专题八：浅谈排列组合中的分组问题.doc

浅谈分组问题在讲到“排列，组合”这部分知识的时候，都要遇到分组问题： 例如：把十个人分成两组，每组五个人，进行篮球比赛有几种分组 方法？大部分同学的答案是：0252 （种）这个答案是否正确？我 们不妨拿个最简单的例子来验证一下，两个人分成两组每组一个人， 按上面的计算方法应有C；=2 （种）方法显然这是一个错误的答案, 应该只有一种分法那么，上面的算法错在那里呢？错在把从十个人 中每次抽出五个人的一个“组合”误认为是一种“分组”把十个人 均分成两组和从十个人中每次抽出五个人的一个组合是两个既有联 系又有本质不同的两个概念，它们不是一一对应的关系我们可以这 样来考虑：假设这十个人有五个人穿白色球衣，另五个人穿红色球衣, 则按红，白分开就是一种分法而从这10个人中抽出5个穿白色球 衣的人就是从这10个人中抽出5个人的一个“组合”，再抽出5个穿 红色球衣的人，又是一个“组合”这两个“组合”对应的是同一种 分法弄清了这个问题，我们就不难知道以上问题的答案了，分法应 是：店126 （种），即两个“组合”对应一种分法还是这个问题, 若是均分成5组，每组两个人，应有多少种分法呢？我们再拿一个易 于理解的例子来研究一下：“个人均分成组“，显然只有一种分法。

而按组合的算法应有：W2••…C\-C\=n\种分组方法显然结论 错误错误出在：我们把组添加了 “顺序”，而我们的分组是不须要顺序的，因此应消去这个“顺序”分法为：GCmCh••… n\这样，前面10个人均分成5组的分法为：吐鱼|芦空= 945种结论：一般地，若有加•"个人，均分成"组，每组加个人，分组方法有:n\（种）以上我们讨论的是均分问题，还拿前面的例子来说，若不是均分, 而是一组3人，一组7人，应有多少种分法呢？显然，这时从10个 人中每次抽出3个人（或7个人）的一个组合就对应着一种分法，应 有U （或Cj°）种分法推广到一般的情况：有N个人，分成互不相m等的"2组，每组的人数依次为：…,Q”（其中工Q严N）,我们可 以分加个步骤来考虑：第一步，从N个人中抽出Q个人，有诽种取 法；第二步：从剩余的N-Q个人中取出@个人，有C爲种取法；… 第加-1：从N _Q\-Q2 e（m-2）中取出Q（”-1）个人有c袒种取法, 最后把剩余的2个人全部抽出有仓：=1种取法，完成这加个步骤后， 就完成了分组，由分步记数原理应有：（~^Q\ 厂3 厂 Q（m-l） 「Qmj XN-Q-Q） f_Q\_Q2-…-%种分组方法。

其中= 互不相等更一般地，如总人数为N,有风个组，每组q个人，有®个组, 每组“2个人，…，有®个人，每组®个人，其中gm, •叫=N可这样 来考虑：第一步：从N个人中选出厲个人，有（7畀种选法再把吟弘个人均分为％个组，应有叫鱼£种分法，从而第一步共 “!厂® .厂*® 厂"1 .厂® 「珥.厂场 .「山 厂®有. cMl . ""1 (®T)"1 2“1 - j J(N-“1)J(N-2nJ ^(N-(“-1)山)种方法! “！第二步：从N-m,"］个人中再取出加2“2个人，在把加2“2个人均分为®个组，每组“2个人，有： N-m^ N—mxnx —n^ N-mxnx -2n2 N-m^ -l)n2 -种方m2!法Cnj ,rnj -Cnj ....「勺J J-l J j-1 J j-1 J j-\j-iN-工肌旳 N-工加旳-幻 厂2勺 N-工血尹厂（加・-1）勺i=lrrtj!第/步：同理应有 ——宜 中方由分步计数原理，总的分法为：严］严］ …严1 严2 严2 …宀 ...CHjJ N-(叫N-叫叫 J “一场珂 -加- (加2-1)«2 J 吕N迄m凸i=l。