三角形中角度计算相关的模型(共12页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上三角形中与角度计算相关的模型两个定理：1、 平面内，三角形的三个内角和为1802、 平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型下面一一推导证明模型一：8字模型条件：AD、BC相交于点O结论：∠A+∠B=∠C+∠D上面两角之和等于下面两角之和)证明： 在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180，∴∠A+∠B+∠BOA=180=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD故有∠A+∠B=∠C+∠D应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180模型二：飞镖模型条件：四边形ABDC如上左图所示结论：∠D=∠A+∠B+∠C凹四边形凹外角等于三个内角和)证明： 如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C本质为两个三角形外角和定理证明应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260 (下右图中两个飞镖)。

模型三：两内角角平分线模型条件：△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I结论：证明： ∵BI是∠ABC平分线，∴∵CI是∠ACB平分线，∴由A→B→I→C→A的飞镖模型可知：∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.应用：如上图，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I1) 若∠A=60 ，则∠I=120(2) 若∠I=110，则∠A=40(3) 若∠A=α，则∠I=模型四：两外角角平分线模型条件：△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O结论：证明： ∵BO是∠EBC平分线，∴∵CO是∠FCB平分线，∴由△BCO中内角和定理可知：∠O=180-∠2 -∠5 =180--=180--===应用：如上图，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的外角角平分线，且相交于点O1)若∠A=60 ，则∠O=60(2)若∠O=70，则∠A=40(3)若∠A=α，则∠O=模型五：内外角角平分线模型条件：△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P结论：证明： ∵BP是∠ABC平分线，∴∵CP是∠ACE平分线，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③比较②③式子可知：。

应用：如上图，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的外角角平分线，且相交于点P1)若∠A=60 ，则∠O=30(2)若∠O=70，则∠A=140(3)若∠A=α，则∠O=模型六：共顶点角平分线与高线夹角模型条件：△ABC中，AH是高、AD是∠BAC的角平分线结论： (共顶点的高线与角平分线夹角等于两底角之差的一半)证明： ∵AD是∠ABC平分线，∴在△AHD中：∠HAD=90-∠1=90-(∠C+∠DAC) =90-(∠C+) =90 - [∠C+] =应用：如上图，△ABC中，AH是高、AD是∠BAC的角平分线1) 若∠C=30，∠B=60，则∠HAD=152) 若∠HAD=15，∠C=25，则∠B=553) 若∠B=α，∠C=β，则∠HAD=三角形中角度模型汇总名称图形结论八 字模 型∠A+∠B=∠C+∠D飞 镖模 型∠D=∠A+∠B+∠C两内角角平分线模型两外角角平分线模型内外角角平分线模型共顶点角平分线和中线模型【课后演练】1、如下图，∠A=30，∠B=45，∠C=50，则∠D=___25___2、 如图，∠B=45，∠A=30，∠C=25，则∠ADC=__100____3、 如图，∠A+∠B+∠C+∠D=___230___4、 如图，△ABC的内角角平分线相交于点O，若∠O=110 ，则∠A=__40___5、 如图，△ABC的内角角平分线交于点P，△ABC的外角角平分线交于点Q，∠P=130，则∠A=__80__，∠Q=___50_。

6、 在△ABC中，∠A=n，∠ABC和∠ACD的平分线交于A1，得∠A1=____，∠A1BC和∠A1CD的角平分线交于A2，得A2=___，∠A2020BC和∠A2020CD的角平分线交于A2021，则∠A2020=______7、 已知△ABC中，∠A=30(1) 如图，∠ABC、∠ACB角平分线交于O，则∠BOC=_____105__；(2) 如图，∠ABC、∠ACB三等分线交于点O1和O2，∠BO2C=_____80___；(3) 如图，∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O1、O2....、On-1，请求出∠BOn-1C的度数(用n的代数式表示) 专心---专注---专业。