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罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的地位罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的地位罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的地位【张家龙】 20 世纪初, 在逻辑和数学中发现了许多悖论, 包括罗素本人所发现的悖论(后被称为罗素悖论) 这些悖论动摇了数学的基础, 史称第三次数学危机为了解决这一次数学危机, 罗素提出了逻辑主义的纲领, 并得到一些著名的逻辑学家的支持, 成为数理逻辑中的三大学派之一本文旨在对罗素的逻辑主义作出全面的科学的评述 一、数学概念和数学定理的推导 罗素的逻辑主义包含两个部分: (1) 数学概念可以通过显定义从逻辑概念推导出来; (2) 数学定理可以通过纯逻辑推演(即一阶逻辑演算) 由逻辑公理推导出来罗素所使用的逻辑概念有: 命题联结词(否定, 析取, 合取, 蕴涵) ; 函项和量词(全称量词和存在量词) ; 等词 弗雷格成功地用逻辑概念定义了自然数, 而罗素独立于弗雷格也获得了相同的结果这种方法的关键在于, 自然数不是属于事物而是属于概念的逻辑属性(按罗素的定义, 数是某一个类的数, 而一个类的数是所有与之相似的类的类) 其它种类的数———正数、负数、分数、实数和复数, 不是用通常增加自然数的定义域的方法来完成的, 而是通过构造一种全新的定义域来实现的。

罗素在将数的概念向前推广时, 认为自然数并不构成分数的子集, 自然数 3 与分数 3 /1 不是等同的; 同样, 分数 1 /2 同与它相联系的实数也不是等同的关于正负整数, 罗素认为, + 1 与- 1 是关系, 并且互为逆关系 1 是 n + 1 对 n 的关系, - 1 是 n 对 n + 1 的关系一般地, 如果 m 是任何归纳数, 对任何 n而言, +m 是 n +m 对 n 的关系, - m 是 n 对 n +m 的关系m 与 m 不同, 因为 m 不是一个关系,而是许多类的一个类m /n 被定义为, 当 xn = ym 时, 二归纳数 x 和 y 之间的一个关系m /1 是 x, y 在 x =my 情形下所具有的关系这个关系如同关系+m 一样决不能和 m 等同, 因为关系和一个类的类是完全不同的两个东西罗素说, 在实用上, 只要我们了解分数 1 /1 和基数 1 并不相同, 就不必常常拘泥于这个区别正负分数可以用类似于正负整数的方法而定义实数的定义比较复杂一点罗素发展了戴德金的实数论, 作出了实数的定义首先定义分数之间的大于或小于关系给定两个分数 m /n和 p /q, 如果 mq 小于 pn, 则 m /n 小于 p /q。

这样定义的小于关系是序列关系, 因而分数形成以大小为序的序列戴德金证明了, 有理数以明显的方式与分数相对应, 无理数对应于分数序列的“间隙” 例如, 把正分数分成两类: 所有平方小于 2 的分数组成一类; 其余分数组成另一类这种分法就形成分数序列的一个“分割”, 它对应于无理数 2因为不存在其平方等于 2 的分数, 所以第一类(“下类”即较小的一类) 不包含最大的元素, 第二类(“上类”即较大的一类) 不包含最小的元素因此, 每一个实数都对应于分数序列的一个分割, 分割中的间隙对应于无理数 这样, 罗素把实数定义为: 分数序列中相应分割的下类例如, 根号 2 是其平方小于2 的那些分数的类; 1 /3 是所有小于 1 /3 的分数的类由这些定义, 整个实数算术都可以导出这里, 实数的定义是“构造的” 一个复数可以简单地看成是有先后次序的一对实数 构造主义的方法是逻辑主义的一个重要部分逻辑主义者用类似于定义实数的方法引进其余的数学概念例如, 分析中的收敛、极限、连续性、微分、微商和积分, 集合论中的超穷基数、序数 罗素在推导数学的过程中发现, 除逻辑公理外, 还需要另外的一些特殊公理, 即无穷公理和乘法公理(选择公理) 。

无穷公理是说, 若 n 是一个归纳基数, 则至少有一个类有 n 个个体由此得到:如果 n 是一个归纳基数, 并且至少有一个类有 n 个分子, 那么 n 不等于 n + 1无穷公理保证了确有一些类有 n 个分子, 于是我们才能断定 n 不等于 n + 1没有这个公理, 可能 n 和 n + 1 都是空类乘法公理是说, 对于不相交的非空集合所组成的每个集合至少存在一个选择集合, 也就是说这个集合与每一个集合恰好有一个共同元素 二、逻辑类型论 为了解决悖论, 并实现逻辑主义论题, 罗素提出了逻辑类型论罗素在1903 年出版的《数学的原则》( The Principles ofM athem atics) 一书中最早提出类型论; 而在 1908 年的论文《以类型论为基础的数理逻辑》和 1910—1913 年与怀特海合著的《数学原理》中, 则全面系统地论述了逻辑类型论逻辑类型论分两部分: 简单类型论和分支类型论简单类型论同分支类型论是结合在一起的, 但又具有独立性, 并与下面将要说到的恶性循环原则无关简单类型论的中心思想是, 把类或谓词分为不同的层 第 0 层谓词: 包括一切个体(个体常项和变项) , 这些实体的类型记为 0。

