数学分析(4)复习提纲(全部版).doc

1数学分析（数学分析（4）复习提纲）复习提纲第一部分第一部分 实数理论实数理论§§1 实数的完备性公理实数的完备性公理一、实数的定义一、实数的定义在集合内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称为实RR数域或实数空间1）域公理：（2）全序公理：（3）连续性公理连续性公理（Dedekind 分割原理）：设的两个子集，满足：RAA1°ΦAΦA,2°RAA3°xxAxAx,则或中有最大元而中无最小元，或中无最大元而中有最小元AAAA评注评注 域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理） ，它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理二、实数的连续性（完备性）公理二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点主要有如下几个公理：确界原理确界原理：单调有界定理单调有界定理：区间套定理区间套定理：有限覆盖定理有限覆盖定理：（Heine-Borel）2聚点定理聚点定理：(Weierstrass)致密性定理致密性定理：(Bolzano-Weierstrass)柯西收敛准则柯西收敛准则：(Cauchy)习题习题 1 证明 Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。

习题习题 2 用区间套定理证明有限覆盖定理习题习题 3 用有限覆盖定理证明聚点定理评注评注 以上定理哪些能够推广到欧氏空间？如何叙述？nR§§2 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质有界性定理有界性定理：上册 P168；下册 P102,Th16.8；下册 P312,Th23.4最值定理最值定理：上册 P169；下册下册 P102,Th16.8介值定理与零点存在定理介值定理与零点存在定理：上册 P169；下册 P103,Th16.10一致连续性定理（一致连续性定理（Cantor 定理）定理）：上册 P171；下册 P103,Th16.9；下册 P312,Th23.7习题习题 4 用有限覆盖定理证明有界性定理习题习题 5 用致密性定理证明一致连续性定理§§3 数列的上数列的上(下下)极限极限三种等价定义三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）定义N评注评注 确界定义易于理解；聚点定义易于计算；定义易于理论证明N习题习题 6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性 （P173）习题习题 7 证明上面三种定义的等价性第二部分第二部分 级数理论级数理论§§1 数项级数数项级数前言前言 级数理论是极限理论的直接延伸，但又有自身独特的问题、特点和研究方法。

上（下）极限是研究级数的一个有力工具对于数项级数，可看作有限个数求和的推广，自然要考虑如何定义其和，两个级数的和与积，结合律、交换律是否还成立等问题级数的3收敛性与无穷积分有着极大的相似性，学习时要注意二者的比较一、一、Cauchy 收敛准则收敛准则L21 1uuunn几个概念几个概念 部分和？收敛？发散？绝对收敛？条件收敛？收敛的必要条件收敛的必要条件 收敛1nnu0nu评注评注 此结论由两边取极限即得证，也可由下面的 Cauchy 收敛准则得到1nnnSSu要注意此性质与无穷积分有较大差别对于收敛的无穷积分即使也不adxxf)(0)(xf能推出（参见反常积分）)(0)(xxfCauchy 收敛准则收敛准则 收敛有1nnu,,,, 0pNnNpnnnnpnuuuSSL21思考思考 正面叙述级数发散的 Cauchy 准则加括号加括号 对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变也就是说收敛的级数满足结合律评注评注 只要认识到加括号后级数的部分和是原级数部分和的子列即可得到这一结论。

我们常常利用这一点证明一个级数的发散性，即先证明加括号的发散，从而推出原级数（去括号的）也发散二、正项级数二、正项级数正项级数的特点是部分和数列是单调递增的，由此得：基本结论基本结论 正项级数收敛其部分和有上界比较判别法比较判别法：比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式：评注评注 对于比较判别法，主要考虑充分大以后（）与的大小关系，因此极n0nn nunv4限形式更方便如果，要认识到，当充分大时，与是“等)0(limllvunnnnunv价”的，即大小“差不多” ，确切地说当时，存在正常数和使0nn 1c2c，由此如果或，它们的“大小”关系如何？nnnvcuvc21nnnucvuc210l根式判别法根式判别法 设，当时，收敛；当时，发散lunnlim1lnu1lnu比式判别法比式判别法 ，则收敛；1lim1quunnnu，则发散1lim1quunnnu习题习题 1 证明上面根式判别法习题习题 2 证明（）nnnnnn nn uuuuuu11limlimlimlim0nu推论：luluunn nnlimlim1评注评注 由习题 2 知，用比式判别法能判别的，用根式判别法一定能判别，但反之不然。

也就是说根式判别法比比式判别法更有效换言之，凡根式法无能为力时，比式法一定也无能为力但是，它们在判别发散时，却没有谁比谁有优势可言，都是用一般项不趋于零来推断的这一点要特别注意，我们在讨论幂级数的收敛半径时就要用到此结论习题习题 3 考虑级数，说明根式法比比式法更有效L332231 21 31 21 31 21评注评注 无论是比式判别法还是根式判别法，其实质都与等比级数比较的，对于ncq级数必然失效 （这种级数的通项比等比级数的通项收敛于零的速度要慢） 如ppn1果与级数比较还可以得到更细致的一些判别法，拉贝判别法就是其中之一p积分判别法：积分判别法：拉贝判别法的极限形式拉贝判别法的极限形式：习题习题 4 [P17，11（1）]用拉贝法判别级数的收敛性，并说明比式法 121 !)!2(!)!12( nnn与根式法都无效5三、一般项级数三、一般项级数评注评注 对一般项级数（有无穷多个正项，且有无穷多个负项） ，一般首先要考虑绝对nu收敛性（即是否收敛） ，如果是绝对收敛，当然原级也收敛，如果是用根式或比式nu判别法得到发散，则必发散（这在前面的评注中已经说过了） 。

