第6章-结构的位移计算和刚度课件.ppt

第六章 结构的位移计算和刚度校核第一节 轴向拉压杆的变形计算一、拉压杆的变形及应变一、拉压杆的变形及应变一、拉压杆的变形及应变一、拉压杆的变形及应变纵向变形纵向变形 长度量纲长度量纲FP FP all1a1横向变形横向变形轴向拉伸和压缩 为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆件的变形程度，将杆件的纵向变形量件的变形程度，将杆件的纵向变形量l 除以杆的原长除以杆的原长l，得到杆件单位长度的纵向变形得到杆件单位长度的纵向变形横向线应变横向线应变 线应变线应变-每单位长每单位长度的变形，无量纲度的变形，无量纲纵向线应变纵向线应变 FP FP all1a1轴向拉伸和压缩 二、泊松比二、泊松比 从上述分析我们已经知道：杆件在轴向拉（压）变形时，从上述分析我们已经知道：杆件在轴向拉（压）变形时，纵向线应变纵向线应变与横向线应变与横向线应变总是正、负相反的总是正、负相反的 通过实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超过材料的通过实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变比例极限时，横向线应变与纵向线应变与纵向线应变的比值的绝对值的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称为为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数泊松比或横向变形系数。

用用表示或或 泊松比泊松比是一个无单位的量它的值与材料有关，可由是一个无单位的量它的值与材料有关，可由实验测出实验测出 轴向拉伸和压缩三、胡克定律三、胡克定律 当杆内应力不超过材料的某一极限值（当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极限比例极限”）时）时引进比例常数引进比例常数E E称为材料的称为材料的弹性模量弹性模量，可由实验测出量纲与应力相同可由实验测出量纲与应力相同 从式可推断出：对于长度相同，轴力相同的杆件，分母从式可推断出：对于长度相同，轴力相同的杆件，分母EA越大，杆的纵向变形越大，杆的纵向变形l就越小，可见就越小，可见EA反映了杆件抵抗反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为拉（压）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度杆件的抗拉（压）刚度胡克定律胡克定律轴向拉伸和压缩 若将上式的两边同时除以杆件的原长若将上式的两边同时除以杆件的原长l，并将代入，于是，并将代入，于是得得胡克定律胡克定律 表明：在弹性范围内，正应力与线应变成正比比例表明：在弹性范围内，正应力与线应变成正比比例系数即为材料的弹性模量系数即为材料的弹性模量E轴向拉伸和压缩 例例 一矩形截面钢杆，其截面尺寸一矩形截面钢杆，其截面尺寸bh=3mm80mm，材，材料的料的E=200GPa。

经拉伸试验测得：在纵向经拉伸试验测得：在纵向100mm的长度内，的长度内，杆伸长了杆伸长了0.05mm，在横向，在横向60mm的高度内杆的尺寸缩小了的高度内杆的尺寸缩小了0.0093mm，试求：，试求： 该钢材的泊松比；该钢材的泊松比； 杆件所受的轴向杆件所受的轴向拉力拉力FP解：（解：（1）求泊松比求泊松比 求杆的纵向线应比求杆的纵向线应比求杆的横向线应变求杆的横向线应变求泊松比求泊松比轴向拉伸和压缩（2）计算杆受到的轴向拉力）计算杆受到的轴向拉力 由虎克定律由虎克定律=E 计算图示杆件在计算图示杆件在FP作用下任一横截面作用下任一横截面上的正应力上的正应力可求得在可求得在FP作用下，杆件横截面上的轴力作用下，杆件横截面上的轴力=E=510-4200103=100MPa又按照应力的计算公式又按照应力的计算公式FN=A=100380=24103 =24kN 该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即FN=FP，所以该杆受到的轴向外力，所以该杆受到的轴向外力FP=24kN轴向拉伸和压缩例题 v横截面面积为1000mm2的钢杆如图所示已知P=20kN，材料的弹性模量E=210GPa，试求杆的总伸长及杆下端横截面上的正应力。

