留数定理计算积分PPT课件.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复变函数论多媒体教学课件,Department of Mathematics,第二节 用留数计算定积分,1,留数定理的应用-,-积分的计算:,（,2,）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；,（,3,）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学,利用留数计算积分的特点：,（,1,）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；,2,思想方法,:,封闭路线的积分,.,两个重要工作:,1),积分区域的转化,2),被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,形如,3,当,历经变程,时,的,正方向绕行一周.,z,沿单位圆周,z,的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.,包围在单位圆周,内的诸孤立奇点.,注,:,4,例,1,解,故积分有意义.,5,6,因此,7,注,:,此时,例2,计算积分,解,则,8,9,由留数定理,例,3,计算,解,10,由留数定理,11,注,:,例,4,计算积分,解,12,13,在许多实际问题中，往往要求计算反常积分的值，如,数学分析计算这些积分麻烦,无统一方法;用留数计算,较简捷.,14,1引理6.1,证明,因为,于是有,15,于是有,16,2定理6.7,17,证明,由条件(1),(2)及数学分析的结论,知,x,.,.,根据留数定理得:,18,或写成,因为,19,解,例,5,20,21,解,例,6,22,23,引理6.2,x,y,.,.,24,证明,于是就有,于是由Jordan不等式,25,将(6.13)化为,应用引理6.2,完全和证明定理6.7一样可得,26,2定理6.8,则有,注:,将(6.14)分开实虚部,就可得到形如,的积分.,27,证明,x,.,.,根据留数定理得:,28,或写成,因为,29,例,7,计算积分,解,且在上半平面只有二级极点,30,注意,以上两型积分中被积函数中的,R,(,x,)在实轴,上无孤立奇点.,31,四 计算积分路径上有奇点的积分,引理6.3,证明,因为,于是有,32,于是有,33,例,8,计算积分,解,即,34,由引理6.2知,由引理6.3知,35,解,五 杂例,例,9,它是一个整函数,则,36,而,37,比较两端实部与虚部即得,弗莱聂尔(frensnel)积分,即,38,本节结束,谢谢,！,Complex Function Theory,Department of Mathematics,39,。