Orlicz范数下的Hardy-Hilbert不等式周林林（绍兴文理学院 数学系 浙江 绍兴 312000）摘要：本文研究了Orlicz范数下的二元Hardy-Hilbert不等式.设，互为余函数，分别为的条件常数，则有积分型Hardy-Hilbert不等式： ,这里： ，,，及级数型Hardy-Hilbert不等式：,其中 ， , , ,，.关键词：函数；Hardy-Hilbert不等式；Young不等式；条件1 引言设p>1,1/p+1/q=1, ,0<<,0<<,则著名的级数型Hardy-Hilbert不等式为： <, (1.1)它是分析学及应用领域的重要不等式，其积分形式为： （1.2）其中p>1,1/p+1/q=1,，，由[1]知道这里的常数是最佳的.近年来（1.1）、（1.2）已被众多人所推广和研究，如杨必成等证明：设p>1,1/p+1/q=1, ,1<1,1/p+1/q=1, ,0<<,0<<,则 <, 这里为Euler常数,=0.42278433.[4]中进一步证明：<,其中,=2(1/-(2n+1)/(n+1)).关于不等式（1.2）杨必成推广为：，其中p>1,1/p+1/q=1,，，=0或-. 此外杨必成还得到了带有参数的有益推广：，其中 ，p>1, 1/p+1/q=1，利用函数，洪勇从另外的角度给出了如下多重的Hardy-Hilbert积分不等式：,其中 .另外，杨必成引入参数，对（1.2）推广如下：，其中常数因子是最佳值(是函数).通过引入参数杨必成等给出了（1.2）的又一个如下推广：，其中，常数是最佳值(是函数).匡继昌给出了（1.2）的另一个推广： ， （1.3）这里，及.杨必成沿用的方法给出了（1.2）的一个最佳常数因子的推广，从而改进了（1.3）式结果为：设 p>1,1/p+1/q=1,， ， ， 则有这里常数因子是最佳的.显然，上述结果对Hardy-Hilbert不等式的研究主要在如下两方面：对权函数的推广；向高维推广.众所周知，Orlicz方向是方向的本质性的最自然的推广，那么可否建立在Orlicz范数下上述两种不等式的推广形式? 为了回答这一问题首先叙述与Orlicz方向有关的一些概念.2与函数有关的一些结论定义1 函数：设函数为非负偶函数，并满足：，及 ，则称其为一个函数.定义2对于函数其在Young不等式定义下的余函数函数定义为，由[11]-[12]知道与互为余函数.例:则为函数，且所对应的余函数为其中 .定义3 设为函数为区域，G可以有界或无界，记,，称为而生成的Orlicz空间， 在上可以赋予下列范数Orlicz的范数及Luxemburg范数.两种范数之间有如下关系 .相应的有下列Holder不等式, ， , 如果令且， .并有下列的Holder不等式.定义4 设为函数，如果存在常数使，则称.显然满足条件.定义5 设为函数，为一无限数列.如果存在常数而使 ,则称，并定义中元素的范数为：，称为由函数而生成的Orlicz序列空间.记函数的反函数为.则有下列的不等式成立: ，(Young 不等式)； ;;,.3引理及其证明 引理1设为函数,则 ， . （3.1）证明: 因为 ，所以.引理2设为函数,则 ，.证明: 因为, 所以 .引理3 设函数，记则对有. 证明: 由于，存在而使 ,,令则,又令,则,因此, .令 则有 . (3.2)则对(3.2)两边同取反函数有 ,即.4主要定理及证明定理1 设函数及余函数均满足条件，即存在常数而使， ，则对，当时有如下的积分型Hardy-Hilbert不等式：.其中 ，. 证明: . 所以，由Young不等式及有 (4.1)由引理3 ,这样 （4.2）其中 .同理 ， （4.3）其中.由（4.1），（4.2）及（4.3）三式得 . （4.4）由引理1因而，. 定理2 设，为互余的函数，，，且，均满足条件，即，，存在常数， 则当时有下列级数型Hardy-Hilbert不等式：记 ，.证明: 由定理1的证明及Young不等式知道，所以 （4.5）再由引理3 ,因为 ,所以 （4.6）而 .同理所以 . （4.7）综合（4.5），（4.6），（4.7）三式有. （4.8）从而最后由（4.8）及引理2有 ,所以 .致谢：衷心感谢盛宝怀老师的精心指导.参考文献 [1] Hardy G H. Littlewood.J.E ＆ Polya.G,Inequality[M]. Cambridge University Press, Cambridge 1952.[2] 杨必成. 关于一个推广的Hardy-Hilbert不等式[J]. 数学年刊, 2000,2:247-254.[3] 杨必成,高明哲. 关于Hardy-Hilbert不等式的一个最佳常数[J]. 数学进展，1997,2:159-164.[4] Gao Mingzhe. On Hilbert’s Inequality and Its application[J]. J. Math.Anal.＆Appl,1997,212,2:316-323.[5] Yang Bicheng . On Generalizations of Hardy-Hilbert’s Integral Inequalities[J]. Acta Mathematica.Sinica, 1998.41(4):839-844.[6] Mitrinovic.D.S.,Pecaric,J.E.& Fink,A.M. Inequalities involving function and their integrals and derivatives[M]. Kluwer Academic Publishers,Boston,1991.[7] 洪勇. Hardy-Hilbert 积分不等式的全方位推广[J]. 数学学报,2001,44(4):619-626.[8] Yang Bicheng. On Hardy-Hilbert’s Integral Inequality[J]. J.Math.Anal.Appl.,261(2001),295-306.[9] 杨必成.一个推广的具有最佳常数的Hardy-Hilbert不等式[J].数学年刊,21A：4（2000）,401-408.[10] Kuang Jichang. On new extensions of Hilbert’s Integral inequality[J]. Math. Anal. &Appl.,235(1999),608-614.[11] 王庭辅等.Orlicz 空间几何理论[M]. 哈尔滨工业大学出版社,1986.[12] 吴从炘,王庭辅. 奥尔里奇空间及其应用[M]. .黑龙江科技出版社，1983.The Hardy-Hilbert’s Inequalities under Orlicz Norm Zhou Linlin(Department of Mathematics , Shaoxing College of Arts and Science , Shaoxing Zhejiang 312000)Abstract: The Hardy-Hilbert’s inequality under orlicz norm is investigated .Let be complentary -functions, are the constant numbers of of respectively, Then,we have following integral type Hardy-Hilbert inequality:,where ,,.We also establish following Hardy-Hilbert Inequality of series type：,where ,，, ,，.Key words: function；Hardy-Hilbert Inequality; Young Inequality； condition 第 13 页，共 13 页。