v1）求内力：vN1=-PvN2=0vN3=-P第二节 荷载作用下的结构的位移计算公式FP变形：变形：结构形状的改变结构形状的改变位移：位移：结构上各点位置的移动量，结构上各点位置的移动量，杆件横截面的转动量杆件横截面的转动量位移位移线线位移位移角位移角位移水平线位移水平线位移竖向线位移竖向线位移线线位移位移结构的位移引起结构位移的原因引起结构位移的原因引起结构位移的原因引起结构位移的原因制造误差制造误差制造误差制造误差 等等等等荷载荷载荷载荷载温度温度温度温度改变改变改变改变支座移动支座移动支座移动支座移动还有什么原还有什么原还有什么原还有什么原因会使结构产因会使结构产因会使结构产因会使结构产生位移生位移生位移生位移? ? ? ?FP结构的位移相对线位移、相对角位移相对线位移、相对角位移 A、B两截面的角位移两截面的角位移 A和和 B之和称为之和称为A、B两截两截面的面的相对角位移相对角位移即即 AB = A+ B上述各种位移上述各种位移统称为统称为“广义位移广义位移”为什么要计算为什么要计算为什么要计算为什么要计算位移位移位移位移? ? ? ? C、D两点产生水平线两点产生水平线位移之和位移之和称为称为C、D两点的两点的水平相对线位移。

水平相对线位移即即 CDH = CH+ DH 结构的位移1) 1) 1) 1) 校核结构的刚度校核结构的刚度校核结构的刚度校核结构的刚度在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度 最大层间位移最大层间位移 1/800 层高3)3)3)3)为求解超静定结构提供位移条件为求解超静定结构提供位移条件为求解超静定结构提供位移条件为求解超静定结构提供位移条件2 2 2 2）施工过程中对结构的位移进行计算和监控；施工过程中对结构的位移进行计算和监控；施工过程中对结构的位移进行计算和监控；施工过程中对结构的位移进行计算和监控；结构的位移实功实功实功实功：力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功虚功虚功虚功虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功力在非自身所产生的位移上所作的功力力( (外力或内力）在因其本身引起的位移（对外力或内力）在因其本身引起的位移（对内力而言则为变形）上所作的功内力而言则为变形）上所作的功实功恒为正实功恒为正力（外力或内力）在因其它原因产生的位移力（外力或内力）在因其它原因产生的位移上作的功。

上作的功如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负单位荷载法单位荷载法单位荷载法单位荷载法虚力虚力原理的两个状态原理的两个状态位移状态位移状态 实际状态实际状态力力状态状态虚拟状态虚拟状态位移状态位移状态k位移位移由由给定的荷载、温给定的荷载、温度变化及支座移动度变化及支座移动等因素引起的等因素引起的kFPk=1力力状态状态在拟在拟求求位移位移k的方向的方向假想（虚拟）设置一假想（虚拟）设置一个单位力个单位力FPk1结构位移计算结构位移计算平面杆件结构位移计算的一般公式平面杆件结构位移计算的一般公式: 三、设置单位荷载时应注意的问题三、设置单位荷载时应注意的问题三、设置单位荷载时应注意的问题三、设置单位荷载时应注意的问题1 1、虚拟单位力、虚拟单位力F FP P1 1必须与所求位移相对应必须与所求位移相对应A A求求A A点竖向线位点竖向线位移的虚拟状态移的虚拟状态A AC C求求两点相对线位两点相对线位移的虚拟状态移的虚拟状态结构位移计算A A求求A A截面角位截面角位移的虚拟状态移的虚拟状态A AC C求两求两截面相对角截面相对角位移的虚拟状态位移的虚拟状态CABDEF求求C点水平位移的虚拟状态点水平位移的虚拟状态CABDEFBE=l求求BE杆转角的虚拟状态杆转角的虚拟状态结构位移计算CABDEFAE=BE=l求求AE、BE两杆相对转角的虚拟状态两杆相对转角的虚拟状态 2. 2. 虚拟单位力的方向可以可以任意假定，若计算结果虚拟单位力的方向可以可以任意假定，若计算结果为正，表示实际位移的方向与虚拟力的方向一致；反之，为正，表示实际位移的方向与虚拟力的方向一致；反之，则实际位移方向与虚拟力的方向相反。

