高考高中新课标数学基础知识归纳.doc
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高中新课标数学基础知识归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值？还是函数值的取值？还是曲线上的点？… ;2.数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;3.主要性质和运算律1)包含关系:2)等价关系:3)集合的运算律:A∩ðUA=φ A∪ðUA=U ðUU=φ ðUφ=U ðUU(ðUA)=AðU(A∩B)= (ðUA)∪(ðUB) ðU(A∪B)= (ðUA)∩(ðUB)4)元素与集合的关系:,.注意:讨论的时候不要遗忘了的情况.5)集合的子集个数共有 个;真子集有–1个;非空子集有 –1个;非空真子集有–2个.4.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.5.集合个数问题(容斥原理):1)2)6.从集合到集合的映射有个.第二部分 函数与导数1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元法 ;⑥利用均值不等式; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(、、等);⑨导数法3.复合函数的有关问题:1)复合函数定义域求法:①若f(x)的定义域为则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域2)复合函数单调性的判定:①首先将原函数分解为基本函数:内函数与外函数;②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意:外函数的定义域是内函数的值域4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论5.函数的奇偶性:1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;2)是奇函数;3)是偶函数 ;4)奇函数在原点有定义,则;5)在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;7)奇偶函数的图象特征:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数．8)多项式函数的奇偶性:多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.9)可导函数,如果为奇函数,那么它的导函数是偶函数,如果为偶函数,那么它的导函数是奇函数6.函数的单调性1)单调性的定义:在区间上是增(减)函数当时;2)单调性的判定:①定义法:注意:一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;②导数法(见导数部分); 注:证明单调性主要用定义法和导数法。
设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数.③复合函数法;④图像法7.函数的周期性1)周期性的定义:对定义域内的任意,若有(其中为非零常数),则称函数为周期函数,为它的一个周期所有正周期中最小的称为函数的最小正周期如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期2)三角函数的周期① ;② ;③;④ ;⑤;3)函数周期的判定:①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用2)中结论)4)与周期有关的结论:①或 的周期为;②的图象关于点中心对称周期2;③的图象关于直线轴对称周期为2;④的图象关于点中心对称,直线轴对称周期4;⑤如果,或,或,则的周期T=2a;8.基本初等函数的图像与性质1)幂函数:(:2)指数函数的图象和性质:a>10
2)二次函数问题解决需考虑的因素:①开口方向;②二次函数的图象的对称轴方程是;顶点坐标是;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号3)二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论 二次函数()的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根 R ⑻其它常用函数:①正比例函数:;②反比例函数:;特别的,函数;9．几个常见的函数方程: (1)正比例函数,.(2)指数函数,.(3)对数函数,.(4)幂函数,.(5)余弦函数,正弦函数,,f(0)=1. 10．函数图象⑴图象作法 :①描点法(注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法;熟悉常用函数图象:例:含的函数图像关于轴对称.例如: 的图像的做法 →→ 关于轴对称,例如.⑵熟悉分式函数的图象:例:定义域,值域→值域前的系数之比.⑵图象变换:平移变换:ⅰ,———左“+”右“-”; ⅱ———上“+”下“-”;伸缩变换:ⅰ, (———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍;ⅱ, (———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的倍;对称变换:ⅰ;ⅱ;ⅲ ; ⅳ;翻转变换:ⅰ———右不动,右向左翻(在左侧图象去掉);ⅱ———上不动,下向上翻(||在下面无图象);11．函数图象(曲线)对称性的证明(一) (1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)常见函数的图象的对称性:①的图象关于直线对称;的图象关于直线对称;②的图象关于点对称,的图象关于点对称.(二)(1)证明函数与图象的对称性,即证明图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在的图象上,反之亦然;(2)两个函数的图象常见的对称性:①函数与函数的图象关于直线(即轴)对称;②函数与函数的图象关于直线对称;③函数的图象关于直线对称的解析式为;④函数的图象关于点对称的解析式为;⑤函数和函数的图象关于直线对称. 注意:①曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a－x,2b－y)=0;②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为:f(2a－x, y)=0;③曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);④f(a+x)=f(b－x)(x∈R)y=f(x)图像关于直线x=对称;⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=对称;12．函数零点的求法:⑴直接法(求的根);⑵图象法;⑶二分法.(4)零点定理:若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。
13．导数⑴①导数定义:f(x)在点x0处的导数记作;②函数在点处的导数的几何意义:函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程是⑵常见函数的导数公式: ①;②;③;④;⑤;⑥;⑦;⑧ ⑶导数的四则运算法则:⑷(理科)复合函数的求导法则: 设函数在点处有导数,函数在点处的对应点U处导数,则复合函数在点处有导数,且,或写作.⑸导数的应用:利用导数求切线:注意:ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？利用导数判断函数单调性:ⅰ 是增函数;ⅱ 为减函数;ⅲ 为常数; ③利用导数求极值:ⅰ求导数;ⅱ求方程的根;ⅲ列表得极值④利用导数求最大值与最小值:ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值瞬时速度.14．(理科)定积分 ⑴定积分的定义:⑵定积分的性质:① (常数);②;③ (其中⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式):⑷定积分的应用:①求曲边梯形的面积:; ① 求变速直线运动的路程:;③求变力做功:第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形1．弧度制的定义:角度与弧度的换算公式: 360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.一个式子中不能角度,弧度混用.弧长公式:;扇形面积公式:。
2．三角函数定义:角终边上任一点(非原点)P,设 则:3．三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦;(简记为“全s t c”)4．诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限”5．⑴ 对称轴:令,得 对称中心:; ⑵ 对称轴:令,得;对称中心:; ⑶周期公式:①函数及的周期 (A、ω、为常数,且A≠0).②函数的周期 (A、ω、为常数,且A≠0).6．同角三角函数的基本关系:7．三角函数的单调区间及对称性:⑴的单调递增区间为,单调递减区间为,对称轴为,对称中心为.⑵的单调递增区间为,单调递减区间为,对称轴为,对称中心为.⑶的单调递增区间为,对称中心为.8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式: ①;;②.(注意该公式的变形)③;④.⑤=(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ).9．二倍角公式:①.②(升幂公式).③(降幂公式).10．正、余弦定理:⑴正弦定理: (是外接圆直径 )注:①;②;③⑵余弦定理:a2=b2+c2﹣2bccosA 即cosA=b2=a2+c2﹣2accosB 即cosB=c2=a2+b2﹣2abcosC 即cosC=正余弦定理在实际中的应用求距离两点间不可通又不可视两点间可视但不可达两点都不可达求高度底部可达底部不可达题型1 计算高度 题型2 计算距离 题型3 计算角度 题型4 测量方案的设计11。
