立必须受 的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都可导,且有确定的函数值。
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