成都中考A卷圆压轴题专版.pdf

成都中考 A20 压轴题专版【典例 1】 （2019?成都） 如图， AB 为 O 的直径， C，D 为圆上的两点， OCBD，弦 AD，BC 相交于点E（1）求证： ?= ?； （2）若 CE1，EB3，求 O 的半径；（3）在（2）的条件下，过点C 作O 的切线，交BA 的延长线于点P，过点 P 作 PQCB 交O 于 F，Q 两点（点F 段 PQ 上） ，求 PQ 的长【点拨】（1）由等腰三角形的性质和平行线的性质可得OBC CBD，即可证 ?= ?；（2）证明 ACE BCA，可得?=?，可得 AC 2，由勾股定理可求AB 的长， 即可求 O 的半径；（3）过点 O 作 OHFQ 于点 H，连接 OQ，通过证明APC CPB，可得?=?=?=24=12，可求 PA=253，即求 PO 的长，证明PHO BCA，求 PH，OH 的长，勾股定理可求HQ 的长，即可求 PQ 的长【解答】 证明：（1） OCOB OBC OCBOCBD OCB CBD OBC CBD?= ?（2）连接 AC， CE1，EB3， BC4?= ? CAD ABC，且 ACB ACB ACE BCA?=?AC2CB?CE41AC2， AB 是直径 ACB90 AB= ?2+ ?2= 2 5O 的半径为 5（3）如图， 过点 O 作 OHFQ 于点 H，连接 OQ，PC 是O 切线， PCO90，且 ACB90 PCA BCO CBO，且 CPB CPA APC CPB?=?=?=24=12PC2PA，PC2PA?PB 4PA2PA（ P A+2 5） PA=253PO=553PQBC CBA BPQ ，且 PHO ACB 90 PHO BCA?=?=?即2?=4?=2 55 53=65PH=103，OH=53 HQ= ?2- ?2=253PQPH+HQ=10+253【典例 2】 （2018?成都）如图，在 RtABC 中， C90，AD 平分 BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G（1）求证： BC 是O 的切线；（2）设 ABx，AFy，试用含x，y 的代数式表示线段AD 的长；（3）若 BE8，sinB=513，求 DG 的长，【点拨】（1）连接 OD，由 AD 为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD 与 AC 平行，得到OD 与 BC 垂直，即可得证；（2）连接 DF ，由（1）得到 BC 为圆 O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF 相似，由相似得比例，即可表示出AD；（3）连接 EF，设圆的半径为r，由 sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出r 的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF 与 BC 平行，得到sin AEFsinB，进而求出DG 的长即可【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD 为 BAC 的角平分线，BAD CAD ，OAOD， ODA OAD ， ODA CAD， ODAC， C90， ODC90， ODBC， BC 为圆 O 的切线；（2）解：连接DF，由（ 1）知 BC 为圆 O 的切线， FDC DAF ， CDA CFD ， AFD ADB， BAD DAF， ABD ADF，?=?，即 AD2AB?AFxy，则 AD=?；（3）解：连接EF，在 RtBOD 中， sinB=?=513，设圆的半径为r，可得?+8=513，解得： r5， AE 10，AB18，AE 是直径， AFE C90，EF BC， AEF B， sinAEF=?=513， AFAE?sinAEF10513=5013，AF OD，?=?=50135=1013，即 DG=1323AD， AD= ? ? =18 5013=301313，则 DG=1323301313=301323【典例 3】 （2017?成都）如图，在ABC 中， AB AC，以 AB 为直径作圆O，分别交 BC 于点 D，交 CA 的延长线于点E，过点 D 作 DH AC 于点 H，连接 DE 交线段 OA 于点 F（1）证：DH 是圆 O 的切线； （ 2）若 A 为 EH 的中点， 求?的值； （3）若 EAEF1，求圆 O 的半径【点拨】（2）如图 2，先证明 E B C，则 H 是 EC 的中点，设AEx，EC4x，则 AC3x，由OD 是 ABC 的中位线，得：OD=12AC=3?2，证明 AEF ODF ，列比例式可得结论；（3）如图 2，设 O 的半径为r，即 OD OBr，证明DFODr，则 DEDF+EF r+1，BDCDDEr+1，证明 BFD EFA，列比例式为：?=?，则1?-1=1+?，求出 r 的值即可【解答】 证明：（1）连接 OD，如图 1， OBOD， ODB 是等腰三角形，OBD ODB ，在 ABC 中， ABAC， ABC ACB ，由 得： ODB OBD ACB， OD AC，DHAC， DHOD， DH 是圆 O 的切线；（2）如图 2，在 O 中， E B，由（ 1）可知： E B C， EDC 是等腰三角形，DHAC，且点 A 是 EH 中点，设AEx，EC4x，则 AC3x，连接 AD，则在 O 中， ADB90， ADBD， ABAC， D 是 BC 的中点，OD 是 ABC 的中位线， ODAC，OD=12AC=12 3x=3?2， ODAC， E ODF ，在 AEF 和 ODF 中， E ODF ， OFD AFE， AEF ODF ，?=?，?=?32?=23，?=23；（3）如图 2，设 O 的半径为r，即 ODOBr， EFEA， EFA EAF，ODEC， FOD EAF，则 FOD EAF EFA OFD ， DF ODr，DEDF+EFr+1， BDCDDEr+1，在 O 中， BDE EAB， BFD EFA EAB BDE ， BFBD， BDF 是等腰三角形，BFBDr+1，AF ABBF 2OBBF2r（ 1+r） r1，在 BFD 和 EFA 中， ?