高中物理学中的微元法习题训练.pdf

高中物理学中的微元法习题训练高中物理学中的微元法习题训练一、微元法在关联速度中的运用一、微元法在关联速度中的运用1、如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度v0拉水平面上的物体 A，当绳子与水平方向成 角时，求物体 A 的速度答案】vAv0cos【解析】设物体 A 在 角位置t时间向左行驶x距离，滑轮右侧绳长缩短L，如图，当绳水平方向的角度变化很小时，有L xcos，两边同除以t得Lxcos，当这一小段时间趋于零时，收绳的平均速率就等于瞬时速率tt即收绳速率v0 vAcos所以物体 A 的速率为vAv0.cos二、微元法在运动学、动力学中的应用二、微元法在运动学、动力学中的应用2 2、设某个物体的初速度为v0，做加速度为a的匀加速直线运动，经过时间t，则物体的位移与时间的关系式为x v0t 12at，试推导2【思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元，t极短，写出vt图像下微元的面积的表达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移解析】作物体的vt图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间t极短，速度可以看成是不变的，设第i段的速度为vi，则在t时间内第i段的位移为xi vit，物体在 t 时间内的位移为x xi vit，在vt图像上则为若干个微小矩形面积之和。

当把运动分得非常非常细，若干个矩形合在一起就成了梯形OAPQ，如图丙所示图线与轴所夹的面积，表示在时间t 内物体做匀变速直线运动的位移面积S S1 S2，又vP v0at，所以x v0t 12at23、加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面的夹角为 ，则火车加速行驶的加速度大小为（）A.gcosB.g tanC.【答案】B【解析】如图所示，取水面上质量为m的水元为研究对象，其受力如图所示，ggD.costan应用正交分解或平行四边形定则，可求得质量为m的水元受到的合力为F合=mg tan，根据牛顿第二定律可知F合=ma，则a g tan，方向与启动方向相同三、微元法在功和能中的应用三、微元法在功和能中的应用4、2014上海徐汇模拟）如图所示，一台农用水泵装在离地面的一定高度处，其出水管是水平的 现仅有一盒钢卷尺，请你粗略测出水流出管口的速度大小和从管口到地面之间在空中水柱的质量(已知水的密度为，重力加速度为 g)(1)除了已测出的水管内径 l 外，还需要测量的物理量是_(写出物理量名称和对应的字母)；(2)水流出管口的速度 v0的表达式为_(请用已知量和待测量的符号表示)；(3)空中水柱的质量 m 的表达式为_(请用已知量和待测量的符号表示)gxl2【答案】(1)水的水平射程 x，管口离地的高度 h(2)v0=x(3)m=2h4【解析】根据平抛运动的规律知，水平方向上有 x=v0t，竖直方向上有h=12gt，联2gxl2立以上二式可得初速度v0=x；空中水的质量m=Sv0t.2h45 5、从地面上以初速度v0竖直向上抛出一质量为m 的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速运动求：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；（2）球抛出瞬间的加速度大小；（3）球上升的最大高度H【思路点拨】（1）（2）求解不难。

3）用微元法求解，首先根据牛顿第二定律写出加速度的表达式，再用a v，取微元然后写出v与t关系式，最后求和t【答案】见解析解析】（1）球从抛出到落地重力做功为零，根据动能定理Wf1212mv1mv0221212mv0mv122克服空气阻力做功Wf（2）阻力与其速率成正比抛出瞬间阻力f kv0匀速运动时f1 kv1抛出瞬间阻力的大小为f mgv0v1根据牛顿第二定律mg f ma0解得抛出瞬间的加速度大小为a01v0gv1（3）上升时加速度为a，根据牛顿第二定律mg kv maa g kvm取极短时间t，速度的变化量v，有v at gt 式中vt hkvtm上升全过程对等式两边求和v gt khm左边求和v 0v0（末减初）gt gt1代入解得0v0 gt1所以球上升的最大高度H kkh H（h H）mmmgkH，又前面已求出k v1mv0 gt1v1g.【总结升华】取微元，根据相应的物理规律写出所求问题用微元表示的函数表达式，最后求和，注意各物理量的物理意义，解析中已经写得很清楚了四、微元法在动量中的应用四、微元法在动量中的应用6、一艘帆船在静水中由风力推动做匀速直线运动帆面的面积为 S，风速为v1，船速为v2（v2 v1），空气的密度为，则帆船在匀速前进时帆面受到的平均风力大小为多少？【答案】S(v1v2)【解析】取图所示的部分空气为研究对象，应用“长方体模型”，这部分空气的质量为m V Svt,2这部分空气经过时间t后速度都由v1变为v2，取船前进方向为正方向，由动量定理得：Ft m(v2v1)所以F S(v1v2)tm(v1v2)(v1v2)S(v1v2)2tt五、微元法在电场中的应用五、微元法在电场中的应用7 7、如图所示，一个半径为R 的带电圆环，带电荷量为+Q，带电圆环的中心为O，在通过 O 点与圆面垂直的直线上有一点 A，距离 O 点为 L，A 点有一带电荷量为+q 的点电荷，求该点电荷受到的电场力【思路点拨】带电圆环不是点电荷，用“对称”“等效”或“割补”的方法将非点电荷问题转化为点电荷问题，实际上就是利用“微元法”，把带电圆环平均分为N 小段，每段都可以看着点电荷，这个微小的点电荷的电荷量为q Q/N，再利用库仑定律求相互作用力。

