新教材人教A版数学必修第一册学案-2.2.1-基本不等式-含答案.docx

2．2　基本不等式最新课程标准1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a＞0，b＞0)．2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．学科核心素养1.理解基本不等式的几何意义及其推导过程．(直观想象、逻辑推理)2．会用基本不等式解决最值问题．(逻辑推理、数学运算)第1课时　基本不等式教材要点要点一　基本不等式如果a，b∈R＋，那么ab________a+b2，当且仅当________时，等号成立．其中a+b2叫做正数a，b的____________，ab叫做正数a，b的____________．所以两个正数的________平均数不小于它们的________平均数．状元随笔　基本不等式与不等式a2＋b2≥2ab的异同a2＋b2≥2abab≤a+b2适用范围a，b∈Ra＞0，b＞0文字叙述两数的平方和不小于它们积的2倍两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值“＝”成立的条件a＝ba＝b要点二　基本不等式与最值已知x，y都是正数．(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得____________．(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得____________．状元随笔　利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等．①一正：各项必须为正．②二定：各项之和或各项之积为定值．③三相等：必须验证取等号时条件是否具备．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)当a，b同号时，ba+ab≥2.(　　)(2)函数y＝x＋1x的最小值为2.(　　)(3)6和8的几何平均数为23.(　　)(4)不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a+b2有相同的适用范围．(　　)2．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是(　　)A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2abC．1a+1b＞2ab D．ba+ab≥23．若a＞1，则a＋1a-1的最小值是(　　)A．2 B．aC．2aa-1 D．34．已知x，y都是正数．(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．题型1　对基本不等式的理解例1　(1)(多选)下列条件中能使ba+ab≥2成立的条件是(　　)A．ab＞0 B．ab＜0C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0(2)给出下列命题：①若x∈R，则x＋1x≥2；②若a＜0，b＜0，则ab＋1ab≥2；③不等式yx+xy≥2成立的条件是x＞0且y＞0.其中正确命题的序号是________．方法归纳对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：①定理成立的条件是a，b都是正数．②“当且仅当\”的含义：当a＝b时，ab≤a+b2的等号成立，即a＝b⇒a+b2＝ab；仅当a＝b时，a+b2≥ab的等号成立，即a+b2＝ab⇒a＝b.跟踪训练1　(1)下列不等式一定成立的是(　　)A．a+b2≥ab B．a+b2≤－abC．x＋1x≥2 D．x2＋1x2≥2(2)下列不等式的推导过程正确的是________．①若x＞1，则x＋1x≥2 x·1x＝2.②若x＜0，则x＋4x＝－-x+-4x≤－2 -x·-4x＝－4.③若a，b∈R，则ba+ab≥2 ba·ab＝2.题型2　利用基本不等式比较大小例2　若a≥b＞0，试比较a, a2+b22，a+b2，ab，21a+1b，b的大小．方法归纳一般地，若给出的数(式)涉及两个正数的和、积或两个实数的平方和，则可考虑利用重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R，a＞0，b＞0)和基本不等式a+b2≥ab(a＞0，b＞0)来比较它们的大小，但此时应特别注意能否取到等号．跟踪训练2　(1)若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2ab，2ab，a2＋b2中最大的一个是(　　)A．a2＋b2 B．2abC．2ab D．a＋b(2)已知a＞b＞c，则a-bb-c与a-c2的大小关系是________________.题型3　利用基本不等式求最值角度1　无条件求最值例3　(1)若0＜x＜12，则y＝x(1－2x)的最大值是(　　)A．14 B．18C．1 D．4(2)已知x＞1，求y＝4x2-8x+5x-1的最小值．角度2　有条件求最值例4　(1)若a＞0，b＞0，a＋3b＝1，则1a+13b的最小值为(　　)A．2 B．22C．4 D．32(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是____________．方法归纳应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“定积”及保证能取到等号，此时往往需要采用拆项、补项、平方、平衡系数、“1”的整体代入等变形技巧，选择合理的变形技巧可以使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果．跟踪训练3　(1)已知a＞0，b＞0，且1a+2b＝4，则4a＋6b的最小值是(　　)A．4＋3 B．4＋23C．8＋23 D．4＋33(2)已知x＜12，则2x＋12x-1的最大值是________．易错辨析　多次使用基本不等式求最值时忽略等号同时成立的条件例5　已知实数m＞0，n＞0，且满足2m＋n＝2，则1m+8n的最小值是________．解析：∵m＞0，n＞0，2m＋n＝2，∴m＋n2＝1.