托勒密定理及圆的其它定理.doc

托勒密定理   定理图定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是有关共圆性的基本性质．定理提出 　　定理的内容 　　摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积 　　定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和 　　　从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是有关共圆性的基本性质． 定理内容指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积证明　　一、（如下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊状况 　　在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE. 　　则△ABE∽△ACD 　　因此 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)    由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, 　　因此△ABC∽△AED. 　　BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) 　　(1)+(2),得 　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 　　又由于BE+ED≥BD 　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 　　复数证明 　　用a、b、c、d分别表达四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

一方面注意到复数恒等式： (a − b)(c − d) + (a − d)(b − c) = (a − c)(b − d) ，两边取模，运用三角不等式得 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价 四点不限于同一平面 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式 　　二、 　　设ABCD是圆内接四边形 在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB 在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 由于∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，因此∠CBK = ∠ABD 因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA 　　三、 　　托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC． 　　证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。

又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC． 　　四、广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有： 　　m^2*n^2=a^2*c^2+b^2*d^2-2abcd*cos(A+C)    推论　　1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号 　　2.托勒密定理的逆定理同样成立：一种凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、 推广　　托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不不不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线 　　简朴的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模， 　　得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 运用要点　　1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

　　2.四点不限于同一平面 　　欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD弦切角定理1. 推论内容 2. 应用举例弦切角定义　　顶点在圆上，一边和圆相交，另    图示一边和圆相切的角叫做弦切角弦切角就是切线与弦所夹的角） 　　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角 弦切角定理　　弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 　弦切角定理证明： 　　证明一：设圆心为O，连接OC，OB, 　　∵∠TCB=90-∠OCB 　　∵∠BOC=180-2∠OCB 　　∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半） 　　∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍） 　　∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 　　证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 　　求证：（弦切角定理） 　　证明：分三种状况：    　　（1）　圆心O在∠BAC的一边AC上 　　∵AC为直径，AB切⊙O于A， 　　∴弧CmA=弧CA 　　∵为半圆, 　　∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角       B点应在A点左侧（2）　圆心O在∠BAC的内部. 　　过A作直径AD交⊙O于D, 　　若在优弧m所对的劣弧上有一点E 　　那么，连接EC、ED、EA 　　则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB 　　∴ ∠CEA=∠CAB 　　∴ （弦切角定理）    　　（3）　圆心O在∠BAC的外部, 　　过A作直径AD交⊙O于D 　　那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 　　∴∠CDA=∠CAB 　　∴（弦切角定理） 弦切角推论推论内容　　若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例   　　例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长. 　　解：连结OA，OB. 　　∵在Rt△ABC中, ∠C=90 　　∴∠BAC=30° 　　∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半）    　　例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，通过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 　　求证：EF∥BC. 　　证明：连DF. 　　AD是∠BAC的平分线　∠BAD=∠DAC 　　∠EFD=∠BAD 　　∠EFD=∠DAC 　　⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC 　　∠EFD=∠FDC 　　EF∥BC    　　例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C， 　　求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 　　证明：∵AB是⊙O直径 　　∴∠ACB=90 　　∵CD⊥AB 　　∴∠ACD=∠B，　 　　∵MN切⊙O于C 　　∴∠MCA=∠B， 　　∴∠MCA=∠ACD， 　　即AC平分∠MCD， 　　同理：BC平分∠NCD. 相交弦定理   概念相交弦定理　　圆内的两条相交弦，被交点提成的两条线段长的积相等。

通过圆内一点引两条弦，各弦被这点所提成的两段的积相等） 相交弦阐明　　几何语言： 　　若弦AB、CD交于点P 　　则PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 　　推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 　　几何语言： 　　若AB是直径，CD垂直AB于点P， 　　则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论） 如何证明　　证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD 　　注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的措施. P点若选在圆内任意一点更具一般性 　　其逆定理也可用于证明四点共圆    比较　　相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及她们的推论统称为圆幂定理一般用于求线段长度切割线定理定理　　切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项是圆幂定理的一种    切割线定理示意图几何语言： 　　∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 　　∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论： 　　从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 　　几何语言： 　　∵PBA，PDC是⊙O的割线 　　∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理） 　　由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD 证明　　切割线定理证明: 　　设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB 　　证明：连接AT, BT 　　∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)    切割线定理的证明∠P=∠P(公共角) 　　∴△PBT∽△PTA(两角相应相等,两三角形相似) 　　则PB：PT=PT：AP 　　即：PT^2=PB·PA 比较　　相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及她们的推论统称为圆幂定理。

一般用于求直线段长度圆幂定理求助编辑百科名片   圆幂定理圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的成果定义　　圆幂=PO^2-R^2（该结论为欧拉公式） 　　因此圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零 　　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点提成的两条线段长的积相等 　　切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 　　割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD 　　统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重叠，即切线），L2与圆交于C、D（可重叠），则有PA·PB=PC·PD 证明　　圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理） 问题1　　相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点提成的两条线段长的乘积相等 　　证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B 　　∴△PAC∽△PD。