答案】kQqL(L2 R)322沿 OA 方向【解析】把带电圆环平均分为 N 小段，每段都可以看着点电荷，这个微小的点电荷的电荷量为q Q/N，则q与q间的库仑力的大小为 F，如图所示设F、F夹角为，A 点到222圆环边缘距离为 r，则由库仑定律得F k2，F F cos，由几何知识r R L，rcosLL R22，根据对称性（每个微元电荷与q之间的库仑力的竖直分量的矢量和为零）有：该点电荷受到的电场力的大小就等于每个微元电荷与q之间的库仑力的水平分量之和，F合 NF kQqL(L2 R)322方向沿 OA 方向总结升华】带电圆环是线电荷，应用微元法就是把它均匀分成 N 段，每段的电荷量为总电量除以 N，q Q/N，再利用库仑定律求相互作用力，各个微元电荷与q 的作用力的方向都不同，把F分解成水平方向和竖直方向，就清楚地知道竖直分量的矢量和为零，水平分量大小相等方向相同，将水平分力求和，即F合 NF六、微元法在电磁感应中的应用六、微元法在电磁感应中的应用8 8、如图所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为 m 的金属杆，导轨间距为 L，导轨的一端连接一阻值为 R 的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面.现给金属杆一个水平向右的初速度v0，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？【思路点拨】这是一个典型的在变力作用下求位移的题，用我们已学过的知识好像无法解决，其实只要采用的方法得当仍然可以求解。

应用微元法求解：取一极短时间t，发生了一段极小的位移x，切割磁感线面积的变化量为Lx，磁通量的变化为 BLx，写出电流的表达式，进而写出安培力的表达式，应用动量定理，对所有的位移求和，就可以求出金属杆移动的最大距离答案】x mv0RB2L2【解析】设杆在减速中的某一时刻速度为v，取一极短时间t，发生了一段极小的位移x，在t时间内，磁通量的变化为 BLxI EBLxRtRtRB2L2x金属杆受到安培力为F安 ILB tR由于时间极短，可以认为F安为恒力，选向右为正方向，在t时间内，B2L2x安培力F安的冲量为：I F安t R对所有的位移求和，可得安培力的总冲量为B2L2xB2L2，I()x其中x为杆运动的最大距离（x x）RR对金属杆用动量定理可得I 0mv0由、两式得：x mv0RB2L2【总结升华】对于这种轻杆在磁场中的导轨上滑动问题，应用微元法是很好的解题方法要注意的是，轻杆的运动是变减速运动，速度、电流、安培力等都是变化的，“化变为恒”就是要取一个微元，应用相应的物理规律，这里重要的是必须用动量定理，写出安培力的冲量的表达式，就是我们说的微元的表达式，最后求和跟踪训练跟踪训练1、(2015新课标卷)如图，一长为 10cm 的金属棒 ab 用两个完全相同的弹簧水平地悬挂在匀强磁场中；磁场的磁感应强度大小为 0.1T，方向垂直于纸面向里；弹簧上端固定，下端与金属棒绝缘。

金属棒通过开关与一电动势为12V 的电池相连，电路总电阻为2已知开关断开时两弹簧的伸长量均为0.5cm；闭合开关，系统重新平衡后，两弹簧的伸长量与开关断开时相比均改变了0.3cm重力加速度大小取 10 m/s2判断开关闭合后金属棒所受安培力的方向，并求出金属棒的质量2、如图所示，长为 L 的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为 m，船的质量为 M，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？3、电量 Q 均匀分布在半径为 R 的圆环上，如图所示，求在圆环轴线上距圆心O 点为x处的 P 点的电场强度4、如图所示，一个半径为 R 的圆环均匀带电，ab 为一极小的缺口，缺口长为 L（L R），圆环的带电量为 Q（正电荷），在圆心处置一带电量为q 的负点电荷，试求负点电荷受到的库仑力5、如图所示，用金属丝 AB 弯成半径r 1m 的圆弧，但在 A、B 之间留出宽度为 d=2cm、相对来说很小的间隙，将电荷量 Q=3.1310处的电场强度19C 的正电荷均匀分布在金属丝上，求圆心 O6、如图所示，来自质子源的质子（初速度为零），经一加速电压为 800 kV 的直线加速器加速，形成电流强度为1.0 mA 的细柱形质子流已知质子电荷e=1.601019 C，这束质子流每秒打到靶上的质子数为_假设分布在质子源到靶子之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距l和4l的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中质子数分别为 n1和 n2，则 n1：n2=。

7、把一个容器内的空气抽出一些，压强降为 p，容器上有一小孔，上有塞子，现把塞子拔掉，如图所示问空气最初以多大初速度冲进容器？（外界空气压强为p0、密度为）8、如图所示，两平行的足够长光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l，导轨电阻忽略不计，导轨所在平面的倾角为，匀强磁场的宽度为 d，磁感应强度大小为 B、方向与导轨平面垂直向下长度为 2d 的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起，总质量为 m，置于导轨上导体棒中通以大小恒为I 的电流，方向如图所示（由外接恒流源产生，图中未图出）线框的边长为d（d l），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合 将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直重力加速度为g问：（1）线框从开始运动到完全进入磁场区域的过程中，通过线框的电量为多少？（2）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q 是多少？（3）线框第一次向下运动即将离开磁场下边界时线框上边所受的安培力FA多大？（4）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm是多少？9、如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于竖直平面内，两导轨间的距离为d，导轨上面横放着两根导体棒L1和 L2，与导轨构成回路，两根导体棒的质量都为m，电阻都为 R，回路中其余部分的电阻可不计。

在整个导轨平面内都有与导轨所在面垂直的匀强磁场，磁感应强度为 B两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，保持 L1向上作速度为v的匀速运动，在 t=0 时刻将靠近 L1处的 L2由静止释放（刚释放时两棒的距离可忽略），经过一段时间后L2也作匀速运动已知 d=0.5m，m=0.5kg，R=0.1，B=1T，g 取 10m/s21）为使导体棒 L2向下运动，L1的速度v最大不能超过多少。