∴1m+8n＝1m+8n·m+n2＝5＋n2m+8mn≥5＋2n2m·8mn＝9.当且仅当n2m＝8mn，即m＝13，n＝43时取等号．答案：9易错警示易错原因纠错心得错解：∵m＞0，n＞0，∴2＝2m＋n≥22m·n，∴mn≤12，∴1mn≥2，∴1m+8n≥28mn≥28×2＝8故1m+8n的最小值为8.上述求解过程中使用了两次基本不等式，但这两次取等号的条件不能同时成立，所以等号取不到．连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取到等号的条件成立．课堂十分钟1．关于命题p：∀a，b∈R，ab≤a+b22，下列说法正确的是(　　)A．¬p：∃a，b∈R，ab≥a+b22B．不能判断p的真假C．p是假命题D．p是真命题2．下列命题中正确的是(　　)A．当a，b∈R时，ab+ba≥2ab·ba＝2B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)1a+1b≥4C．当a＞4时，a＋9a≥2a·9a＝6D．当a＞0，b＞0时，2aba+b≥ab3．若正实数a，b满足a＋b＝1，则b3a+3b的最小值为(　　)A．193 B. 26C. 5 D. 434．若不等式x2+2x2+1≥2恒成立，则当且仅当x＝________时取“＝\”号．5．已知t＞0，求y＝t2-4t+1t的最小值．2．2　基本不等式第1课时 基本不等式 新知初探·课前预习要点一≤　a＝b　算术平均数　几何平均数　算术　几何要点二最大值14S2　最小值2P[基础自测]1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．答案：D3．答案：D4．答案：(1)215　(2)2254题型探究·课堂解透例1　解析：(1)要使ba+ab≥2，只要ba>0，且ab>0，即a，b不为0且同号即可，故选项A，C，D都符合．(2)只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋1x≥2x·1x＝2，故①错误；当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得ab＋1ab≥2ab·1ab＝2，故②正确；由基本不等式可知，当yx>0，xy>0时，有yx+xy≥2yx·xy＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误．答案：(1)ACD　(2)②跟踪训练1　解析：(1)当a，b，x都为负数时，A、C选项不正确．当a，b为正数时，B选项不正确．根据基本不等式，有x2＋1x2≥2x2·1x2＝2.(当且仅当x2＝1x2时取等号)．故选D.(2)①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝1x时，即x＝1时，x＋1x≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋1x＞2；③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件；②符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”，故②正确．答案：(1)D　(2)②例2　解析：∵a≥b>0，∴ a2+b22≤ a2+a22＝a，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴a2+b22≥a+b22.又a>0，b>0，则 a2+b22≥ a+b22＝a+b2.由a>0，b>0，得a+b2≥ab，∵1a+1b2≥ 1a·1b，∴ab≥21a+1b，∵21a+1b－b＝ba-ba+b≥0∴21a+1b≥b∴a≥a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b≥b.跟踪训练2　解析：(1)∵02ab，a＋b>2ab，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.(2)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴a-c2＝a-b+b-c2≥a-bb-c，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立．答案：(1)D　(2)a-bb-c≤a-c2例3　解析：(1)∵00，∴y＝x(1－2x)＝12·2x(1－2x)≤12·2x+1-2x22＝18，当且仅当2x＝1－2x，即x＝14时取等号．(也可用二次函数配方法求解．)(2)∵x>1，令t＝x－1(t>0)，则x＝t＋1，所以y＝4x2-8x+5x-1＝4t+12-8t+1+5t＝4t2+1t＝4t＋1t≥2 4t·1t＝4.当且仅当4t＝1t，即t＝12，x＝32时取等号．所以y＝4x2-8x+5x-1的最小值为4.答案：(1)B　(2)4例4　解析：(1)∵a>0，b>0，a＋3b＝1，∴1a+13b＝1a+13b·(a＋3b)＝2＋3ba+a3b≥2＋23ba×a3b＝2＋2＝4.当且仅当a＝3b时等号成立，所以1a+13b的最小值为4.(2)∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，∴15y+35x＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·15y+35x＝135+3x5y+12y5x≥135＋23x5y·12y5x＝5当且仅当3x5y＝12y5x，即x＝2y＝1时取等号．答案：(1)C　(2)5跟踪训练3　解析：(1)4a＋6b＝(4a＋6b)14a+12b＝3b2a+2ab＋4≥4＋23，当且仅当a＝3+14，b＝3+36时取“＝”．故选B.(2)∵x<12，∴1－2x>0，∵2x＋12x-1＝2x－1＋12x-1＋1＝－1-2x+11-2x＋1∵1－2x>0，∴1－2x＋11-2x≥21-2x·11-2x＝2(当且仅当x＝0时，等号成立)．∴2x＋12x-1≤－2＋1＝－1.答案：(1)B　(2)－1[课堂十分钟]1．答案：C2．答案：B3．答案：C4．答案：05．解析：依题意得y＝t＋1t－4≥2t·1t－4＝－2，当且仅当t＝1时等号成立，即函数。