则实际位移方向与虚拟力的方向相反结构位移计算位移计算公式的简化位移计算公式的简化1 1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：2 2、桁架（只考虑轴力影响）：、桁架（只考虑轴力影响）：结构位移计算3 3、拱：一般只考虑弯曲变形、拱：一般只考虑弯曲变形 对扁拱：对扁拱： （f/l=1/5）4 4、组合结构：、组合结构：结构位移计算荷载法计算结构位移的步骤：荷载法计算结构位移的步骤：(1) (1) 在拟求位移方向虚设的相应的单位荷载在拟求位移方向虚设的相应的单位荷载2) (2) 求两种状态下的内力求两种状态下的内力3) (3) 代入各种结构的位移计算公式计算代入各种结构的位移计算公式计算结构位移计算例例 杆件杆件EI=常数试求常数试求解qlAx例例 各杆各杆EI为常数求为常数求解解aaABCa2/2MP图图x1x2a例例 求图示刚架截面的水平位移求图示刚架截面的水平位移 CHCH和、两截和、两截面的相对转角面的相对转角 各杆 EI=EI=常数求求 AB杆杆(0 x1l) MP= M1 =0AC杆杆(0 x1 l/2) MP=qlx1/2-qx12/2 M1 = -1 =(1/EI)l (-1) (qlx1/2-qx12/2)dx1= - ql3/12EI()说明：说明： 注意利用注意利用 = (M1 MP /EI) ds 时，两种时，两种状态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函状态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函数也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。

数也应先规定受拉侧，以确定积分的正负 已知：各杆已知：各杆EA相同，求：相同，求：FPaaABCDABCD1【例】【解】ABCD1BDABDA例例 求图示桁架求图示桁架(各杆各杆EA相同相同)C点竖向位移点竖向位移解：解：1. 1. 建立虚设状态；建立虚设状态；2. 2. 分别求两种状态各杆轴力；分别求两种状态各杆轴力；3. 3. 由公式计算位移：由公式计算位移：结构位移计算FNP0FP0CD竖杆竖杆AD下弦下弦 FPAC上弦上弦 （kNm）FNP（kN）(l/m)杆杆 件件BDABDA结构位移计算第三节 图乘法yxMPdxxM微面积d=ABMP图(1)因为是直杆，所以因为是直杆，所以 可用可用dx代替代替ds2)因为因为EI是常数，所以是常数，所以 EI可可提到积分号外提到积分号外3) 为直线变化，故为直线变化，故(4) 有有常数=tan = 表示整个表示整个MP 的面积对的面积对y轴的静矩轴的静矩图乘法xCCyCyxMPdxxMABMP图有有 上述积分就等于上述积分就等于一个弯一个弯矩图的面积矩图的面积乘于其形心所乘于其形心所对应的另一个直线弯矩图上对应的另一个直线弯矩图上的竖标的竖标yc ，再除于，再除于EI。

若结构上各杆均可图乘，则位移计算公式为若结构上各杆均可图乘，则位移计算公式为而而图乘法1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（2）EI为常数；为常数；图乘法计算位移公式图乘法计算位移公式（3）两个）两个MP、M图中至少有一个是直线图中至少有一个是直线1) 杆轴为直线；杆轴为直线；图乘法M图图MP图图yc 2. 竖标竖标yc必须取自直线图形，而不能从折线和曲必须取自直线图形，而不能从折线和曲线中取值线中取值图乘法M图图MP图图2y21y1 若若M图与图与MP图都是直线图形，则图都是直线图形，则yc可以取自其中可以取自其中任一图形任一图形图乘法M图图MP图图3. 若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正。