第 1 层谓词: 这是取个体为变目的谓词, 包括个体的属性、个体之间的关系前者的类型记为(0) , 后者的类型记为(0, 0) , (0, 0, 0) 等等 第 2层谓词: 其空位被个体或第 1 层谓词填补, 并且至少出现一个第 1层谓词作为变目第 2 层谓词也根据它的空位的个数及种类而分成不同的类型个体属性的属性, 其类型记为( ( 0) ) , 二元谓词(关系) 的一个属性, 其类型记为( (0, 0) ) , 等等 第 3 层谓词、第 4 层谓词等等可类推一个谓词如果其变目属于≤n 层并且至少有一个变目是第 n 层的, 那么它便属于第 n + 1 层第 i 层谓词能够有意义地述说第 j 层谓词, 当且仅当 i = j + 1第 j 层谓词不能有意义地述说同层的谓词在逻辑系统中引入简单类型论以后, 罗素悖论等逻辑悖论就可以消除, 因为这些悖论的发生是由于混淆了不同层的谓词所致例如, 在罗素悖论中, 定义类的谓词记为< ^y (这里“^y”是一个空位记号) , 由它所定义的类记为“^y (

因此,我们不能说: “一个类是或不是自身的元素”, 从而“由所有不是自身元素的类组成的类”是无意义的 简单类型论不能消除说谎者悖论等语义悖论, 于是为了处理这些悖论, 罗素引进了分支类型论分支类型论是以恶性循环原则为基础的罗素说: “使我们能够避免不合法总体的那个原则, 可以陈述如下: ‘凡牵涉到一个汇集的全体者, 它本身不能是该汇集的一分子’; 或者, 反过来说, ‘如果假定某一汇集有一个总体, 它便将含有一些只能用这个总体来定义的分子, 那么这个汇集就没有总体’ 我们把上述原则叫做‘恶性循环原则’, 因为它能使我们避免那些由假定不合法的总体而产生的恶性循环 ” (Whitehead and Russell, pp. 37 - 38) 恶性循环原则强调的是, 总体不能包含只有通过这个总体来定义的分子分支类型论就是在恶性循环原则的基础上对命题函项(广义的谓词) 所作的一种分类, 其核心是在类型中再区分出阶为简化起见, 下面我们只考察个体的谓词这一类型 个体是零阶函项给定一个固定的论域(由个体 x, y, ⋯组成的个体域) 以及其中的一些函项(谓词)

由这些母式可以得到 x 的其它函项, 例如: ( y). ψ( x, y) , (v y). ψ( x, y)等所有这些函项都没有预设除个体的总体之外的总体母式和这类函项称为“一阶函项” 在一阶函项的基础上便可构造二阶函项把一阶函项当作一个新的域, 加到原有的个体域上去,得到一个扩大的论域 “

由以上母式可得到以下函项: ( <). g(

使用分支类型论, 语义悖论便可消除例如说谎者悖论可以写成: “我断定 p, 而 p是假的” 如果 p 是 n 阶命题, 那么 p 在其中作为约束变元出现的命题“我断定 p, 而 p 是假的”为 n + 1 阶, 可记为 q, q 比 p 高一个阶, 它不能作为 p 的一个值进行代入, 因此不会产生悖论换句话说, 如果 p 具有 n 阶的真或假, 那么 q 就具有 n + 1 阶的真或假我们可以认为, “我在某一时刻所说的所有一阶命题都是假的”这句话是真的, 而不会引起悖论, 因为这句话本身是二阶命题 分支类型论有许多弊端按照分支类型论, 我们不能说一切个体谓词如何, 而要分成阶对于实数, 不能说所有实数如何, 只能涉及具有确定的阶的实数属于一阶的那些实数, 在其定义中不出现“对于所有实数”这种短语; 属于二阶的那些实数, 在其定义中只能出现“所有一阶实数”这种短语, 如此等等这样一来, 就失去了实数理论中的许多重要定义和定理为了克服这种困难, 罗素不得已增加了一条可化归性公理 可化归性公理是说, 每一个非直谓的函项都有一个形式上等值的直谓函项有了这个公理, 我们就可以用直谓函项替代非直谓函项。

直谓函项的特点是: 只要空位的阶确定了, 整个函项的阶也就确定了, 因为 n + 1 阶直谓函项必含有 n 阶空位只根据空位划分类型, 这是简单类型论的基本原则因此可化归性公理的作用就是把分支类型论简化为简单类型论有了可化归性公理, 关于实数的阶的困难可得到解决我们可以说, 关于实数的命题函项虽有不同的阶, 。