nunuLeibniz 判别法判别法：Able 引理引理：，是两数组，单调，，则kkvu ,nk,, 2 , 1LkukkvvL1，其中)2(1 1nnkkkuuAvu Ak对于形如的级数，设单调，把 Able 引理用于nnba napnnkkkba1)2(21pnnaaM其中满足：MMSSbMbSb nb pnpnnkknkkb n2)()(11)(再结合 Cauchy 准则，附加适当的条件使能充分小，便可得到 Able 和)2(21pnnaaMDirichlet 判别法D 判别法判别法：（1）单调；（2）；（3）有界，则收敛 na0nanbnnbaA 判别法判别法：（1）单调；（2）有界；（3）收敛，则收敛 na nanbnnba评注评注 记住 A 和 D 判别法的关键是记住 Able 引理这两个判别法在函数项级数以及反常积分中还有不同的表现习题习题 5 用 D 判别法直接证明 Leibniz 判别法和 Able 判别法习题习题 6 讨论级数（）的收敛性L61 51 41 31 211R提示：分，，，情况讨论。

01011答案：时，收敛，其它发散1习题习题 7 利用级数收敛性，证明数列的极限存在 （注：此极限nnxnln1 211L称为 Euler 常数）L577216. 06提示：把看成某数列的部分和即，，等价地要证nx11xa ), 3 , 2(1Lnxxannn明收敛，na)1(21)]1(211[1)11ln(12222nonnonnnnnan四、绝对收敛与条件收敛级数的性质四、绝对收敛与条件收敛级数的性质重排定理重排定理：设绝对收敛，其和为，则任意重排后得到的新级数也绝对收敛且其和nuS不变Riemann 定理定理：设条件收敛，又，则一定存在的重排级数nunu，使其部分和满足：，nunSnSlimnSlim也就是说一个条件收敛的级数，适当重排后可收敛到任意指定的数，也可按任意指定的方式发散柯西定理柯西定理：设和都绝对收敛，，，则对所有乘积项nunvAunBvn按任意顺序排列得到的新级数也绝对收敛且其和等于jivuAB评注评注 两个级数的乘积最常用的是对角线排列，即0110vuvuvucnnnnL也称和的柯西乘积。

ncnunv§§2 函数项级数函数项级数前言前言 函数列是数列的推广，由函数列的收敛又可定义函数项级数的收敛数列的极限 （或数项级数的和）定义了一个数，而函数列的极限函数（或函数项级数的和函数）就定 义了一个函数，这样定义的函数往往不是初等函数我们关心的是极限函数（或和函数） 的分析性质（连续性、可微性、可积性）能否保留下来，实质是运算次序是否可交换的问 题一、函数列（函数项级数）的一致收敛一、函数列（函数项级数）的一致收敛几个概念几个概念 对于函数列：逐点收敛（也称点态收敛）？收敛域？极限函数？一致收敛？对于函数项级数如何叙述以上概念？7评注评注 逐点收敛是局部性质，完全就是数列的收敛问题而一致收敛是整体性质，是我们研究的重点思考思考 正面叙述不一致收敛用范数定义一致收敛用范数定义一致收敛 记（称为的一致范数或无穷大范数） ，)(supxff Dxf如果，则称在上一致收敛于)0(0)()(sup nxfxfffn Dxn)}({xfnD)(xf评注评注 就是两个函数的距离定义的等价性是显然的（见 P29，Th13.2） 这个定 gf义往往使用起来更方便（参见 P30，例 3） 。

二、函数项级数一致收敛的判别法二、函数项级数一致收敛的判别法Cauchy 准则准则：必要条件必要条件：一致收敛（一致）)(xun0)(xunM 判别法（控制收敛判别法）判别法（控制收敛判别法）：Able 与与 Dirichlet 判别法判别法：习题习题 8 设，在上一致收敛，证明：), 2 , 1(],,[)(LnbaCxun)(xun),(ba（1）收敛)(),(buaunn（2）在上一致收敛)(xun],[ba提示：用 Cauchy 准则评注评注 第一结论的逆否命题是判别不一致收敛的一个常用结论即设，而],[)(baCxun发散，则在必不一致收敛)(aun)(xun),(aa习题习题 9 判别下面级数的一致收敛性（1），22)ln1ln(nnnxax （2），1sinsinnxnnxx x08（3），12)(nnnnnxx] 1 , 0[x提示：（1）考虑用 M 判别法（2）考虑用 D 判别法（3）考虑用 A 判别法习题习题 10 （参见 P34，例 7）若数列单调趋于零，证明级数在内 nanxancos)2 , 0(闭一致收敛，举列说明在不一致收敛。

)2 , 0(提示：前半部分即书上例题，后半部分例如取，对应用习题 8 的结论nan1nxncos1三、一致收敛函数列（函数项级数）的性质三、一致收敛函数列（函数项级数）的性质连续性（逐项求极限。