= ? ? = ?， BFD EFA，?=?，1?-1=1+?，解得： r1=1+52，r2=1-52（舍） ，综上所述，O 的半径为1+ 52【典例 4】 （2016?成都）如图，在RtABC 中， ABC90，以 CB 为半径作 C，交 AC 于点 D，交 AC的延长线于点E，连接 BD，BE（1）求证： ABD AEB； （ 2）当?=43时，求 tanE；（3）在（ 2）的条件下，作BAC 的平分线，与BE 交于点 F，若 AF2，求 C 的半径【点拨】（2）由于 AB：BC 4：3，可设AB4，BC 3，求出AC 的值，再利用（1）中结论可得AB2AD?AE，进而求出AE 的值，所以tanE=?=?（3）设 AB4x，BC 3x，由于已知AF 的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x 的值，即可知道半径3x 的值【解答】 解： （1） ABC 90， ABD 90 DBC ，由题意知： DE 是直径， DBE 90， E90 BDE，BC CD， DBC BDE， ABD E， A A， ABD AEB；（2） AB：BC4：3，设 AB 4，BC3， AC= ?2+ ?2= 5， BCCD3，ADACCD532，由（ 1）可知： ABD AEB，?=?=?， AB2AD?AE，422AE， AE8，在 RtDBE 中 tanE=?=?=48=12；（3）过点 F 作 FM AE 于点 M， AB： BC4：3，设 AB4x，BC 3x，由（ 2）可知； AE8x，AD2x， DEAE AD6x，AF 平分 BAC，?=?，?=4?8?=12， tanE=12， cosE=255，sinE=55，?=2 55， BE=1255? ， EF=23BE=855? ， sinE=?=55， MF =85? ，tanE=12， ME2MF=165? ， AMAE ME=245? ， AF2AM2+MF2， 4= (245?)2+ (85?)2，x=108， C 的半径为： 3x=3108 另解：由上述知tanFAM=13=?， BCDCCE，?=35，AD： DM： ME2： 3： 3， tanE=12=?， 设 FM a， 则 AM3a， ME 2a， AE5a， DC=38AE=158a，由勾股定理可知：AF= 10a， AF2， a=105， DC=3108【典例 5】 （2015?成都）如图，在RtABC 中， ABC90， AC 的垂直平分线分别与AC， BC 及 AB 的延长线相交于点D，E，F，且 BF BC，O 是 BEF 的外接圆， EBF 的平分线交EF 于点 G，交 O于点 H，连接 BD，FH（1）证： ABC EBF； （2）判断 BD 与O 的位置关系，说理由； （3）若 AB1，求 HG?HB 的值【点拨】 （ 1） 由垂直的定义可得EBF ADF 90， 于是得到 C BFE， 从而证得 ABC EBF；（2）BD 与O 相切，如图1，连接 OB 证得 DBO90，即可得到BD 与O 相切；（3）如图 2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF= 2BF，由于DF 垂直平分AC，得到AFCFAB+BF 1+BF= 2BF，求得 BF= 2 + 1，有勾股定理解出EF ?2+ ?2=4 + 2 2，推出 EHF 是等腰直角三角形，求 HF =22EF=2 + 2，通过 BHF FHG，列比例式即可得到结论【解答】（1）证明： ABC90， EBF90，DF AC， ADF 90， C+A A+AFD 90， C BFE，在 ABC 与 EBF 中， ? = ? = ? ?= ?， ABC EBF；（2）BD 与O 相切，如图1，连接 OB 证明如下： OB OF， OBF OFB， ABC90， AD CD， BDCD， C DBC ， C BFE， DBC OBF， CBO+OBF 90， DBC+CBO90， DBO90， BD 与O 相切；（3）解：如图2，连接 CF，HE， CBF 90， BCBF， CF= 2BF，DF 垂直平分AC， AFCF AB+BF1+BF= 2BF， BF= 2 + 1， ABC EBF， BE AB1， EF= ?2+ ?2=4 + 2 2，BH 平分 CBF， ?= ?， EHFH ， EHF 是等腰直角三角形，HF =22EF=2 + 2， EFH HBF 45，BHF BHF， BHF FHG， ?=?， HG?HB HF22+ 2【精练 1】 （2019?下城区二模）如图，过点P 作 PA，PB，分别与以OA 为半径的半圆切于A， B，延长 AO交切线 PB 于点 C，交半圆与于点D（1）若 PC5，AC4，求 BC 的长； （2）设 DC：AD 1：2，求?+?的值【点拨】（1）由切线的性质可得PAPB， PAC90，由勾股定理可求AP3，即可求BC 的长；（2）由题意可得ODOCOB，可证 OBC PAC，可得 PC2PA，即可求解【解答】解： （1） PA， PB 是O 的切线 PAPB， PAC 90AP= ?2-?2= 3 PBAP3BCPCPB2（2）连接 OB，CD：AD1：2，AD 2ODCDOD OBCO2OBPB 是O 切线OBPC OBC90 PAC，且 C C OBC PAC?=?=12PC 2PA，?+?=3?= 3【精练 2】 （白云区校级二模）如图， 在 ABC 中，AB10，BC12，以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D过点 D 的 O 的切线垂直AC 于点 F，交 AB 的延长线于点E（1）连接 OD，则 OD 与 AC 的位置关系是 （2）求 AC 的长（3）求 sinE 的值【点拨】（1）连接 OD，则 。