一维随机变量函数的概率分布课堂PPT.ppt

 设随机变量设随机变量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (设设g是连续函数），如何由是连续函数），如何由 X 的分布求的分布求出出 Y 的分布？的分布？下面进行讨论下面进行讨论. 一般来说，随机变量一般来说，随机变量X 的函数的函数Y=g (X)仍是一个随机变量仍是一个随机变量一、离散型随机变量一、离散型随机变量函数的分布函数的分布解：解： 当当 X 取值取值 1，，2，，5 时，时， Y 取对应值取对应值 5，，7，，13，，例例1设设X求求 Y= 2X + 3 的概率函数的概率函数.～～而且而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同时发生取其对应值是两个同时发生的事件的事件，两者具有相同的概率，两者具有相同的概率.故故如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当中有一些是相同的，把它们作适当并项即可并项即可.一般，若一般，若X是离散型是离散型 r.v ，，X的概率函数为的概率函数为X ～～则则 Y=g(X)～～如：如： X ～～则则 Y=X2 的概率函数为：的概率函数为：Y ～～二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布解：设解：设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)，，例例2设设 X ~求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y )=P{ X } = FX( )于是于是Y 的密度函数的密度函数故故注意到注意到 0 < x < 4 时，时， 即即 8 < y < 16 ，， 此时此时Y=2X+8例例3设设 X 具有概率密度具有概率密度 ,求求Y=X2的概率密度的概率密度.求导可得求导可得当当 y>0 时时, 注意到注意到 Y=X2 0，故当，故当 y 0时，时，解：解： 设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，，若若则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为： 从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过的过程中，关键的一步是设法程中，关键的一步是设法从从{ g(X) ≤ y }中解出中解出X,从而得到与从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的等价的X的不等式的不等式 .例如，用例如，用 代替代替 {2X+8 ≤ y }{ X } 用用 代替代替{ X2 ≤ y } 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，从的分布，从而求出相应的概率而求出相应的概率.这是求这是求r.v的函数的分布的一种常用方法的函数的分布的一种常用方法.例例4 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求Y=sinX的概率密度的概率密度.当当 y 0时时, 当当 y 1时时, 当当时时故故解：注意到解：注意到, =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）） 解：当解：当00, 于是于是 y在区间在区间(0,1)上单调下降，有反函数上单调下降，有反函数由前述定理得由前述定理得注意取注意取绝对值绝对值已知已知X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，代入代入 的表达式中的表达式中得得即即Y服从参数为服从参数为1/2的指数分布的指数分布. 对于连续型随机变量，在求对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的的分布时，分布时，关键的一步是把事件关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转转化为化为X在一定范围内取值的形式在一定范围内取值的形式，从而可以，从而可以利用利用 X 的分布来求的分布来求 P { g(X)≤ y }.这一讲我们介绍了随机变量函数的分布这一讲我们介绍了随机变量函数的分布.稍事休息稍事休息。